同济大学材料力学复习课

一. 绪论
1. 衡量构建承载能力的三个指标： 强度、刚度、稳定性。

2．变形固体的三个基本假设:连续性假设、均匀性假设、各向同性假设。

3. 研究材料力学的前提:小变形假设. 4. 正应变和切应变:
lim
s u
s
ε∆→∆=∆
微体相邻棱边所夹直角的改变量 g ，称为切应变
5. 虎克定律
E σε=； G τγ=
二. 轴向拉压
1. 轴向拉压应力公式
N
F A
σ=
2。

斜截面应力公式
cos cos cos N F F F
p A A A αααασαα
=
=== 2cos cos p αασασα==
sin sin 22
p αασ
ταα==
x 轴逆时针转到 n 轴 “a ”规定为正值;
t a ：在保留段内任取一点，如果“t a ”对保留段内任 一点之矩为顺时针方向规定为正值，反之为负值。

2．画轴力图
3。

给出拉应力、压应力和截面尺寸,求许用荷载
4. 轴向拉压变形公式：
N F L L EA ∆= （L L ε∆=； E σε=； N F A
σ=）
εμε
'=
5。

轴向拉压变形
重点：
6。

低碳钢拉伸
p e s b σσσσ----比例极限弹性极限屈服极限强度极限
冷作硬化:在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段,卸载后短期内又继续加载,材料的比例极限提高而塑性变形降低的现象。

塑性材料： d ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 脆性材料： d <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 铸铁拉伸
{}0.2,,jx s b σσσσ=
7。

超静定问题
温度引起的变形：L tL α∆=∆
装配应力
三. 剪切
1.切应力公式：s
F A
τ=
2.
3。

四.扭转
1. 外力偶矩计算公式
9550(N m)N
m n
=⋅； N 千瓦（ KW ）;n 转／分 (r ／min)
2。

绘制扭矩图
3。

切应力计算公式 薄壁圆筒：202T
r t
τπ=;
0110t r ≤ 圆筒:P P P
T T T I I W ρτρ
=
==
（实心圆截面：43
ππ;3216
p p d d I W ==； 空心圆截面：()()434
4ππ1;13216p p D D I W αα=-=-；d D α=） 剪切虎克定律：G τγ=，2(1)
E
G μ=+
4. 切应力互等定理
5。

强度校核
6.扭转杆的变形
d =d L p p
T T dx x GI GI φφ=⎰；
/P
d T rad m dx GI φθ=
=
max 2
t 1max 3
t T T W hb Tl Tl GI Ghb τατγτφβ=
=
==
=
7。

扭转超静定问题
五. 弯曲
1。

剪力方程和弯矩方程求解，画剪力图和弯矩图。

2.简易法画弯矩图，叠加法画弯矩图.
()
()s 22
d d d ()
()d d ()
()d s F x q x x M x F x x M x q x x === 基本步骤： （1）确定梁上所有外力（求支座反力)； （2)分段
（3）利用微分规律判断梁各段内力图的形状； （4）确定控制点内力的数值大小及正负； （5）画内力图。

控制点：端点、分段点(外力变化点）和驻点（极值点）等。

3．弯曲变形基本公式:
Z 1
M EI ρ
=
；z z
My M I W σ== 矩形：312z bh I =;2
6
z bh W =
圆形：4π64z y d I I ==;3
π32
z y d W W ==
()44
π164z y D I I α==-；()34π132z y D W W α=-= 4。

强度校核 5。

切应力
s z z F S I b
τ*
=
；矩形:max 3 1.52s F A ττ==；圆形：S max 43F A τ= z S *为所求点对应位置以外的面积对Z 轴的静矩。

max 3 1.52s
F A
ττ=
=
S
max 43F A
τ=
弯曲中心:
6.积分法求梁的挠度和转角。

挠曲线，挠度向下为正；向上为负。

转角,由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。

22()d y
M x dx
EI =-
7.叠加法计算梁的变形.
8.梁的刚度校核。

9.简单超静定梁
六。

应力状态分析
1。

主应力和主平面：123σσσ≥≥ 2. 任意斜截面上的应力：
cos 2sin 22
2
x y
x y
xy ασσσσσατα+-=+
-
sin 2cos 22
x y
xy ασστατα-=
+
平面主应力：22
max min
(
)2
2
x y
x y
xy σσσσστ+-=
±+；022xy
x y
tg τασσ-=
-
最大切应力:22max min
(
)2
x y
xy σσττ-=±+；1tan 22x y
xy
σσατ-=
010(45)αα=+
3.莫尔圆的绘制和求解
4.广义虎克定理
1[()]1[()]1[()]x x y z y y z x z z x y E
E
E εσμσσεσμσσεσμσσ=
-+=-+=-+ 5.四大经典强度理论和强度校核
最大拉应力理论：[]b
1n σσσ≤=;
最大伸长拉应变理论：123()[]b n σσμσσσ-+≤
= 最大切应力理论：[]s 13s n σσσσ-≤= 形状改变比能理论：[]222s 122331s
1()()()2n σσσσσσσσ⎡⎤-+-+-≤=⎣⎦ []r σσ≤
1、一般情况下:
脆性材料采用第一、第二强度理论（断裂破坏）；
塑性材料采用第三、第四强度理论(屈服破坏）。

2、三向受拉的应力状态:采用第一、第二强度理论
（断裂破坏）
3、三向受压的应力状态：采用第三、第四强度理论
（屈服破坏)
[][]22322443r x xy r x xy σστσσστσ=+=+≤
七.组合变形
1。

斜弯曲
y z M y k M z k k k k z y
M z M y I I σσσ=+=+ 22max y z f f f =
+tan tan z z z z y y y y f F I I f I F I βϕ=== 2. 轴向拉（压）与弯曲组合
N z z F M W A σ=+ 偏心拉压
y
N z M y k F M z k k k k k z y
M z M y F A I I σσσσ=++=--- 3。

弯扭组合变形 M M W σ=;T p 2T T W W
τ== 2
2r3M T 4[]σστσ=+≤；22222max max max r3[]y z M M T M T W W σσ+++==
=≤ 22r4M T 3[]σστσ=+≤；22222max
max max r40.750.75[]y z M M T M T W W σσ+++==≤
八. 压杆稳定
1. 临界压力
22()
cr EI F l πμ= μ？
2.临界应力
22cr cr F E A πσλ
==；l i μλ=；I i A
=大柔度杆： ()p p λλσσ≥≤;22cr E πσλ
= 中柔度杆：
()s p p s λλλσσσ<<<<；cr a b σλ=-
小柔度杆:
()s s λλσσ≤≥;[]N F A
σσ=
≤ 安全系数法： [].cr cr st F F F n ≤=[].cr cr st
n σσσ≤= 折减系数法:
[][]().cr F A
σσϕλσ=≤=
中性轴：横截面上正应力为0的点组成的直线.（？为什么一定是直线？)
平面弯曲中，根据横截面上的轴向力=0的条件可证明“中性轴通过截面形心”。