成都外国语学校2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 含解析

2016—2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．
1．已知集合M={x|x2﹣1≤0｝，N={x｜＜2x+1＜4，x∈Z｝，则M ∩N=（）
A．{﹣1，0} B．{1} C．{﹣1，0,1} D．∅
2．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（）
A．B．C．
D．
3．已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=（）
A．B．1 C．0 D．
4．下列说法中正确的是（)
A．若，则
B．若，则或
C．若不平行的两个非零向量满足，则
D．若与平行，则
5．若角θ是第四象限的角，则角是( ）
A．第一、三象限角B．第二、四象限角
C．第二、三象限角D．第一、四象限角
6．已知函数f（x+1）的定义域为[﹣2,3],则f（3﹣2x）的定义域为( ）A．［﹣5，5] B．[﹣1，9］C．D．
7．图是函数y=Asin(ωx+φ）(x∈R）在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将y=sinx（x∈R)的图象上所有的点（）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
8．已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f(x），当x∈（0，1)时，函数f（x)=2x，则=（)
A． B． C．D．
9．在△ABC中，若，，，O为△ABC的内心，且，则λ+μ=（）
A．B． C． D．
10．若实数a，b，c满足log a3＜log b3＜log c3，则下列关系中不可能成立的( ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
11．不存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）
A．f（|x+1｜）=x2+2x B．f（cos2x）=cosx C．f（sinx）=cos2x D．f（cosx)=cos2x
12．已知f(x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x)﹣m在x∈（0,π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β)=（）
A．B． C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在二分法求方程f（x)=0在[0,4]上的近似解时，最多经过次计算精确度可以达到0.001．
14．若=（λ,2）,=(3，4），且与的夹角为锐角,则λ的取值范围是．
15．已知函数f(x）=ln（2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，则a取值的集合为．
16．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m2﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．化简求值．
（1)
（2)（lg2）2+lg20×lg5+log92•log43．
18．求值．
(1）已知，求1+sin2α+cos2α的值；
（2）求：的值．
19．已知函数sin（π﹣2x)
（1)若,求f（x）的取值范围；
（2）求函数f（x)的单调增区间．
20．已知、是两个不共线的向量,且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）．
（1)求证:+与﹣垂直；
（2）若α∈（﹣，），β=，且｜+|=，求sinα．
21．函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy)=［f(x）］y；③．(1）求证：f（x）在R上是单调增函数；
(2）若f(4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围．
22．若在定义域内存在实数x0使得f(x0+1)=f(x0）+f（1）成立则称函数f（x)有“溜点x0”
（1）若函数在（0,1)上有“溜点”，求实数m的取值范
围；
（2）若函数f（x)=lg（）在（0，1）上有“溜点”，求实数a 的取值范围．
2016—2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,并将正确选项的序号填涂在答题卷．
1．已知集合M={x｜x2﹣1≤0｝，N={x｜＜2x+1＜4，x∈Z},则M∩N=( ）
A．{﹣1，0} B．｛1｝C．｛﹣1，0，1｝D．∅
【考点】交集及其运算；指、对数不等式的解法．
【分析】求出集合MN,然后求解交集即可．
【解答】解:集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1｝，
N=｛x|＜2x+1＜4，x∈Z｝=｛x｜﹣2＜x＜1，x∈Z｝=｛﹣1，0｝，则M∩N=｛﹣1，0｝
故选:A
2．下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是（）
A．B．C．
D．
【考点】二分法的定义．
【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a)•f（b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．
