鞍山市名校2019-2020学年高二下学期期末2份数学复习检测试题

同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，1a ，
2a ，…，k a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A ．14个
B ．13个
C ．15个
D ．12个
2．在10
1
()x x
+的展开式中，x 的幂指数是整数的共有 A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．6项
3．学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据： 不关注 关注 总计 男生 30 15 45 女生 45 10 55 总计
75
25
100
根据表中数据，通过计算统计量()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，并参考以下临界数据：
()20P K k > 0.50
0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
0.455
0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828
若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（ ） A ．0.10
B ．0.05
C ．0.025
D ．0.01
4．若对于任意实数0x ≥，函数()x
f x e ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是( ) A ．(),e -∞
B ．(],e -∞-
C ．[),e +∞
D ．()e,-+∞
5．已知函数()3sin cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．8
,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．204,
3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．20,73⎛⎫
⎪⎝⎭
6．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力x
识图能力y
由表中数据，求得线性回归方程为，4
5
ˆˆy
x a =+,若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为( ) A ．9.2
B ．9.5
C ．9.8
D ．10
7．如图是一个算法的程序框图，当输入的x 的值为7时，输出的y 值恰好是1-，则“？”处应填的关系式可能是（）
A ．21y x =+
B ．3x y -=
C ．y x =
D ．
13
log y x =
8．若()()2
34,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩
是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2
,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．2,35
⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(),3-∞
D ．2,5⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
9．已知数据1210,,,x x x ⋯，2的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,x x x ⋯相对于原数据( ) A ．一样稳定 B ．变得比较稳定 C ．变得比较不稳定
D ．稳定性不可以判断
10．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是1．8，乙解决这个问题的概率是1．6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( ) A ．1．48
B ．1．52
C ．1．8
D ．1．92
11．设函数()3
2
2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x
=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m
的取值范围是（ ） A ．2
1,e e
⎛⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
B ．2
10,e e
⎛⎤+ ⎥⎝
⎦
C ．2
1e ,e ⎛⎫+
+∞ ⎪⎝
⎭
D ．2
2
1
1e ,e e e
⎛⎤--+ ⎥⎝
⎦
12．已知cos()3cos()αβαβ+=-，则tan tan a β=（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．2
D ．2-
二、填空题：本题共4小题
13．若"2x >"是"x m >"的必要不充分条件,则m 的取值范围是____．
14．将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式. 15．()10
x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 16．若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知曲线1C 的参数方程为cos 1
sin x y ϕϕ
=+⎧⎨
=⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14π
ρθ-=．
（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线OM θα=：(0)2
π
α<<与曲线1C 交点为O 、M 两点，射线4
：ON =+
π
θα与曲线2C 交于
点N ，求1
OM ON
+
的最大值． 18．如图，点A ,B ,
,F 分别为椭圆C :22
221x y a b
+=(0)a b >>的左、右顶点，下顶点和右焦点，直
线过点F ，与椭圆C 交于点，
已知当直线l x ⊥轴时，3
4
PQ AB =
. (1)求椭圆C 的离心率; (2)若当点
与
重合时，点
到椭圆C 的右准线的距离为上.
①求椭圆C 的方程; ②求APQ ∆面积的最大值.
19．（6分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是中心为O 的菱形，60,90DAB PDB ∠=︒∠=︒，
AC PB ⊥．
（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；
（2）若直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角B PC D --正弦值．
20．（6分）已知命题p ：实数x 满足3a x a -<<（其中0a >），命题q ：实数x 满足14x <<
（1）若1a =，且p 与q 都为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
21．（6分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数． （1）求X 的分布列（结果用数字表示）； （2）求所选3个中最多有1名女生的概率． 22．（8分）已知函数1()ln 1()f x x a a x ⎛
⎫
=--
∈ ⎪⎝⎭
R （1）若当1x >时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.
（2）设33()()( 2.71828)x x xf x F x e e --==，求证：当1a =时，33
21
()e F x e
+< . 参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】
分析：由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．
详解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；
0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；
0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个． 故答案为：A.
