2020届湖北省第五届高考测评活动高三元月调考文科数学试题

2020届湖北省第五届高考测评活动高三元月调考文科数学试
题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．已知集合{}|1A x x =≤，集合{}2|0B x x x =-<，则A B =（ ）
A ．∅
B ．(,1)-∞
C ．(0,1)
D ．(,0)-∞ 2．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）
A ．2i --
B ．2i -+
C ．2i -
D ．2i +
3．已知直线1:10l ax y ++=，22:0l x ay ++=，则“1a =”是“直线1l 与2l 平行”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．函数()f x =的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四
个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）
A ．964
B ．449
C ．225
D ．27
6．执行如图的程序框图，则输出的S 的值为（ ）
A ．-1
B ．32-
C ．0
D ．12
7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2
ϕπ<）的图象如图，则满足()()0f m x f m x +--=的最小正数m 的值为（ ）
A ．12π
B ．6
π C ．3π D ．512π 8．已知ln a π=，5log 2b =，12c π-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
9．已知F 为椭圆2
214
x y +=的一个焦点，点P 在椭圆上，满足||||OP OF =（O 为坐标原点），则OPF △的面积为（ ）
A ．14
B ．12 C
D ．34
10．已知点(2,0)A -，(5,7)B ，圆22:40C x y x m +-+=，若在圆C 上存在唯一的点Q 使得90AQB ︒
∠=，则m =（ ） A ．2 B ．68- C ．2或68- D ．2-或68-
11．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
，设()13sgn 2n n a n +=-，n S 为数列{}n a 的前n
项和，则使0n S =的所有n 值的和为（ ）
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
12．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x --=，当0x >时，()1f x '>，若(21)()1f x f x x --≥-，则x 的取值范围是（ ）
A ．[1,)+∞
B ．(,1]-∞
C ．1,[1,)3⎛
⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
13．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.
14．若x ，y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩
，则2z x y =+的最小值为________.
15．若tan tan 42424απαπ⎛⎫⎛⎫-++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin cos αα=
________. 三、双空题
16．过抛物线212y x =的焦点F 直线交抛物线于A ，B 两点，设||AF m =，||BF n =.①
当4m =时，n =________；②18m n -
的最小值为________.
四、解答题
17．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21(2)n n n a S S n -=+≥，11a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n n b a kn =+，若{}n b 是递增数列，求实数k 的取值范围.
18．在ABC 中，AC =AD 为BAC ∠的平分线，点D 在线段BC 上，CD =4ADC π
∠=.
（1）求AD 的长；
（2）求cos B 的值.
19．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区.为合理配置旅游资源，现对已游览某签约景区的游客进行满意度调查.随机抽取100位游客进行调查评分（满分100分），评分的频率分布直方图如图.
（1）求a 的值并估计评分的平均数；
（2）为了了解游客心声，调研机构用分层抽样的方法从评分为[60,65)，[65,70)的游客中抽取了6名，听取他们对该景区建设的建议.现从这6名游客中选取2人，求这2人中至少有一个人的评分在[60,65)内的概率；
（3）为更广泛了解游客想法，调研机构对所有评分从低到高排序的前86%游客进行了网上问卷调查并随调查表赠送小礼品，估计收到问卷调查表的游客的最高分数.
20．已知()sin cos sin f x kx x x a x =-+（k ，a 为实数）
（1）当0k =，1a =时，求()f x 在[0,]π上的极值；
（2）当2k =时，若()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围.
21．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，直线l 经过2F 与椭圆交于P ，
Q 两点.当1PF 与y 轴的交点是线段1PF 的中点时，||3PQ =. （1）求椭圆的方程；
（2）设直线l 不垂直于x 轴，若(,0)T t 满足||||TP TQ =，求t 的取值范围.
22．已知()(1)ln 1()x
e f x a x x a e
=--+-∈R ，其中e 为自然对数的底数. （1）设()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；
（2）若1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
解不等式求得集合B,即可根据交集的运算求得A B . 【详解】
集合{}2|0B x x x =-<,即{}|01B x x x =<>或
集合{}|1A x x =≤
所以A
B ={}{}{}|1|01|0x x x x x x x =≤⋂<>=<或 故选:D
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法,集合交集的简单运算,属于基础题
2．C
【解析】
试题分析：∴(1)1z i i -=+，∴z=
212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C. 考点：复数运算
3．A
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的判断方法,将1a =代入,由斜率关系判断两条直线是否平行;由两条直线平行时斜率相等,求得a 的值即可判断.