【解答】解:能用二分法求零点的函数必须在给定区间［a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0
A、B中不存在f(x)＜0，D中函数不连续．
故选C．
3．已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a﹣1，2a],则a+b=（）
A．B．1 C．0 D．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据偶函数的特点：不含奇次项得到b=0,偶函数的定义域关于原点对称，列出方程得到a的值，求出a+b．
【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1,2a]的偶函数,
∴a﹣1=﹣2a，b=0，
解得a=,b=0，
∴a+b=．
故选D．
4．下列说法中正确的是（）
A．若,则
B．若，则或
C．若不平行的两个非零向量满足，则
D．若与平行,则
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】利用向量的数量积以及向量的模判断选项即可．
【解答】解:对于A,,如果=,则，也可能，所以A不正确；
对于B，若，则或，或，所以B不正确；
对于C，若不平行的两个非零向量满足，
==0，则
，正确；
对于D，若与平行,则或=﹣,所以D不正确．故选：C，
5．若角θ是第四象限的角，则角是（)
A．第一、三象限角B．第二、四象限角
C．第二、三象限角D．第一、四象限角
【考点】象限角、轴线角．
【分析】由已知可得，求出﹣的范围得答案．【解答】解:∵角θ是第四象限的角，
∴，
则，k∈Z，
∴，k∈Z．
则角是第一、三象限角．
故选：A．
6．已知函数f（x+1)的定义域为[﹣2，3］，则f（3﹣2x）的定义域为( ）
A．［﹣5,5］B．[﹣1，9] C．D．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由已知求出f(x）的定义域,再由3﹣2x在f（x）的定义域范围内求解x的取值范围得答案．
【解答】解：由函数f（x+1)的定义域为[﹣2，3］,
即﹣2≤x≤3，得﹣1≤x+1≤4,
∴函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，
由﹣1≤3﹣2x≤4，解得≤x≤2．
∴f（3﹣2x）的定义域为[﹣，2］．
故选：C．
7．图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【考点】由y=Asin(ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式,再进行平移变换即可．
【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，
所以函数的表达式可以是y=sin(2x+φ)．
代入（﹣，0）可得φ的一个值为，
故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），
即y=sin2（x+），
所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．
故选A．
8．已知奇函数f(x)满足f（x+2）=f(x），当x∈（0，1）时，函数f （x)=2x，则=（)
A． B． C．D．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】由函数是奇函数得到f(﹣x）=﹣f(x）和f（x+2）=f（x）把则进行变形得到﹣f(），由∈（0，1)满足f（x）=2x,求出即可．
【解答】解:根据对数函数的图象可知＜0,且=﹣log223；
奇函数f(x）满足f（x+2)=f（x)和f（﹣x)=﹣f（x）
则=f（﹣log223)=﹣f（log223）=﹣f(log223﹣4）=﹣f()，因为∈（0，1）
∴﹣f（）==，
故选：B
9．在△ABC中,若，，，O为△ABC的内心，且，则λ+μ=（）
A．B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】O为△ABC内角平分线的交点,令|AB｜=c,｜AC|=b，|BC|=a，则有a+b+c=，利用向量的多边形法则可得=+，化简整理即可得出结论．
【解答】解：∵O为△ABC的内心,
∴O为△ABC内角平分线的交点，
令|AB｜=c，|AC|=b，｜BC|=a，则有a+b+c=，
∴a+b（+)+c(++）=,
∴（a+b+c）=（b+c）+c，
∴=+，
∴λ+μ=+==．
故选C．
10．若实数a,b，c满足log a3＜log b3＜log c3,则下列关系中不可能成立的（)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
【分析】由y=log m3（0＜m＜1)是减函数，y=log m3（m＞1）是增函数，利用对数函数的单调性求解．
【解答】解:∵实数a,b，c满足log a3＜log b3＜log c3,
y=log m3（0＜m＜1）是减函数，y=log m3(m＞1)是增函数，
∴当a，b，c均大于1时，a＞b＞c＞1；
当a，b，c均小于1时，1＞a＞b＞c＞0；
当a，b，c中有1个大于1，两个小于1时，c＞1＞a＞b＞0;
当a，b，c中有1 个小于1,两个大于1时，b＞c＞1＞a＞0．
故选：A．
11．不存在函数f(x）满足，对任意x∈R都有（）
A．f(｜x+1｜）=x2+2x B．f（cos2x）=cosx C．f（sinx）=cos2x
D．f(cosx）=cos2x
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】若f（cos2x）=cosx,则有f（1）=1且f（1)=﹣1，根据函数的定义，可得结论．
【解答】解：若f（|x+1|)=x2+2x=（x+1)2﹣1,