点睛：本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏. 2．D 【解析】 【分析】
根据题目，写出二次项展开式的通项公式，即可求出x 的幂指数是整数的项的个数。

【详解】
由题意知，10110
1k
k k
k T C x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭
10210k k
k C x --=⋅ 103210k
k C x -=⋅
要使x 的幂指数是整数，则103k -必须是2的倍数，故当0,2,4,6,8,10k =满足条件。

即x 的幂指数是整数的项共有6项，故答案选D 。

【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，解题关键是熟记二项展开式的公式。

3．A 【解析】 因为()
()()()()
()2
2
2
10030101545=
3.030 2.70645255575
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=
≈>++++⨯⨯⨯,所以若由此认为“学
生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过0.10，故选A. 【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.
独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式
()
()()()()
2
2n ad bc K a b a d a c b d -=
++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.
（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.） 4．D 【解析】 【分析】
求出函数的导数，根据导数的符号求出函数的单调区间，求出最值，即可得到实数a 的取值范围 【详解】
当0x ≥时，()0x
f x e ax =+>恒成立
∴若0x =，a 为任意实数，()0x f x e ax =+>恒成立
若0x >时，()0x
f x e ax =+>恒成立
即当0x >时，x e a x
>-恒成立，
设()x e g x x =-，则()()22
1x
x x x e
e x e g x x x
--=-=' 当()01x ∈，时，()0g x '>，则()g x 在()01，上单调递增
当()1
x ∈+∞，时，()0g x '<，则()g x 在()1+∞，上单调递减 ∴当1x =时，()g x 取得最大值为e -
则要使0x ≥时，()0x
f x e ax =+>恒成立，a 的取值范围是()e -+∞，
故选D 【点睛】
本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分离含参量，运用导数求得新函数的最值，继而求出结果，当然本题也可以不分离参量来求解，依然运用导数来分类讨论最值情况。

5．B 【解析】 【分析】
首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】
由题意，函数()cos 2sin()6
f x x x x π
ωωω=+=+，
令6
x t π
ω+
=，所以()2sin f x t =，
在区间上,43ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
恰有一个最大值点和最小值点，
则函数()2sin f x t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,
[436
]6πωππωπ
+-
+， 则32462
32
362π
πωππππωππ⎧-<-+≤-⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩，解答8203314ωω⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩，即834ω≤<，
故选B ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 6．B 【解析】 试题分析：
468103568117,442x y ++++++=
===ˆ11417251ˆ0a
a ∴=⨯+∴=-41
510
ˆy x ∴=- 当12x =时9.5y = 考点：回归方程
7．A 【解析】
试题分析：依题意，输入的x 的值为7，执行4次循环体，x 的值变为1-，这时，如果输出的y 值恰好是
1-，则函数关系式可能为21y x =+,故应填A.
考点：程序框图中的循环结构. 8．A 【解析】 【分析】
利用函数()y f x =是(),-∞+∞上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点1x =处的函数值大小，即()2
3141a a -⨯-≤，然后列不等式可解出实数a 的取值范围．
【详解】
由于函数()()2
34,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩
是(),-∞+∞的增函数， 则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <； 且有()2
3141a a -⨯-≤，即351a -≤，得2
5
a ≥
， 因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，故选A. 【点睛】
本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点： （1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致； （2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系． 9．C 【解析】 【分析】
根据均值定义列式计算可得1210,,,x x x ⋯的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得
()()
()22
2
1210222x x x -+-⋯⋯+-，从而得方差．然后判断．
【详解】 由题可得：
12
1012
102
22011
x x x x x x +++=⇒++=⇒平均值为2，
由()()()2
2
2
2
1
210222(22)111
x x x -+-⋯⋯+-+-=，
()
()()
2
22
1210222 1.1110
x x x -+-⋯⋯+-=>，
所以变得不稳定. 故选：C. 【点睛】
本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题． 10．D 【解析】
1－1．2×1．4＝1．92，选D 项． 11．A 【解析】
试题分析：函数()g x 定义域是(0,)+∞，2
ln ()2x g x x ex m x =-+-