【详解】
直线1:10l ax y ++=,22:0l x ay ++=,
当1a =时,代入可得直线1:10l x y ++=,22:0l x y ++=则121k k ==-且12b b ≠,所以1
2l l ,即“1a =”是“直线1l 与2l 平行”的充分条件; 当1
2l l 时,因为1k 的斜率一定存在,所以满足12k k =,即1a a
-=-,解方程得1a =±,所以
“1a =”是“直线1l 与2l 平行”的不必要条件.
综上可知, “1a =”是“直线1l 与2l 平行”的充分不必要条件
故选:A
【点睛】
本题考查了直线平行时斜率关系,充分必要条件的判断,属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
分别计算()0f ，()1f 的值，利用函数值的对应性进行排除即可．
【详解】
()ln1002f ==，排除C ，D ；())
1ln 110f e e -=<+，排除B ，故选A ． 【点睛】
本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.
5．B
【解析】
【分析】
求得120ADB ∠=︒，在ABD 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解．
【详解】
解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒，
在ABD 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为222153253492AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，解得7AB =，
2DE AD BD =-=，224()749DEF ABC S S ∴
==． 故选：B ．
【点睛】 本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．B 【解析】
【分析】
根据程序框图中三角函数解析式,可知
263T ππ==,因而计算出前6个循环的S 值,由周期性写出后面几项,即可得输出的S 值.
【详解】
由程序框图可知,0,1S n ==,cos 3
n S S π=+则 10cos ,32
S π
=+=因为12019,≤所以2n = 12cos 0,23S π=+=因为22019,≤所以3n = 0cos 1,S π=+=-因为32019,≤所以4n =
431cos
,32
S π=-+=-因为42019,≤所以5n = 35cos 1,23S π=-+=-因为52019,≤所以6n = 1cos20,S π=-+=因为62019,≤所以7n =
由以上可知,当6,n k k Z +=∈时0S =
所以32015cos 1,23
S π=-+=-因为20152019,≤所以2016n = 20161cos 0,3
S π=-+=因为20162019,≤所以2017n = 201710cos ,32
S π=+=因为20172019,≤所以2018=n 12018cos 0,23
S π=+=因为20182019,≤所以2019n =
20190cos
1,3
S π=+=-因为20192019,≤所以2020n = 202031cos ,32
S π=-+=-因为20202019≥所以输出S 输出的32S =- 故选:B
【点睛】
本题考查了程序框图中循环结构的应用,利用周期性判断最后输出的值,三角函数周期性的应用,属于中档题.
7．A
【解析】
【分析】
根据函数图象,先求得函数()f x 的解析式.再根据()()0f m x f m x +--=可知x m =为函数的对称轴,即可根据正弦函数的对称性求得最小正数m 的值.
