辽宁省沈阳二中高三数学函数全章课件9函数与方程

则得到零点零点值 a （或 b ） ；否则重复步骤 2
4。
四、三次函数或其它函数零点的个数
记 f(x)=ax3+bx2+cx +d (a>0),
例 1、 已知函数 f ( x) x2 8x, g ( x) 6ln x m. 是 否存在实数 m, 使得 y f ( x) 的图象与 y g ( x) 的 图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取 值范围；若不存在，说明理由。
c 0,1 ，使得 f (c) c 。
分析： （1） 若 f (0) 0 或 f (1) 1 ， 则令 c 0 或 c 1 即可。
（2）不妨设 f (0) 0 且 f (1) 1 ，令 F ( x) f ( x) x 则 F (0) f (0) 0 0 ， F (1) f (1) 1 0
例 1、 已知函数 f ( x) x 8x, g ( x) 6ln x m. 是
2
否存在实数 m, 使得 y f ( x) 的图象与 y g ( x) 的 图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取 值范围；若不存在，说明理由。
分析：函数 y f ( x) 的图象与 y g ( x) 的图象有且只有三个 不同的交点，即函数 ( x) g ( x) f ( x) 的图象与 x 轴的正半 轴 有 且 只 有 三 个 不 同 的 交 点 。
若 若
f (c) 0 ，则 c 就是函数的零点； ； f (a) f (c) 0 ，则令 b c （此时零点 x0 (a, c) ）
若 f (c)
；即若 | a b | ，
c （此时零点 x0 (c, b) ） ；
例4.对于正整数 k, 若关于 x 的方程 (x-2k)2=ax 在区间 (2k-1, 2k+1] y 上有两个不相等的实根, 求 a 的取值范围. A B
解: 设 f(x)=(x -2k)2 (x∈(2k -1, 2k+1]),
∵f(2k -1)=f(2k+1)=1,
o
2k-1
2k
2k+1
x
∴f(x) 的图象是以 A(2k -1, 1) 及 B(2k+1, 1) 为端点, 顶点为 (2k, 0) 的一段抛物线. 设 g(x)=ax, 它表示过原点且斜率 k=a 的直线. 则命题等价于: 求使 f(x) 与 g(x) 的图象有两个交点的 a 的取 值范围. 等价于 0<a≤kOB, 而 kOB= 1 . 2k+1 ∴0<a≤ 1 , kN*. 2k+1
二、函数零点的判断
如果函数
y f ( x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一 y f ( x)
条 曲线 , 并 且有 f (a) f (b) 0 , 那 么 , 函 数
在区间 ( a, b) 内有零点（变号零点）, 即存在 c ( a, b) , 使
f (c ) 0 ,
这个
c 也就是方程 f ( x) 0 的根.
有时曲线通过零点时不变号，这样的零点叫不变号零点。
三、二分法求函数 f(x)变号零点的近似值的步骤
给定精度

，用二分法求函数
f ( x) 的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间 [ a, b] ，验证 f (a) f (b) 0 ； 2. 求区间 (a, b) 的中点 c ； 3. 计算 f (c) ：
解: 原方程即为 a=-x2+5x-3 (1) 作出函数 y=-x2+5x-3(1<x<3)的图象, 显然该图象与直线 y=a 的交点的横坐标是方程 (1) 的解. y 由图象知: 13 13 当 3<a< 4 时, 原方程有两解; 4 3 当 1<a≤3 或 a= 13 时, 原方程有一解; 4 y=a 13 当 a≤1或 a> 4 时, 原方程无解. 1 o 1 2 3 x
函数与方程
一、函数零点的概念
对于函数 y f ( x) ，把使 f ( x) 0 成立的实数 x ; 叫做函数 y f ( x) 的零点． 注意：方程 f ( x) 0 有实数根 函数 y f ( x) 有零点
函数 y f ( x) 的图象与 x 轴有交点
函数叫零点，方程叫根
( x) x 2 8 x 6ln x m,
6 2 x 2 8 x 6 2( x 1)( x 3) '( x) 2 x 8 ( x 0), x x x
例 2、已知函数 y f ( x) 在 0， 1 上的图象是连续不断 的一条曲线，且 0 f ( x) 1 。证明：至少有一点
F (0) F (1) 0 ， 所以至少有一点 c 0,1 ，使得 F (c) 0 ，即 f (c) c
因此，综上所述，至少有一点 c 0,1 ，使得 f (c) c 。
例3.若 1<x<3, a 为何值时, x2-5x+3+a=0 有两解, 一解, 无解?