，2
1ln '()22x
g x x e x -=--，设221ln ()22x h x x e x x =--+，则3333
212ln 232ln '()2x x x h x x x x
-+-=++=，设3
()232ln q x x x =+-，则32
262'()6x q x x
x x
-=-=，'()0q x x =⇒=，易知()q x =极小值233q =+-0>，即()0q x >也即'()0h x >在(0,)+∞上恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又()0h e =，因此e 是()
h x 的唯一零点，当0x e <<时，()0h x <，当x e >时，()0h x >，所以()g x 在(0,)e 上递减，在(,)e +∞上
递增，()g x 极小值()g e =，函数()g x 至少有一个零点，则22
1()20g e e e m e =-+-
≤，21
m e e
≤+．故选B ．
考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．
【名师点睛】本题考查函数的零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数()g x 的最小值不大于0，
因此要确定'()g x 的正负与零点，又要对'()g x 求导，得3333
212ln 232ln "()2x x x
g x x x x
-+-=++=，此时再研究其分子3
()232ln q x x x =+-，于是又一次求导，最终确定出函数()f x 的最小值，本题解题时
多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大． 12．B 【解析】 【分析】
直接利用和角公式和同角三角函数关系式的应用求出结果． 【详解】
由cos()3cos()αβαβ+=-,得cos cos sin sin 3cos cos 3sin sin αβαβαβαβ-=+, 则2cos cos 4sin sin αβαβ=-,故1tan tan 2
αβ=-. 故选B 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 二、填空题：本题共4小题 13．2m > 【解析】 【分析】
根据充分条件和必要条件的定义,结合不等式的关系进行求解,即可求得答案. 【详解】
若"2x >"是"x m >"的必要不充分条件 则{|}x x m > {|2}x x > 即2m >
即m 的取值范围是:2m >. 故答案为:2m >. 【点睛】
本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围,利用“小范围能推出大范围”即可得出参数的范围,考查了分析能力,属于基础题. 14．64 【解析】 【分析】
每封录取通知书放入邮筒有4种不同的投递方式，然后利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】
由题意知，每封录取通知书放入邮筒有4种不同的投递方式，
由分步乘法计数原理可知，将三封录取通知书投入四个邮筒共有3464=种不同的投递方式. 故答案为：64. 【点睛】
本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题. 15．
12
【解析】
因为10110r r r
r T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，解得12
a =
. 考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档. 16．1 【解析】 ：121212,,,12k k k k m =
=-∴⋅=-直线互相垂直，即12
()1,12m m
⋅-=-∴= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）2cos ρθ=
，0x y -+=；（2
【解析】 【分析】
（1）先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，再由x cos y sin ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
转化为极坐标方程，将曲线2C 的极坐标利
用两角差的正弦公式展开，由cos x
sin y ρθρθ=⎧⎨=⎩
转化为直角坐标方程；
（2）点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，21,4ρα⎛
⎫
+
⎪⎝⎭
，将点M 、N 的极坐标分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程，得出1ρ、2ρ的表达式，再利用辅助角公式计算出1
=OM ON
+
12
1
ρρ+
的最大值。

【详解】
（1）由曲线1C 的参数方程1x cos y sin ϕϕ
=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）得：()2
222cos sin 11x y ϕϕ+=-+=，即曲线1
C 的普通方程为()2
211x y -+=，
又cos ,sin x y ρθρθ==， 曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 曲线2C
的极坐标方程可化为sin cos ρθρθ-=
故曲线2C
的直角方程为0x y -+=；
（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，2,4πρα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，其中2
2
π
π
α-
<<
则12cos OM ρα==，
2
11sin ON αρ==，
于是()1
2cos sin OM ON
αααϕ+
=+=+
其中tan 2ϕ=，由于02πα<<，当2παϕ+=时，1OM ON
∴+
【点睛】 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，以及利用极坐标方程求解最值问题，解题时要充分理解极坐标方程所适用的基本条件，熟悉极坐标方程求解的基本步骤，考查计算能力，属于中等题。

18．（1）12（2）①22
143
x y +=②92 【解析】
分析：（1）先求当直线l x ⊥轴时，22b PQ a =，再根据条件得2234b a =，最后由22
2221c b e a a
==-解得离心率，（2）设直线l 为()10x my m =+≠，()11
,P x y ，()22,Q x y ，121 2
APQ S AF y y ∆=⨯⨯-，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简12y y -，即得APQ S ∆=
21m t +=，利用基本不等式求最值，最后考虑特殊情形下三角形面积的值.
