2021届全国百师联盟新高考原创预测试卷(十四)文科数学

2021届全国百师联盟新高考原创预测试卷（十四）
文科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.已知复数z 满足()
1323i z i =（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A 【解析】
【详解】由()
13i z +3i =,得(
)(
)
23323623332131313i i i i i
z i i i
+====+++-，
所以得在复平面内对应的点的坐标为33,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
是第一象限的点,故选A.
2.圆的方程为2
2
2100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A. (1,1)-
B. 1(,1)2
-
C. (1,2)-
D.
1
(,1)2
-- 【答案】D 【解析】 【
分析】
将2
2
2100x y x y +++-=化为圆的标准方程可看出圆心坐标.
【详解】将2
2
2100x y x y +++-=配方,化为圆的标准方程可得
()2
211451110244x y ⎛⎫+++=++= ⎪⎝
⎭, 即可看出圆的圆心为1
(,1)2
--. 故选：D.
【点睛】本题考查了圆的一般式方程化为标准方程的运算,属于基础题.
3.2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（ ）
A. 17.5和17
B. 17.5和16
C. 17和16.5
D. 17.5和16.5
【答案】D 【解析】 【分析】
根据茎叶图将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列,再根据中位数和平均数的概念可得答案.
【详解】根据茎叶图的概念可得这12个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32, 再根据中位数的概念可得中位数为17.5, 根据平均数的概念可得平均数为235131717181921232832
12
+++++++++++16.5=.
故选:D
【点睛】本题考查了茎叶图的概念,中位数和平均数的定义,将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列是答题的关键,属于基础题.
4.某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（ ） A. 44号 B. 294号
C. 1196号
D. 2984号
【答案】B 【解析】 【分析】
使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有300020015÷=人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.
【详解】由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又294842101514-==⨯.其他选项均不满足. 故选：B
【点睛】本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型. 5.已知直线1:220l x y +-=，2:410l ax y ++=，若12l l ，则实数a
的
值为（ ）
A. 8
B. 2
C. 12
-
D. -2
【答案】A 【解析】 【分析】
利用两条直线平行的充要条件求解．
【详解】：∵直线l 1：2x+y-2=0，l 2：ax+4y+1=0，l 1∥l 2， ∴21 4
a =
， 解得a=8．
故选A .
【点睛】】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．
6.执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D 【解析】 【分析】
模拟运行过程，依次计算S ，直到退出循环为止.
【详解】由图1n S S n -=+（），模拟执行程序得程序框图的功能是计算0...1122+3n S n =++--≥-（）时的n 的值，.
模拟程序的运行，可得
S ＝0，n ＝1，
执行循环体，S ＝﹣1，不满足条件S ≥2，n ＝2， 执行循环体，S ＝1，不满足条件S ≥2，n ＝3， 执行循环体， S 2=-，不满足条件S ≥2，n ＝4， 执行循环体，S ＝2，
满足条件S ≥2，退出循环，输出n 的值为4． 故选：D ．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7.设2:log 0p x <，:33x
q ≥，则p 是q ⌝的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分条件也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求命题表示的两个集合，根据集合的包含关系，判断充分必要条件. 【详解】2log 001x x <⇒<<，:01p x ∴<<
331x x ≥⇒≥，:1q x ∴≥ ， :1q x ⌝<
{}{}011x x x x ≠
<<⊂≥，
∴ p 是q ⌝的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查判断命题的充分必要条件，意在考查基本方法和基本计算能力，属于基础
题型，当命题是集合形式时，:p x A ∈，:q x B ∈，若A B ≠
⊂时，p 时q 的充分不必要条件，同时，q 是p 的必要不充分条件，若A B =，则互为充分必要条件.
8.若抛物线2
16x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ）
A.
12
C. 1
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
利用抛物线定义列等式可求出0y 的值. 【详解】抛物线2
16x y =的准线方程为4y =-，
由抛物线的定义知，抛物线2
16x y =上一点()00,x y 到焦点的距离为04y +，
0043y y ∴+=，解得02y =，故选D.
