高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编含答案解析

新高考数学《空间向量与立体几何》练习题
一、选择题
1．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =,123AA =，D ，F 分别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF ∆的周长的最小值为()
A ．222+
B ．232+
C ．62+
D ．72+
【答案】D
【解析】
【分析】 根据正三棱柱的特征可知ABC ∆为等边三角形且1AA ⊥平面ABC ，根据1AA AD ⊥可利用勾股定理求得2DF =；把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，可知当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值；在ADF ∆中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果.
【详解】
Q 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ABC ∆∴为等边三角形且1AA ⊥平面ABC AD ⊂Q 平面ABC 1AA AD ∴⊥ 132DF ∴=+=
把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，如下图所示：
当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值
又150FAD ∠=o ，3AF =1AD =
()22
min
3
2cos4237
2
DE EF AF AD AF AD FAD ⎛⎫
∴+=+-⋅∠=-⨯-=
⎪
⎪
⎝⎭DEF
∴∆周长的最小值为：72
+
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.
2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．27
3
B．
27
6
C．
27
4
D．
27
2
【答案】D
【解析】
【分析】
先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
【详解】
几何体为一个三棱锥，高为33333
，，所以体积
为
1127
=33333=
322
V⨯⨯⨯，选D.
【点睛】
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为()
A ．132π
B ．7π
C ．152π
D ．8π
【答案】B
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．
【详解】
由题意可知：几何体是一个圆柱与一个
14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2， 可得：该几何体的表面积为：22141212274
ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=．
故选：B ．
【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
4．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）.
A 10
B ．3:1
C ．2:1
D 102
【答案】A
【解析】
【分析】
设圆锥SC 的底面半径为r ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧
面积，从而求得比值.
【详解】
设圆锥SC 的底面半径为r ，则高为3r ，∴圆锥SC 的母线长22910l r r r =+=， ∴圆锥SC 的侧面积为210rl r ππ=；
圆柱OM 的底面半径为2r ，高为h ， 又圆锥的体积23133V r r r ππ=⋅=，234r h r ππ∴=，4
r h ∴=， ∴圆柱OM 的侧面积为2224rh rh r πππ⋅==，
∴圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为2210:10:1r r ππ=.
故选：A .
【点睛】
本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.
5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）
A ．36
B ．6
C ．5
D 53 【答案】B
【解析】
【分析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.
【详解】
如图所示：
1,,A P C 确定一个平面α，
因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，
所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ，
所以四边形1APC Q 是平行四边形.
即正方体被平面截的截面.
因为12B P PC =，
所以112C B PC =，
即1PC PB == 所以115,23AP PC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25
AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯ 所以16sin 5
APC ∠= 所以S 四边形1APQC 1112sin 262
AP PC APC =⨯
⨯⨯∠=故选：B
【点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
6．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．6π 【答案】C
【解析】
【分析】
设AE BF a ==，13
B EBF EBF V S B B '-'=⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF A
C ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.
【详解】
设AE BF a ==，则()()2
3119333288B EBF a a V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32
a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，1322EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，
由余弦定理得222
819452424cos 93222222
A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4
A FE π'∠=． 方法二：以
B 为坐标原点，以B
C 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭
u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ，
所以992cos ,922
A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 所以异面直线A F '与AC 所成的角为
4
π． 故选：C
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.
7．已知ABC V 的三个顶点在以O
为球心的球面上，且cos A =1BC =，3AC =，三棱锥O ABC -
的体积为
6，则球O 的表面积为( ) A ．36π
B ．16π
C ．12π
D ．163
π 【答案】B
【解析】
【分析】 根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC 是直角三角形，根据棱锥的体积求出O 到平面ABC 的距离，利用勾股定理计算球的半径OA ，得出球的面积．
【详解】
由余弦定理得222291cos 26AB AC BC AB A AB AC AB +-+-==g
，解得AB = 222AB BC AC ∴+=，即AB BC ⊥．
AC ∴为平面ABC 所在球截面的直径．
作OD ⊥平面ABC ，则D 为AC 的中点，
1111332O ABC ABC V S OD OD -∆==⨯⨯⨯=Q g
OD ∴=
2OA ∴=．
2416O S OA ππ∴=⋅=球．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断ABC ∆的形状是关键．
8．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC V 的面积取得最小值时，EBC ABCD S S =
△（ ） A ．25 B ．12 C ．5 D ．510
【答案】D
【解析】
【分析】
根据1D E CF ⊥分析出点E 在直线1B G 上，当EBC V 的面积取得最小值时，线段EB 的长度为点B 到直线1B G 的距离，即可求得面积关系．
【详解】
先证明一个结论P ：若平面外的一条直线l 在该平面内的射影垂直于面内的直线m ，则l ⊥m ，
即：已知直线l 在平面内的射影为直线OA ，OA ⊥OB ，求证：l ⊥OB .