详解：解：（1）在22
221x y a b
+=中，令x c = 可得2222221y c b b a a =-=，所以4
22b y a = 所以当直线l x ⊥轴时，22b PQ a
= 又34PQ AB =，所以22324b a a =⨯ 所以2234b a =，所以22222114
c b e a a ==-= （2）① 因为12
c e a ==，所以2a
c =
，b = 椭圆方程为22
22143x y c c
+= 当点P 与点D
重合时，P 点坐标为()
0,
又(),0F c
，所以此时直线l
为y =
-
由2222143y x y c c
⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得85Q x c =
又2481255
c c c -=，所以1c = 所以椭圆方程为22
143
x y += ② 设直线l 为()10x my m =+≠ 由22114
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2231412my y ++= 即()2234690m y my ++-=，0∆>恒成立
设()11,P x y ，()22,Q x y
则12y y += 2634m m -
+，12y y = 2934m -+ 所以1212
APQ S AF y y ∆=⨯⨯-
=
=
=令21m t +=，则1t ≥且21m t =-
APQ S ∆=
=
=1t ≥ 易知函数19y t t =+在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增 所以当1t =时，()max 92
APQ S ∆= 即APQ ∆的面积的最大值为92
点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
19．（
1）见解析（2）
7
【解析】
（1）由题意，AC BD ⊥，又AC PB ⊥，则AC ⊥平面PBD ，则AC PD ⊥，又PD DB ⊥，则PD ⊥平面ABCD ；
（2）由题意，直线PB 与平面ABCD 所成的角即为PBD ∠，设菱形ABCD 的边长为2，取PB 的中点E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OB ，OC ，OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解二面角．
【详解】
（1）证明：因为底面ABCD 是菱形，
故AC BD ⊥，又AC PB ⊥，且,BD PB ⊂平面PBD ，BD
PB B =， ∴AC ⊥平面PBD ，∵PD ⊂平面PBD ，∴AC PD ⊥
又∵PD DB ⊥，AC BD O =，,AC BD ⊂平面ABCD ，
∴PD ⊥平面ABCD ；
（2）解：由（1）知，PD ⊥平面ABCD ，
故直线PB 与平面ABCD 所成的角即为PBD ∠，
设菱形ABCD 的边长为2，由平面几何知识，
1,3,2OD OB OA OC OP =====，
取PB 的中点E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABCD ，
以O 为原点，OB ，OC ，OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
(1,0,0)B ，3,0)C ，(1,0,0)D -，(1,0,2)P -，
平面PBC 的一个法向量为(3,1,3)u =，
平面PDC 的一个法向量为(3,1,0)v =-， cos ,727u v <>==⋅，42sin ,7
u v <>=， 故所求二面角的正弦值为
427．
本题主要考查线面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求二面角，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（1）()1,3；（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【解析】
【分析】
记命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈
（1）当1a =时，求出A ，B ，根据p 与q 均为真命题，即可求出x 的范围；
（2）求出A ，B ，通过p 是q 的必要不充分条件，得出B A ⊆，建立不等式组，求解即可.
【详解】
记命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈
（1）当1a =时，{}13A x x =-<<，{}
14B x x =<<， p 与q 均为真命题，则x A B ∈，
∴x 的取值范围是()1,3.
（2）{}3A x a x a =-<<，{}
14B x x =<<， p 是q 的必要不充分条件，∴集合B A ⊆，
∴134
a a -≤⎧⎨≥⎩，解得43a ≥， 综上所述，a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】
1.命题真假的判断
（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． （3）一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断． 2.从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒
/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
21．（1）见解析；（2）
45
． 【解析】
试题分析：（1）由于总共只有2名女生，因此随机变量X 的取值只能为0,1，2，计算概率为
32436
()k k C C P X k C -==，可写出分布列；（2）显然事件X k =是互斥的，因此(1)(0)(1)P X P X P X ≤==+=．
试题解析：（1）由题意知本题是一个超几何分步，随机变量X 表示所选3人中女生的人数，X 可能取的
值为0，1，2，()32436
,0,1,2k k C C P X k k C -=== X 的分布列为：
（2）由（1）知所选3人中最多有一名女生的概率为：()()()41015
P X P X P X ≤==+==
． 考点：随机变量分布列，互斥事件的概率．
22． (1) (,1]-∞ ；(2)证明见解析
【解析】
【分析】 （1）解法一：求得函数导数并通分，对a 分成1,1a a ≤>两种情况，结合函数的单调性、最值，求得实数a 的取值范围.解法二：将原不等式()0f x >分离常数a ，得到ln 1x x a x <-，构造函数ln ()1x x g x x =-，利用导数结合洛必达法则，求得()g x 的取值范围，由此求得a 的取值范围.（2）解法一：先由（1）的结
论，证得当1x ≥时3321()e F x e +<成立.再利用导数证得当01x <<时，3321()e F x e
+<也成立，由此证得不等式成立.解法二：将所要证明的不等式等价转化为332122ln x e x x x e e
+--<，构造函数()22ln (0)x x x x x ϕ=-->，利用导数证得3321()e x e ϕ+≤，进而证得332122ln x e x x x e e
+--<，也即证得3321()e F x e
+<. 【详解】
解：（1）【解法一】由1()ln 1()f x x a a x ⎛
⎫=--∈ ⎪⎝⎭
R 得： 221()(0)a x a f x x x x x
-'=-=>
①当1a ≤时，由1x >知，()0f x '>
()y f x =在区间(1,)+∞上为增函数，
∴当1x >时，()(1)0f x f >=恒成立，
所以当1a ≤时，满足题意；
②当1a >时，()y f x =在区间(1,)a 上是减函数，在区间(,)a +∞上是增函数.