【详解】
由函数()f x 的图象可知,1A =
23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭=⨯ 所以22π
ωπ==
即()()sin 2f x x ϕ=+,||2πϕ⎛
⎫< ⎪⎝⎭
将7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解析式可得71sin 212πϕ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭
即7322,122
k k Z ππϕπ⨯+=+∈ 解得2,3
k k Z π
ϕπ=+∈ 因为||2ϕπ< 所以当0k =时, 3π
ϕ=
即()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
由()()0f m x f m x +--=可知函数()f x 关于x m =对称 则2,3
2
π
π
π+
=
+∈x k k Z
解得,12
2
k x k Z π
π
=
+
∈ 所以当0k =时, 12
x m π
==
即最小正数m 的值为12
π
故选:A 【点睛】
本题考查了根据部分函数图象求三角函数解析式,由正弦函数的性质求对称轴,属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】
根据对数函数和幂函数图像与性质,结合中间量法,即可比较大小. 【详解】
由对数的图像与性质可知ln ln 1a e π=>=,所以1a >
由对数的图像与性质可得5510log 2log 2
b <=<=
,所以102b <<
而2
12121c πππ--⎛⎫= ⎪⎭
==⎝,所以2111142π⎛⎫>>= ⎪⎝⎭,即2
2
12c ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以112c <<
综上可知, b c a << 故选:D 【点睛】
本题考查了对数函数与幂函数的图像与性质,由中间量法比较大小,属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】
根据题意,设另一个焦点为1F .画出椭圆的图形,由边长||||OP OF =相等关系可证明焦点三角形1OPF 为直角三角形.由焦点三角形面积公式即可求得21F PF S ∆,进而求得OPF S ∆. 【详解】
由F 为椭圆2
214
x y +=的一个焦点,设另一个焦点为1F ,几何图形如下图所示:
因为||||OP OF =,则1||||||OP OF OF == 所以11,PFO OPF PF O OPF ∠=∠∠=∠
由三角形内角和定理可知1190PFO PF O OPF OPF ∠+∠=∠+∠= 即焦点三角形1OPF 为直角三角形. 所以212
1
tan 1tan 4512F PF FPF S b ∆∠==⨯= 则21
1
111222
OPF F PF S S ∆∆=
=⨯= 当P 关于y 轴对称,此时1111
1222
OPF OPF S S ∆∆=
=⨯=成立 综上可知, 1
2
OPF S ∆= 故选:B 【点睛】
本题考查了椭圆中焦点三角形的面积求法,椭圆的几何性质应用,属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】
根据圆C 上存在唯一的点Q 使得90AQB ︒
∠=,可知以(2,0)A -,(5,7)B 为直径的圆与圆
22:40C x y x m +-+=相切即可,分别讨论内切与外切两种情况,由圆与圆相切时两个圆半
径的关系即可求得m 的值. 【详解】
因为圆C 上存在唯一的点Q 使得90AQB ︒
∠=
所以以(2,0)A -,(5,7)B 为直径的圆与圆2
2
:40C x y x m +-+=相切 由中点坐标公式可得(2,0)A -,(5,7)B 两点的中点坐标37,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
由两点间距离公式可知B A ==
所以以AB 为直径的圆M 的半径为12
r =
将圆2
2
:40C x y x m +-+=化简可得()2
224x y m -+=-,因而圆C 的圆心为()2,0,半
径为2r =
当圆M 与圆C 外切时, 12MC r r =+,2=+
0=,方程无解,所以不存在m 的值使圆M 与圆C 外切
当圆M 与圆C 内切时, 12MC r r =-,=
化简可得
2=
若
22=-=,解得2m =
若
22
==解得68m =- 所以当2m =或68m =-时满足圆M 与圆C 内切,即此时圆C 上存在唯一的点Q 使得
90AQB ︒∠=
故选:C
【点睛】
本题考查了圆的几何性质,圆与圆位置关系的判断与应用,圆与圆内切与外切两种情况下的半径关系及分类讨论,属于中档题. 11．A 【解析】 【分析】 令()1
32
n f n n +-=,求得函数的零点,并根据函数单调性增长的快慢,即可求得0n S =时n 的
值,进而即可求得所有满足0n S =的n 的和. 【详解】 令()1
32
n f n n +-=
则函数()f n 的零点为1320n n +-=, 当2n =时, ()0f n =
当8n =时, ()0f n =,根据指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度可知, 函数()f n 只有这两个零点
而当1n =时, 1320n n +-> 当28,n n N <<∈时, 1320n n +-< 当8,n n N <∈时,1320n n +->
而由符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
,()13
sgn 2n n a n +=-,n S 为数列{}n a 的前n 项和
因为()()()10,20,30f f f >=<
所以()()()12311,20,31a f a f a f ======-,即()31231010S a a a =++=++-= 同理可得38,n n N <<∈时, ()1n a f n ==-,即45674a a a a +++=- 而8,n n N <∈时, ()1n a f n == 若0n S =,则需91011124a a a a +++=
所以1234567891011120S S a a a a a a a a a =+++++++++= 综上可知,满足0n S =时n 的值分别为3n =和12n = 所以0n S =时n 的值的和为31215+= 故选:A 【点睛】
本题考查了新定义的应用,符号函数的用法,数列中片段求和的应用,属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】
根据()()2f x f x x --=,将不等式(21)()1f x f x x --≥-变形为
(21)(21)()f x x f x x ---≥-.构造函数()()g x f x x =-,由()1f x '>可知()g x 在0
x >时为单调递增函数,可解不等式求解.再令0x <,代入不等式求解即可. 【详解】
定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x --=,则()()f x x f x x -=-+ 令()()g x f x x =-,则()''()1g x f x =- 当0x >时,()1f x '> 即()10f x '->
所以当0x >时, ()()g x f x x =-单调递增函数.