【点睛】本题考查抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点
到抛物线准线的距离求解，考查运算求解能力，属于中等题. 9.若函数()2
2f x x ax =-+与()1
a
g x x =
+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围 （ ） A. ()()1,00,1- B. ()(]1,00,1- C. ()0,1 D. (]0,1
【答案】D 【解析】 【详解】对于
，开口向下，对称轴为
若函数在区间[]1,2上都是减函数，则区间[]1,2在对称轴的右侧，所以可得：
；
对于，其相当于将的图象向左平移个单位，
得到如下函数图像：
此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而
在单调递减，故的取值范围是
10.设点P 是圆22
(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（）
2 B. 2 C. 32 D. 222+
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出圆心到直线10x y --=距离，然后利用圆的性质可以求出点P 到直线10x y --=距离的最大值.
【详解】因为22
(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为2r =
10x y --=的距离为2
2
112(1)1
221(1)
d -⨯+⨯--=
=+-P 到直线10x y --=距离的
最大值为32d r += C.
【点睛】本题考查了圆上的点到定直线距离的最大值问题，利用圆的几何性质是解题的关键. 11.已知中心在原点的双曲线，其右焦点与圆2
2
410x x y -++=的圆心重合，且渐近线与该圆相离，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. 23
B. (1,2)
C. 23
)+∞ D. (2)+∞
【答案】D 【解析】
圆的方程化为()2
223x y -+= ，圆心为()2,0 ，半径为3,2c ∴= ，设渐近线方程为
b
y x a =
，由渐近线与该圆相离可得2223,1,2c d b a e a a a b
==>∴==+ ，故选D. 12.如图，三棱锥P ABC -的四个顶点恰是长、宽、高分别是m ，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A.
2563π
82π
C.
323
π
D. 36π
【答案】C 【解析】 【
分析】
根据三棱锥的体积关系可得6mn =,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得2224R m n ++根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.
【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n ,所以112232
n m ⋅⋅⋅⋅=,所以6mn =, 又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线, 设外接球的半径为R ,所以2224R m n =++,
所以2241244R mn ≥+=+=,当且仅当6m n ==时,等号成立,
所以2R ≥,
所以该三棱锥外接球体积为34
3R π3432233
ππ≥⨯=. 故选:C 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,
属于中档题. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.若实数,x y 满足10
00x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =+的最小值是______．
【答案】12
-
【解析】
【详解】由约束条件
10
x y
x y
x
-+≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
作出可行域如图，
令2
z x y
=+,则2
y x z
=-+，
由图可知,当直线2
y x z
=-+过B时，z有最小值.
10
x y
x y
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得
1
2
1
2
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
.
11
,
22
B
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
∴2
z x y
=+的最小值是
111
2
222
⎛⎫
⨯-+=-
⎪
⎝⎭
.
故答案为
1
2
-.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
14.斜率为2的直线l经过抛物线28
y x
=的焦点F,且与抛物线相交于,A B两点,则线段AB的长为__________.
【答案】10
【解析】
【分析】
联立直线与抛物线方程，根据抛物线焦点弦的计算公式：A B x x p ++，即可求解出过焦点的弦长AB .
【详解】因为焦点()2,0F ，所以():22l y x =-，
联立直线与抛物线可得：2824
y x
y x ⎧=⎨=-⎩，所以2424160x x -+=即2640x x -+=，
所以6A B x x +=，所以6410A B AB x x p =++=+=. 故答案为：10.
【点睛】本题考查抛物线焦点弦的弦长计算，难度较易.抛物线中计算焦点弦弦长的两种方法： (1)直接利用弦长公式：
AB ==
(2)利用焦半径公式简化计算：22
A B A B p p
AB x x x x p =+
++=++. 15.若倾斜角为α的直线l 与曲线3
y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____. 【答案】1
2
- 【解析】 【分析】
根据题意，求出3
y x =的导数，计算可得1|x y ='的值，由导数的几何意义可得tan 3α=，由三
角函数的恒等变形公式可得22
222
2sin cos 12tan cos sin 21
cos sin cos tan αααα
ααααα---==++，代入数据计算可得答案．
【详解】解：根据题意，曲线3
y x =，其导数2
3y x '=，
1|3x y =∴'=，
tan 3α∴=，
则22
2
222
22sin cos 12tan 1231
cos sin 22sin cos 1312
cos cos sin cos tan αααααααααααα---⨯-=-====-+++； 故答案为：1
2
-
【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题．
16.已知两圆221:4210C x y x y +-+-=与22
2:44170C x y x y ++--=，则它们的公共
弦所在直线方程为______. 【答案】4380x y --= 【解析】 【分析】
对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程.