这时当1x >时，()()ln (1)f x f a a a ≥=--，
令()ln (1)(1)g a a a a =-->，则11()10(1)a g a a a a
'-=-=<> 即()g a 在(1,)+∞上为减函数，所以()(1)0g a g <=
即()f x 在(1,)+∞上的最小值()0f a <，
此时，当1x >时，()0f x >不可能恒成立，即有1a >不满足题意.
综上可知，当1x >，使()0f x >恒成立时，
a 的取值范围是(,1]-∞.
【解法二】
当1x >时，()0f x >等价于ln 1x x a x <
- 令ln ()1
x x g x x =-，则只须使min ()a g x ≤ 22(1ln )(1)ln 1ln ()(1)(1)(1)
x x x x x x g x x x x '+----==>-- 设11()1ln ,()1x h x x x h x x x
'-=--=-= 1,()0,()x h x h x '>∴>在(1,)+∞上为增函数，()(1)0h x h ∴>=
所以()0,()'>g x g x 在(1,)+∞上为增函数，
当1x >时，1()lim ()x g x g x +
→> 由洛必达法则知1111(ln )lim ()lim lim lim(1ln )1(1ln 1)x x x x x x g x x x x x x ++++
→→→→'===+-=-' 即当1x >时，()1g x >，所以有1a ≤
即当1x >，使()0f x >恒成立时，则a 的取值范围是(,1]-∞
（2）解法一：由（1）知，当1a =时，
当1x ≥时，()0,()0,()0f x xf x xf x ≥≥-≤
又330x -≤
33()0x xf x ∴--≤
33
33()21()0x x xf x e F x e e --+=≤<成立 故只须在证明，当01x <<时，3()2F x e -<+即可
当1a =时，33()22ln ()x x x xf x x x x F x e e
----== 又当01x <<时，22ln 0,1x x x x e -->>
22ln ()22ln x e
x x x F x x x x --∴=<-- 所以，只须证明332122ln e x x x e
+--≤即可； 设()22ln (01),()2(1ln )ln 3(01)x x x x x x x x x ϕϕ'
=--<<=--+=--<<
由()0x ϕ'=得：3x e -= ∴当-30x e <<，时()0x ϕ'>
当31e x -<<时，()0x ϕ'
<
即()x ϕ在区间3(0,)e -上为增函数，在区间3(,1)e -上为减函数， ∴当01x <<时，()33333
321()22ln 22ln e x x x x e e e e e ϕϕ----+=--≤=--= 33
21()e F x e +<成立 综上可知，当1a =时，3321()e F x e
+<成立. （2）解法二：由（1）知当1a =时，3333()22ln 21()x x x xf x x x x e F x e e e
----+==< 等价于332122ln x e x x x e e
+--< 设()22ln (0),()2(1ln )ln 3(0)x x x x x x x x x ϕϕ'
=-->=--+=-->
由()0x ϕ'=得：3x e -= ∴当30x e -<<时，()0x ϕ'>；当3x e ->时，()0x ϕ'<
即()x ϕ在区间()30,e -上为增函数，在区间()
3,e -+∞上为减函数，
∴当0x >时，
()33333321()22ln 22ln e x x x x e
e e e e ϕϕ----+=--≤=--= 因为0x >时，e 1x >.所以3333
2121x e e e e e ++<• 所以332122ln x e x x x e e
+--<成立. 综上可知，当1a =时，33
21()e F x e +<成立. 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.
