高等代数中蕴涵的数学思想方法

高等代数中蕴涵的数学思想方法
作者：史秀英
来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2014年第21期
史秀英
（赤峰学院继续教育与教师培训学院，内蒙古赤峰 024000）
摘要：数学思想方法是数学的灵魂，研究数学思想方法对开展数学教育、培养数学能力，都有积极的作用．本文通过典型例题这个载体，来展示高等代数中所蕴涵的数学思想方法.
关键词：高等代数；数学思想；数学方法
中图分类号：O15文献标识码：A文章编号：1673-260X（2014）11-0005-02
在高等代数的教学及研究中，我们不仅要注重数学知识的学习、探索、研究和发展，更重要的是要注重揭示数学知识发生过程和解决问题过程中蕴涵的思想方法.本文旨在通过典型例题这个载体，探究高等代数中所体现的数学思想方法.
1 高等代数中分解的思想方法
所谓分解的思想，就是把一个研究对象分解成若干个子对象，或者把一个研究问题分解成若干种情况来处理的一种思想方法分解思想也是数学中的一个重要数学方法，其实质是化整为零、化繁为简，利用局部来表示整体，通过局部的解决来攻克整体的一种行之有效的手段和方法.
高等代数中很多内容都渗透着分解的思想，诸如对于有些行列式，直接计算几乎是不可能的，如果利用分解思想，把原行列式进行分解，变成两个比较简单的行列式或者容易计算的行列式，这是一种奏效的方法，特别是与范德蒙行列式相关的一些结构性的行列式.
例1 计算行列式
分析：本行列式看上去十分复杂，直接计算几乎是不可能的，但利用分解思想，把原行列式分解开来，变成两个结构性明显且容易计算的行列式.
2 高等代数中转化的思想方法
所谓转化的思想，就是把需要解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，最终获得问题解答的一种思想方法.转化思想也是数学中的一个基本的思想方法，其实质是把要解决的问题进行化繁为简、化难为易、化一般为特殊、化未知为已知，利用必要条件的过渡，通过一步一步地转化，继而得到结论的充分条件，最终使问题得到解决.
高等代数中很多内容都渗透着转化的思想，诸如判定矩阵相似问题可以转化成相应?姿-矩阵的行列式因子、不变因子或初等因子的相等问题，判定矩阵可对角化的问题可以转化成?姿-矩阵的初等因子相同问题.
3 高等代数中猜想的思想方法
所谓猜想的思想，就是依据已知事实和相关的数学知识，对研究的数学对象或数学问题作出的符合数学经验和数学规律的一种看法或结论.猜想也是数学中的一个基本的思想方法，其实质是利用归纳的思想方法，根据已有的结果，猜想所求命题的结果，再利用验证的方法证明猜想是正确的一种求解方法.猜想一般要经历“试验——分析——猜想——验证”的思维过程.
猜想的思想方法在高等代数中有很多应用，诸如在行列式中利用归纳的思想方法，根据已有的结果，猜想所求命题的结果，再利用验证的方法证明.
例3 计算杨辉三角规律给出的行列式
分析：这是一个无穷阶的行列式，直接计算是根本不可能的，因此必须采用一种突破常规的方法，也就是数学猜想的思想方法，通过计算低级的行列式，归纳出其结果的规律，由此猜想，然后给出严格的证明.
猜想D=1.
利用数学归纳法验证，
(1)当n=1时，D1=1,
(2)假设当n=n-1时，结论成立，即Dn-1=1.
则把行列式Dn的第n-1行乘-1加到第n行上，第n-2行乘-1加到第n-1行上，…，第一行乘-1加到第二行上.然后再把第n-1列乘-1加到第n列上，第n-2列乘-1加到第n-1列上，…，第一列乘-1加到第二列上，于是
4 高等代数中构造的思想方法
所谓构造的思想，就是根据某些数学问题题设条件和结论的特征、性质，另辟蹊径，抓住
反映问题的条件与结论的内在联系，把握问题的外形、数字、位置等特征，恰当地构造数学模型，进而谋求问题的解决.构造思想也是数学中的一个基本的思想方法，其本质特征是“构造”，构造又无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性，其关键在于对问题特征的敏锐
观察，展开丰富的联想，实施正确的转化.
构造的思想方法在高等代数中有着广泛的应用，在具体研究对象中，根据实际情况可能需
要构造各种各样的数学模型来解决问题.诸如在多项式理论中，主要是借助已知条件，利用多项式的性质，构造出符合条件的多项式，进而最终获解.
例4 证明任意一个次数大于零的有理系数多项式都可以表成两个有理数域上的不可约多项
式的和.
分析：本题中讨论的是任意多项式的一种定性分解，因此，本题的解决必须要定性地构造
出结论中的表示形式.问题的关键是这两个有理系数不可约多项式如何构造，而我们常见的不可约有理系数多项式有一次多项式和满足Eisenstein判别法条件的有理系数多项式.
5 高等代数中分类讨论的思想方法
所谓分类讨论的思想，就是根据问题的要求，确定分类的标准，对研究的对象进行分类，
然后对划分的每一类分别求解，最后综合得出结果的一种数学思想方法，它是一种由特殊到一
般的思想方法.分类讨论思想的核心及关键是分类，因此利用分类讨论的思想处理数学问题可以使复杂的数学问题理出一条清晰、完整、严密的思路，起到化整为零、化繁为简、化难为易、
各个击破、分而治之的作用.
分类讨论的思想在高等代数的解题中及理论层面都有广泛应用，需要运用分类讨论思想解决的数学问题也很多，一是涉及数学概念是分类定义的；二是运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；三是求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；四是数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的，均可用分类讨论解决.
高等代数中蕴涵的数学思想方法还有很多，诸如分析与综合的思想方法,函数与方程的思想方法，归纳与演绎的思想方法，联想与类比的思想方法，关系映射反演的思想方法等等，限于篇幅，在此不再一一赘述.
参考文献：
〔1〕周金土.高等代数解题思想与方法[M].浙江大学出版社,2008.
〔2〕王积社，杨晓鹏.高等代数典型问题精讲[M].科学出版社,2010.
〔3〕李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].科学出版社,2008.
〔4〕张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].高等教育出版社,1999.。