由()()f x x f x x -=-+得()()g x g x =-，所以()g x 为偶函数. 而不等式(21)()1f x f x x --≥-可化为(21)(21)()f x x f x x ---≥- 即(21)()g x g x -≥，即(|21|)(||)g x g x -≥ 由()()g x f x x =-在0x >时单调递增 可知|21|||x x -≥,解不等式可得1x ≥或13
x ≤
综上可知,不等式的解集为1,[1,)3
x ⎛⎤∈-∞⋃+∞ ⎥⎝
⎦
故选:C
【点睛】
本题考查了导数在函数的单调性中的综合应用,由导数性质解不等式,构造函数法是导数中常用来研究函数的方法,属于难题. 13．
34
π 【解析】 【分析】 将|2|2a b +=
两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得a 与
b 的夹角的余弦值,进而求得a 与b 的夹角即可.
【详解】
因为(1,1)a =-,则2a =
因为|2|2a b +=
,等式两边同时平方可得
2
2
442a a b b +⋅+=
代入2a =
,||1b =可得
1a b ⋅=-
设,a b 夹角为α,则
由平面向量数量积的定义可得221
cos a b a b
α⋅=
=-⨯⋅=
因为0απ≤≤ 所以34
π
α=
故答案为: 34
π 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题. 14．3 【解析】 【分析】
根据不等式组,画出可行域,即可求得线性目标函数2z x y =+的最小值. 【详解】
根据不等式组,画出可行域如下图所示:
由图像可知,将12
y x =-
平移可得122z y x =-+
所以当经过点A 时,直线所得截距最小,解方程组210
210x y x y --=⎧⎨-+=⎩
可得()1,1A
则21213z x y =+=+⨯= 即2z x y =+的最小值为3 故答案为:3 【点睛】
本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数最值的求法,属于基础题. 15．
2
5
【解析】 【分析】
根据正切函数的和角与差角公式,展开化简并结合正切的二倍角公式,可求得tan α.再由同角三角函数关系式及正弦的二倍角公式,即可求得sin cos αα的值. 【详解】
根据正切函数的和角与差角公式,将tan tan 42424απαπ⎛⎫⎛⎫
-++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
展开化简可得
tan
tan
tan
tan
242441tan tan 1tan tan 2424α
π
α
π
απαπ-++=+⋅-⋅,即tan
1tan 1
2241tan 1tan
22
αα
αα-++=+- 通分化简可得
2
22tan
241tan 2
αα
⨯=-
由正切的二倍角公式2
2tan
2
tan 1tan
2
ααα=
-可知2tan 4α= 即tan 2α=
由同角三角函数关系式可知22sin 2cos sin cos 1α
ααα⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
解得22
sin 2cos 4sin 51cos 5αααα⎧
⎪=⎪
⎪=⎨⎪
⎪=⎪⎩
,因为2
2sin cos 2cos 5ααα== 故答案为: 2
5
【点睛】
本题考查了正切函数的和角公式与差角公式的应用,正弦与正切二倍角公式的用法,同角三角函数关系式的应用,属于中档题. 16．12
6 【解析】 【分析】
根据抛物线过焦点弦的性质
112
||||AF BF p
+=即可求得||BF n =的值;将112
||||AF BF p
+=等式代入,结合基本不等式即可求解. 【详解】
过抛物线212y x =的焦点F 直线交抛物线于A ,B 两点,设||AF m =,||BF n = 则由抛物线方程可知6p
由过抛物线焦点弦的性质可知
112||||AF BF p +=,即112
6
m n += 当4m =时, 112
46
n +=,解得12n = 因为1126m n +=
则1216n m
=- 所以1821181866m m m n m m ⎛⎫
-
=-⨯-=+- ⎪⎝⎭
因为0m >
由基本不等式可知18
666m m
+-≥=
当且仅当18
m m
=时取等号,即m =
所以18
m n
-
的最小值为6 【点睛】
本题考查了抛物线焦点弦的性质及应用,利用基本不等式求最值,属于中档题. 17．（1）n a n =；（2）(3,)-+∞ 【解析】 【分析】
（1）利用递推公式可得2
11n n n a S S ++=+,再与原式作差即可得数列{}n a 的公差,结合首项
11a =, 可求得数列{}n a 的通项公式.检验2n =时也成立即可.