基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等比数列{}n a中，已知
57
1
24
1 1,
8
a a
a
a a
+
==
+，则5
a的值为（）
A．
1
2
B．
1
4
C．
1
8
D．
1
16
2．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B，则(|)
P B A=（）
A．
1
3
B．
1
6
C．
1
9
D．
1
12
3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如下的列联表：
由公式算得：K2＝
()
()()()()
2
n ad bc
a b c d a c b d
-
++++
≈7.8.附表：
参照附表，得到的正确结论是()
A．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”
4．定义在()
0,∞
+上的函数()
f x满足()
'10
xf x+>,()1
f e=-,则不等式()ln0
f x x
+>的解集为( ) A．()
0,e B．()
,e+∞C．()
1,+∞D．()
1,e
5．已知复数Z满足：(2)1
i z
-⋅=，则
2
5
z-=（）
A．
1
25
B．
1
5
C
5
D．
2
5
6．已知0.3
3
a=，3
log0.3
b=，3
0.3
c=，则（）
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．c b a >>
D ．a c b >>
7．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若301C c a =︒==，，ABC ∆的面积为
A ．
4
B C ．
34
D ．
32
8．设函数 ()'
f
x 是奇函数()f x 的导函数，
当0x >时，()ln ()0f x x x f x '⋅+<，则使得2
(1)()0x f x -<成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(1,)-∞-+∞
B ．(,1)(0,1)-∞-
C ．(1,0)
(0,1)- D ．(1,0)(1,
)
9．随机变量X 的分布列如右表，若7
()E X =
，则()D X =（ ）
A ．
12
B ．
36 C ．
6 D ．
6
10．已知随机变量X 的概率分布如下表，则()10P X =（ ）
A ．
9
3 B ．
10
3 C ．
9
3 D ．
103
11． “
1
1x
<”是“1x >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
二、填空题：本题共4小题
13．东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也.”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世.按父子相继曰世”.“一世”又叫“一代”，到了唐朝，为了避李世民的讳，“一世”方改为“一代”，当代中国学者测算“一代”平均为25年.另据美国麦肯锡公司的研究报告显示，全球家庭企业的平均寿命其实只有24年，其中只有约30%的家族企业可以传到第二代，能够传到第三代的家族企业数量为总量的13%，只有5%的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值.根据上述材料，可以推断美国学者认为“一代”应
为__________年．
14．把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有______________种．
15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.
16．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P(X≤6)＝________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，12AA =，2AB =，D 为1BB 的中点，点E 为线
段1AB 上的一点.
（1）若DE CD ⊥，求证：1DE AB ⊥；
（2）若12AE EB =，异面直线1AB 与CD 所成的角为30，求直线DE 与平面11AAC C 所成角的正弦值. 18．已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t α
α=-+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 2ρρθ=+．
(1)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (2)若4
π
α
=
，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标． 19．（6分）若函数()cos 3sin f x x x =，02
x π
≤<
.
（1）把()f x 化成()()sin f x A x =+ωϕ或()()cos f x A x ωϕ=+的形式；
（2）判断()f x 在0,
2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上的单调性，并求()f x 的最大值． 20．（6分）已知命题p ：(
)
2
2log 31x x -+>. （Ⅰ）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；
（Ⅱ）设命题q ：2x <；若“p q ∨”为真命题且“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围. 21．（6分）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是
23，乙胜的概率是1
3
，不会出现平局． （1）如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；
（2）如果采用五局三胜制(若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜)，求甲获胜的概率．
22．（8分）设函数2
ln a a f x
x x a
R x
.
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)当1a =时，记()()g x xf x =，是否存在整数t ，使得关于x 的不等式t g x 有解？若存在，请求出t
的最小值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
根据数列是等比数列得到公比，再由数列的通项公式得到结果. 【详解】
因为数列是等比数列，故得到357241,8a a q a a +==+进而得到12q =，则5a 4
111.216
⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ 故答案为：D. 【点睛】
这个题目考查了等比数列的通项的求法，是简单题. 2．B 【解析】
【分析】
(|)P B A 为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4同时两骰子的点数之和等于7的概率，利用公式
()()
(|)=
n AB P B A n A 求解即可．
【详解】
解：由题意，(|)P B A 为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7的概率．
抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4，基本事件有1863=⨯个，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7，基本事件有3个，分别为（1，6），（2，5），（3，4）， 1
(|)1836
P B A ∴=
=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查条件概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】 【详解】
2
2
110(40302020)7.860506050
k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
27.8 6.635K ≈> ，
则有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”. 本题选择A 选项.