证明：直线l 在平面内的射影为直线OA ，
不妨在直线l 上取点P ，使得PA ⊥OB ，OA ⊥OB ，OA ，PA 是平面PAO 内两条相交直线， 所以OB ⊥平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，
所以PO ⊥OB ，即l ⊥OB .以上这就叫做三垂线定理.
如图所示，取AB 的中点G ，
正方体中：1111A C D B ⊥，CF 在平面1111D C B A 内的射影为11A C ，
由三垂线定理可得：11CF D B ⊥，
CF 在平面11A B BA 内的射影为FB ，1FB B G ⊥
由三垂线定理可得：1CF B G ⊥，1B G 与11D B 是平面11B D G 内两条相交直线， 所以CF ⊥平面11B D G ，
∴当点E 在直线1B G 上时，1D E CF ⊥，
设BC a =，则1122
EBC S EB BC EB a =
⨯⨯=⨯⨯△， 当EBC V 的面积取最小值时， 线段EB 的长度为点B 到直线1B G 的距离，
∴线段EB 5
， 52510
EBC
ABCD a S S ⨯⨯∴==△. 故选：D .
【点睛】
此题考查立体几何中的轨迹问题，通过位置关系讨论面积关系，关键在于熟练掌握线面垂直关系的判定和平面图形面积的计算.
9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点,且线段12PP 平行于平面11A
ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112 C ．16 D ．12
【答案】A
【解析】
由题意在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD 上的动点，
且线段12PP 平行于平面11121,A
ADD PP B AD B ∆~∆， 设1,(0,1)PB x x =∈，即1222,PP x P =到平面
11AA B B 的距离为x ，
所以四棱锥121PP AB 的体积为2111(1)1()326V x x x x =
⨯⨯-⨯⨯=-， 当12x =时，体积取得最大值124
，故选A ．
点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．
10．在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，4AB BC BD ===，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点，则直线EF 与平面ACD 所成角的余弦值（ ）
A ．13
B ．3
C ．22
D ．6 【答案】C
【解析】
【分析】
因为AB ，BC ，BD 两两垂直，以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直角坐标系，求出向量EF u u u r 与平面ACD 的法向量n r ，再根据cos ,||||EF n EF n EF n ⋅〈〉=u u u r r u u u r r u u u r r ，即可得出答案.
【详解】
因为在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，
以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直角坐标系，
又因为4AB BC BD ===；
()4,0,0,(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4)A B D C ，又因为E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点 所以(0,0,2),(2,2,0)E F 故()2,2,2EF =-u u u r ，(4,4,0)AD =-u u u r ，(4,0,4)AC =-u u u r .
设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00
n AD n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u
v v 令1,x = 则1y z ==； 所以(1,1,1)n =r
1cos ,3
||||EF n EF n EF n ⋅〈〉===u u u r r u u u r r u u u r r 设直线EF 与平面ACD 所成角为θ ，则sin θ= cos ,EF n 〈〉u u u r r
所以cos 3
θ==
故选：C
【点睛】
本题主要考查线面角，通过向量法即可求出，属于中档题目.