则f（x）=x2﹣1，x≥1,故存在函数f(x)，使A成立；
若f（sinx）=cos2x=1﹣2sin2x，
则f（x）=1﹣2x2，﹣1≤x≤1，故存在函数f(x），使C成立;
若f（cosx）=cos2x=2cos2x﹣1，
则f（x）=2x2﹣1，﹣1≤x≤1，故存在函数f（x），使D 成立;
当x=0时，f（cos2x）=cosx可化为：f（1）=1，
当x=π时，f（cos2x)=cosx可化为：f(1)=﹣1,
这与函数定义域,每一个自变量都有唯一的函数值与其对应矛盾，故不存在函数f(x）对任意x∈R都有f（cos2x）=cosx，
故选：B．
12．已知f（x）=2sinx+cosx,若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈(0，π）上有两个不同零点α、β，则cos(α+β)=(）
A．B． C．D．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由题意可得m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即2sinα﹣2sinβ=cosβ﹣cosα，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求．
【解答】解：∵α、β是函数g(x）=2sinx+cosx﹣m在（0，π）内的
两个零点，
即α、β是方程2sinx+cosx=m在(0，π）内的两个解，
∴m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即2sinα﹣2sinβ=cosβ﹣cosα，
∴2×2×cos sin=﹣2sin sin,∴2cos=sin，∴tan=2，∴cos（α+β）===﹣，
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在二分法求方程f（x）=0在[0,4]上的近似解时,最多经过12 次计算精确度可以达到0.001．
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定．若初始区间是（a，b）,那么经过1次取中点后，区间的长度是，…，经过n次取中点后，区间的长度是，只要这个区间的长度小于精确度m,那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解,由此可得结论．
【解答】解：初始区间是[0，4]，精确度要求是0。

001，需要计算的次数n满足＜0.001，即2n＞4000，
而210=1024，211=2048，212=4096＞4000,故需要计算的次数是12．故答案为：12
14．若=(λ，2），=（3,4），且与的夹角为锐角,则λ的取值范围
是．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用=（λ，2），=(3，4)，且与的夹角为锐角，计算数量积结合cosθ≠1，推出λ的取值范围．
【解答】解：=（λ，2)，=（3，4），且与的夹角为锐角，cosθ＞0且cosθ≠1,
而cosθ==，∴λ＞﹣且8+3λ≠5×，即λ＞﹣且λ≠．
故答案为：．
15．已知函数f（x）=ln(2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，则a取值的集合为｛﹣2,2} ．
【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法．
【分析】由题意，函数f（x）=ln(2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，即2x+a2﹣4＞0在x∈R上恒成立．即可求解．
【解答】解:由题意，函数f（x)=ln(2x+a2﹣4)的定义域、值域都为R,即2x+a2﹣4＞0在x∈R上恒成立．
∵x∈R,2x＞0，
要使2x+a2﹣4值域为R，
∴只需4﹣a2=0
得:a=±2．
∴得a取值的集合为｛﹣2,2}．
故答案为｛﹣2，2｝．
16．已知m∈R，函数f(x）=，g（x）=x2﹣2x+2m2﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】令g（x）=t，由题意画出函数y=f（t）的图象，利用y=f(t）与y=m的图象最多有3个零点，可知要使函数y=f（g（x））﹣m 有6个零点,则t=x2﹣2x+2m2﹣1中每一个t的值对应2个x的值,则t的值不能取最小值，求出y=f(t）与y=m交点横坐标的最小值，由其大于2m2﹣2，结合0＜m＜3求得实数m的取值范围．
【解答】解：函数f（x)=的图象如图所示，
令g（x)=t，y=f（t)与y=m的图象最多有3个零点，
当有3个零点,则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，由于函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，t=x2﹣2x+2m2﹣1,
则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，
函数t=x2﹣2x+2m2﹣1的对称轴x=1，则t的最小值为1﹣2+2m2﹣1=2m2﹣2,
由图可知，2t1+1=﹣m，则,
由于t1是交点横坐标中最小的，满足＞2m2﹣2①,
又0＜m＜3②,
联立①②得0＜m＜．
∴实数m的取值范围是（0，）．
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．化简求值．
（1）
（2）(lg2）2+lg20×lg5+log92•log43．
【考点】方根与根式及根式的化简运算．
【分析】(1)根据指数幂的运算性质化简即可，
（2）根据对数的运算性质化简即可．