（2）根据数列的单调递增,可知10n n b b +->,将数列{}n a 的通项公式代入,解不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】
（1）由已知,2
1(2)n n n a S S n -=+≥
利用递推公式可得2
11(1)n n n a S S n ++=+≥
两式相减,11(2)n n a a n +-=≥
2n =时,2
2121a a a a =++ ∴2
222a a =+,20a >,22a =
因此2n =时,11n n a a --=成立 ∴数列{}n a 是等差数列,公差为1,11a = ∴11n a n n =+-=
（2）将n a n =代入数列{}n b ,可得2
n b n kn =+
∵{}n b 为递增数列
∴10n n b b +->对任意正整数n 恒成立 即10n n b b +->
所以()()2
2110n k n n kn +++--> ∴21>--k n 对任意正整数n 恒成立 ∴max (21)3k n >--=- ∴实数k 的取值范围是(3,)-+∞. 【点睛】
本题考查了递推公式在数列中的综合应用,等差数列通项公式的求法,根据数列的单调性求参数的取值范围,属于基础题.
18．（1）5；（2【解析】 【分析】
（1）设AD x =,在ACD ∆中,由余弦定理即可求得AD 的长;
（2）设
2A θ=,在ACD ∆中,由余弦定理可求得cos θ,由4B πθ=-及sin 13
θ=即可利用余弦的差角公式求得cos B .
【详解】
（1）设AD x =
在ACD ∆中,由余弦定理22824AC x x π=+-⨯⨯ ∴2450x x --=,得5x =,即5AD =
（2）设2
A θ= ∴θ为锐角.
在ACD ∆中,由余弦定理222cos 2AC AD CD AC AD θ+-==⨯
∴sin θ=
∵4B π
θ=-
∴cos cos cos cos sin sin 444B πθθππθ⎛⎫-
⎪⎝+=⎭
==【点睛】 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,余弦的差角公式在三角形中的应用,属于基础题. 19．（1）0.03a =，78.25；（2）
35
；（3）87 【解析】
【分析】
（1）根据频率和为1即可求得a 的值;根据平均数的求法,代入即可求得评分的平均数.
（2）在[60,65),[65,70)的游客中抽取了6名,其中在[60,65)抽取2人,在[65,70)中抽取4人,根据古典概型概率求法,列举出所有可能,即可求得至少有一个人的评分在[60,65)内的概率.
（3）先求得从低分到高分排列, 最低的前86%最高分落在的评分区间,利用百分比即可求得最高分.
【详解】
（1）由5(0.010.0220.060.040.01)1a ⨯+++++=,得0.03a =.
游客评分的平均数为：
62.50.0567.50.172.50.1577.50.382.50.287.50.1592.50.0578.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）抽取的6名游客,评分在[)65,70内的4个,记为1,2,3,4,
在[)60,65内的2个,记为5,6
从这6人随机选取2人,有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,35,56共15中选法,其中至少有一个在[)60,65内有15,16,25,26,35,36,45,46,56共9种
由古典概型,93155
P ==. （3）评分低于85分的概率为0.050.10.150.30.20.8++++=
故评分最低的前86%最高分在[)85,90
设最高分为x ,由(85)0.030.06x -⨯=
得87x =
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用,由频率分布直方图求参数及平均值,古典概型概率的求法,属于基础题.
20．（1）4
；（2）11a -≤≤ 【解析】
【分析】
（1）代入0k =,1a =,求得()sin cos sin f x x x x =-+,并求得导函数
()(2cos 1)(1cos )f x x x '=+-,令()'0f x =求得极值点,根据极值点两侧函数的单调性即可求得在[0,]π上的极值.