点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释. 4．B 【解析】 【分析】
由已知条件构造辅助函数g(x)=f(x)+lnx ，求导，根据已知求得函数的单调区间，结合原函数的性质和函数值，即可()ln 0f x x +>的解集． 【详解】
令g(x)=f(x)+lnx (x>0) ，
则g'(x)=
()'1
xf x x
+ ，
又函数()f x 满足()'10xf x +>， ∴g'(x)=
()'1
0xf x x
+> ，
g(x)在()0,∞+单调递增. ∵()1f e =-，
∴()()ln 0e e f g e +==，
∴当()0,x e ∈，()0g x <，当(),x e ∈+∞，()0g x >， ∴当(),x e ∈+∞，则不等式()ln 0f x x +>成立. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查导数在研究函数中的应用和函数综合，一般采用构造函数法，求导后利用条件判断函数的单调性，再根据特殊值解出不等式所对应的区间即可，属于中等题. 5．B 【解析】 【分析】
由复数的四则运算法则求出复数z ，由复数模的计算公式即可得到答案． 【详解】
因为(2)1i z -⋅=，则1222(2)(2)55i i z i i i +===+--+，所以2155
z -=， 故选B ． 【点睛】
本题考查复数的化简以及复数模的计算公式，属于基础题． 6．D 【解析】 【分析】
根据指数和对数函数的单调性可确定临界值，从而得到大小关系. 【详解】
0.30331a =>=；33log 0.3log 10b =<=；300.30.31c =<=且30.30c =>
a c
b ∴>>
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查利用指数和对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】
根据已知求出b 的值，再求三角形的面积. 【详解】
在ABC ∆中，3013C c a =︒==，，， 由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅， 即2320b b -+=， 解得：1b =或2b =.
∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）. ∴ABC ∆的面积为1113
sin 13222ab C =⨯⨯⨯=
. 故选A. 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 8．D 【解析】
分析：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>，对()g x 求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得
()g x 在()0,∞+上为减函数，分析()g x 的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间()0,1和()1,+∞上
都有()0f x <，结合函数的奇偶性可得在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，进而将不等式变形
转化可得()2100x f x -><或()210
x f x -<>，解可得x 的取值范围，即可得答案.
详解：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>， 其导数()()()()()ln 1
ln f x x x f x g x f x x f x x x
+⋅=
⋅+=
'⋅''， 又当0x >时，()()ln 0f x x x f x '⋅+<， 则有()()()
ln 0f x x x f x g x x
'+⋅'=
<，
即函数()g x 在()0,∞+上为减函数， 又()()1ln110g f =⋅=，
则在区间()0,1上，()()ln 0g x x f x =⋅>，又由ln 0x <，则()0f x <， 在区间()1,+∞上，()()ln 0g x x f x =⋅<，又由ln 0x >，则()0f x <， 则()f x 在区间()0,1和()1,+∞上都有()0f x <，
又由()f x 为奇函数，则在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，
()()2
10x f x -<⇒()2100x f x -><或()210
0x f x -<>，
解可得：10x -<<或1x >. 则x 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞. 故选：D.
点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析()0f x <与()0f x >的解集. 9．B 【解析】
分析：根据题目条件中给出的分布列，可以知道a b 、和
16之间的关系，根据期望为()7
6
E X =，又可以得到一组关系，这样得到方程组，解方程组得到a b 、的值. 进而求得()D X . 详解：根据题意，11,6a b ++
=()17 0122,66E X a b a b =⨯+⨯+⨯=+= 解得3121
,,6263
a b ==== 则()2
2
2
17171717012.
66263636D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故选B.
点睛：本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，属基础题. 10．C 【解析】
由分布列的性质可得：923
99
21(1)
2
222133(10)1()113333313
P ξ-=-++++=-=-＝
，故选C. 11．B 【解析】。