【解答】解：（1)
(2)(lg2）2+lg20×lg5+log92•log43
18．求值．
（1）已知，求1+sin2α+cos2α的值；
（2)求:的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值．
（2）利用诱导公式，两角差的三角公式，化简要求式子，可得结果．
【解答】解:（1)∵已知，∴1+sin2α+cos2α=
==．
（2）=
====2，
19．已知函数sin(π﹣2x）
（1)若，求f(x）的取值范围；
（2）求函数f(x)的单调增区间．
【考点】三角函数的最值；复合函数的单调性．
【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，求出时f（x)的取值范围即可；
（2）根据复合函数的单调性列出不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解:（1）函数sin（π﹣2x）
=2cos2x+sin2x
=cos2x+sin2x+1
=2sin（2x+）+1，
当时,,
故,
，
所以f（x）的取值范围是［0,3]；
（2)由题意有,
解得，
即+2kπ≤2x+＜+2kπ，k∈Z,
所以+kπ≤x＜+kπ，k∈Z；
所以函数的单调增区间为［+kπ，+kπ）,k∈Z．
20．已知、是两个不共线的向量，且=（cosα,sinα），=（cosβ,sinβ）．（1）求证：+与﹣垂直；
（2）若α∈（﹣，）,β=,且|+|=，求sinα．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1)利用平面向量的坐标运算与数量积为0，即可证明+与﹣垂直；
(2）利用平面向量的数量积与模长公式，结合三角恒等变换与同角的三角函数关系，即可求出sinα的值．
【解答】解：(1)证明：、是两个不共线的向量，
且=(cosα,sinα），=(cosβ，sinβ），．
∴+=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)，
﹣=（cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ）,
∴(+）•（﹣)=（cos2﹣cos2β）+(sin2α﹣sin2β）
=（cos2α+sin2α）﹣（cos2β+sin2β）
=1﹣1=0，
∴+与﹣垂直；
（2)∵=（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ)2
=2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）
=2+2cos（α﹣β)，
且β=，｜+｜=，
∴2+2cos(α﹣)=,
解得cos(α﹣）=;
又α∈（﹣,），
∴α﹣∈(﹣，0），
∴sin（α﹣）=﹣=﹣，
∴sinα=sin［（α﹣)+］=sin(α﹣)cos+cos（α﹣）sin
=﹣×+×=﹣．
21．函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件:①对任意x∈R，有f(x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）］y；③．(1）求证：f（x）在R上是单调增函数;
(2)若f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1)利用赋值法求f（1），然后根据指数函数的性质确定函数的单调性．
（2)利用函数的单调性将不等式转化为4x+a•2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立,然后利用指数不等式的性质求a的取值范围．
【解答】解：(1）证明：令x=，y=3得f（1)=[f(）］3,∵．∴所以f(1）＞1．
令x=1，则f（xy）=f（y)=[f(1）]y，
即f（x)=[f（1)]x，为底数大于1的指数函数，
所以函数f（x）在R上单调递增．
（2)f（xy）=[f（x）]y中令x=0，y=2有f(0）=［f（0）］2,对任意x ∈R,有f（x）＞0，
故f（0）=1，
f(4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1即f（4x+a•2x+1﹣a2+2)≥f(0）,
由(1)有f（x）在R上是单调增函数，即：4x+a•2x+1﹣a2+2≥0任意x ∈R恒成立
令2x=t,t＞0则t2+2at﹣a2+2≥0在（0，+∞)上恒成立．
i）△≤0即4a2﹣4（2﹣a2）≤0得﹣1≤a≤1；
ii）得．
综上可知．
22．若在定义域内存在实数x0使得f（x0+1）=f(x0）+f（1）成立则称函数f（x)有“溜点x0”
（1）若函数在（0,1）上有“溜点”，求实数m的取值
范围;
（2）若函数f(x)=lg（）在（0，1)上有“溜点”，求实数a的取值范围．
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】(1)在（0，1）上有“溜点”，利用定义，推出在（0，1）上有解,转化h(x)=4mx﹣1与的图象在（0，1）上有交点,然后求解即可．
（2)推出a＞0，在(0，1）上有解,设，令t=2x+1,由x∈(0,1)则t∈（1，3），利用基本不等式求解,得到实数a的取值范围．
【解答】(本题满分12分）
解：（1）在(0，1）上有“溜点"，
即f（x+1）=f（x)+f（1)在（0,1）上有解，
即在（0，1）上有解，
整理得在(0，1）上有解，
从而h(x)=4mx﹣1与的图象在(0，1）上有交点，
故h（1）＞g(1）,即，得,
（2）由题已知a＞0，且在(0,1）上有解，整理得，又．
设,令t=2x+1，由x∈（0，1）则t∈(1，3）．
于是则．
从而．
故实数a的取值范围是．
2017年2月23日。