（2）代入2k =,利用22()2(cos sin )cos 0f x x x a x '=--+≥对x ∀∈R 恒成立,可得关于cos x 的二次不等式,根据二次不等式性质即可a 的取值范围.
【详解】
（1）当0k =,1a =时,()sin cos sin f x x x x =-+
222()(cos sin )cos 2cos cos 1(2cos 1)(1cos )f x x x x x x x x '=--+=-++=+-
∴23()4f x f π
⎛⎫ ⎪⎝⎭
==极大值 （2）()f x 在R 上单调递增,则22()2(cos sin )cos 0f x x x a x '=--+≥对x ∀∈R 恒成立. 得22cos cos 30x a x --≤
设[]cos 1,1t x =∈-,2()23g t t at =--
则()0g t ≤在[]1,1-上恒成立
由二次函数图象(1)0(1)0
g g -≤⎧⎨
≤⎩ 得11a -≤≤
【点睛】 本题考查了导数在函数极值中的应用,根据导数求参数的取值范围,属于基础题.
21．（1）22
143
x y +=；（2）10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的离心率及通径即可得a b c 、、的等量关系,进而求得a b c 、、的值,即可得椭圆的标准方程.
（2）当l 与x 轴重合时易得0t =,当l 不与x 轴平行时,设:1l x my =+,11(,)P x y ,22(,)Q x y .联立椭圆方程,由韦达定理表示出PQ 中点D ,进而表示出直线DT 的方程,用m 表示出t ,即可求得t 的取值范围.
【详解】
（1）当1PF 与y 轴的交点是1PF 的中点时,l y 轴,PQ 为通径 由2123
2
c a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得2a =
,b =1c = 椭圆方程22
143
x y += （2）当l 与x 轴重合,PQ 为长轴二端点,T 为原点,此时0t =
否则设:1l x my =+,由题意0m ≠,代入椭圆方程
22(34)690m y my ++-=,2144(1)0m ∆=+>恒成立
设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,设PQ 中点00(,)D x y 则12023234y y m y m +-==+,0024134
x my m =+=+ 直线DT 的斜率为m -,224343:34m DT y m m x m ⎛⎫- ⎪++
⎝-+⎭=,0m ≠,0y = 得21
34
t m =+ ∴10,4t ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
综上,10,4t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求法,过定点的直线与抛物线的位置关系,韦达定理在圆锥曲线中的应用,属于中档题.
22．（1）见解析；（2）2a ≤
【解析】
【分析】
（1）先求得定义域,再求得()f x ',即可根据()g x '的符号判断()g x 的单调性,进而求得单调区间.
（2）根据（1）,结合x 的取值范围,即可求得()2f x a '≥-,对a 分类讨论,分析()f x 的单调性,进而可知在0(1,1ln )x a ∈+时,0()0f x '=.最后根据题意舍去不符合要求的解,即可求得实数a 的取值范围.
【详解】
（1）()f x 的定义域为(0,)+∞
1()x e f x a e x '=+-,1()()x e g x f x a e x
'==+- ∵21()x e g x e x
'=-,()g x '在(0,)+∞上递增,且(1)0g '= ∴(0,1)x ∈时,()0g x '<,则()g x 在(0,1)上单调递减
(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,()g x 在(1,)+∞上单调递增
（2）由（1）()g x 在(1,)+∞上单调递增,即()f x '在(1,)+∞上递增
则1x ≥时,()(0)2g x g a ≥=-,即()2f x a '≥-
∴2a ≤时,()0f x '≥,()f x 在[)1
+∞，上递增,()(1)0f x f ≥=,符合题意 2a >时,()f x '在[)1
+∞，上递增 ∵(1)20f a '=-<,1(1ln )0ln 1
f a a '+=>+ 故存在0(1,1ln )x a ∈+时,0()0f x '=
则0(0,)x x ∈时,()0f x '<,此时()(1)0f x f ≤=,不合题意,舍去.
综上,若1x ≥时,()0f x ≥恒成立,则2a ≤
【点睛】
本题考查了导数在研究函数单调性中的应用,由导数解决不等式中的参数取值范围问题,综合性强,是高考的重难点,属于难题.。