11．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
A ．169π
B ．89π
C ．1627π
D ．827
π 【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．
【详解】
解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323
r x -=， 332
x r ∴=-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2
V r r r r π=-<<， 则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …． 当且仅当33342r r =-，即43
r =时等号成立．
∴圆柱的最大体积为16
9
π
，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．
12．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．64
3
πB．83
16
π
πC．28πD．82
16
π
π+
【答案】B
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积22221183242231633V r h r l ππππππ=⋅+⋅=⋅+
⋅⋅=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
13．三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若
//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的体积为（ ）
A ．3
B ．3
C ．13
D ．3
【答案】B
【解析】
根据题意画出如图所示的几何体：
∴三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体为三棱锥F ABC - ∵ABC 为正三角形，2AB =
∴132232ABC S ∆=⨯⨯=∵CD ⊥底面ABC ，//AE CD ，2CD AE ==
∴四边形AEDC 为矩形，则F 为EC 与AD 的中点
∴三棱锥F ABC -的高为112
CD =
∴三棱锥F ABC -的体积为133133
V =
⨯⨯= 故选B.
14．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线
③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．
【详解】
把平面展开图还原原几何体如图：
由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；
CN 与BE 平行，故②错误；
连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；
由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．
∴正确命题的个数是2个．
故选：B ．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．
15．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC ∆是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D ABC -体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．100π
D ．144π
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥D ABC -的外接球的半径，代入表面积公式求解．
【详解】
解：如图，
ABC ∆是斜边BC 长为6的等腰直角三角形，则当D 位于直径的端点时，三棱锥D ABC -体积取最大值为27，
由AB AC =，AB AC ⊥，6BC =，可得斜边BC 上的高3AE =，32AB AC ==， 由1132322732DE ⨯⨯⨯⨯=，解得9DE =， 则2
1AE EF DE
==． ∴球O 的直径为10DE EF +=，
则球O 的半径为11052
⨯=． ∴该球的表面积为245100S ππ=⨯=．
故选C ．
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
16．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）
A ．若，与所成的角相等，则
B ．若
，，则 C ．若
，，则 D ．若，，则
【答案】C
【解析】 试题分析：若，与所成的角相等，则或，相交或，异面；A 错. 若，，则或，B 错. 若，，则正确. D ．若，，则 ，相交或，异面，D 错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
17．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）
A ．9:32
B ．8:27
C ．9:22
D ．9:28
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r 的关系，从而得到圆锥的高与r 关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R 与r 间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ， 侧面积与底面积的比为2πrl 2l r r π==,则母线l=2r,圆锥的高为
h=223l r r -=, 则圆锥的体积为2313πh 33
r r π=, 设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=3r R -,BD=r, 在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+,即()2
223R r r R =+-, 展开整理得R=,3r 所以外接球的体积为3
3344333393
R r ππ=⨯=, 故所求体积比为333933232
93
r r ππ= 故选：A
【点睛】
本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.
18．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上一点且12CE EC =，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为（ ）
A ．1144
B ．1122
C ．21144
D ．1111
【答案】B 【解析】
【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值．
【详解】
解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设3AB =，则()3,0,0A ，()0,3,2E ，()13,0,3A ，()3,3,0B
，
()3,3,2AE =-u u u r ，()10,3,3A B =-u u u r ， 设异面直线AE 与1A B 所成角为θ，
则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为：
1111cos 222218AE A B AE A B
θ⋅===⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ． 故选：B ．
【点睛】
本题考查利用向量法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.已知1l 的方向向量为a r ，2l 的方向向量为b r ，则异面直线12,l l 所成角的余弦值为a b a b
⋅⋅r r r r .
19．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积
为( )
A ．92
B ．92
C ．32
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．
【详解】
由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台ABC DEF -，所得的组合体，
其截面是一个梯形BCFE ， 22112+=
22222+= 222322()2+= 故截面的面积1329(222)222
S =
⨯=， 故选：A ．
【点睛】 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
20．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）
A ．152π
B ．12π
C ．112π
D ．212
π 【答案】A
【解析】
【分析】 由三视图可知，该几何体为由
18的球体和14
的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可.
【详解】 由三视图可知，该几何体为由
18的球体和14
的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11+84
V V V =球圆锥， 因为31149=3=8832
V ππ⨯⨯球， 221111=34344312V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=
+=，即所求几何体的体积为152
π. 故选：A
【点睛】
本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.。