【详解】因为22
1:4210C x y x y +-+-=与
222:44170C x y x y ++--=相交，
两圆的方程作差得86160x y --=，
所以公共弦所在直线方程为4380x y --=，故答案为4380x y --=.
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，两圆公共弦所在直线方程的求法，属于基础题. 若
221111:0C x y D x E y F ++++=与222222:0C x y D x E y F ++++=相交，则两圆公共弦所
在直线方程为两圆方程的差.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；
（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入x （单位：万元）
1 2 3 4 5
表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y 关于x 的回归方程.
附公式：12
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-.
【答案】（1）2;（2）5;（3） 1.20.2y x =+. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值； （Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．
【详解】（Ⅰ）设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知
()0.080.10.140.120.040.020.51m m +++++⋅==，故2m =；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是[)[)[)[)[)[]
0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12， 其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04， 故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5． 由题意可知，1234535x ++++=
=，23257
3.85
y ++++==，
5
1122332455769i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2
222221
1234555i
i x
==++++=∑，
根据公式，可求得26953 3.812
1.2555310
ˆb
-⨯⨯===-⨯， 3.8 1.230ˆ.2a =-⨯=，
即回归直线的方程为 1.2.2ˆ0y
x =+．
【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题．
18.已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =--，()x R ∈ （1）当[0,]2
x π∈时，求函数()f x 的最小值和最大值； （2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且3c =
，()0f C =，若向量
(1,sin )m A =与向量(2,sin )n B =共线，求,a b 的值.
【答案】（1）最大值为3-，最小值为0；（2）1,2a b == 【解析】
试题分析：（1）利用二倍角公式及化一公式，化简()f x 的表达式，再结合正弦函数的图象，在给定区域上求最值；（2）由()0f C =，解得C 角，利用共线条件及正弦定理得到b=2a ，再利用余弦定理解得,a b 的值. 试题解析： （1）
当 ，即时，有最小值为
当
，即
时，
有最大值为
(2)
与向量
共线
由正弦定理
得
①
，由余弦定理可得
②
①②联立可得
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：（1）定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.（2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.（3）求结果.
19.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=6，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．
（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
（2）若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P-EAD 的体积． 【答案】（1）见解析；（2）22
【解析】 【分析】
（1）由线线垂直得线面垂直AC⊥平面PBD ，再根据面面垂直判定定理得结果． （2）根据等体积法得P EAD E PAD O PAD P OAD V V V V ----===，再根据锥体体积公式得结果. 【详解】(1)证明：∵PD⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC⊥PD． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， 又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD ．
而AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC⊥平面PBD ．
（2）解：∵PD∥平面EAC ，平面EAC∩平面PBD=OE ， ∴PD∥OE，
∵O 是BD 中点，∴E 是PB 中点．
∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=60°， ∴三角形ABD 为正三角形． ∵PD⊥平面ABCD ，
∴P EAD E PAD O PAD P OAD V V V V ----=== =13
OAD
S
PD ⨯⨯=211322632⨯⨯⨯⨯=．
【点睛】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20.已知动圆M 在圆1F ：2
2
1
(1)4
x y ++=
外部且与圆1F 相切，同时还在圆2F ：2249
(1)4
x y -+=
内部与圆2F 相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；
（2）记（1）中求出的轨迹为C ，C 与x 轴的两个交点分别为1A 、2A ，P 是C 上异于1A 、2A 的动点，又直线:6l x =
x 轴交于点D ，直线1A P 、2A P 分别交直线l 于E 、F 两点，求
证：DE DF ⋅为定值．
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）由直线与圆相切，则12124
MF MF F F +=＞，则M 点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的
椭圆，即可求得椭圆方程；
（2）方法一：设00)(P x y ，，分别求得直线1PA 的方程，直线2PA 的方程，分别求得点E 和
F
的坐标，则))
20
20002222
2
4
y y
y DE DF x x x ⋅=⨯=⨯+--，即可求得
33
242
DE DF ⋅=-⨯=为定值；
方法二：设直线1PA 的斜率为1k ，直线2PA 的斜率为2k ，联立直线1PA 的方程与直线2PA 的方程，求出点P 坐标，将点P 坐标代入椭圆方程，即可求得123
4
k k =-
，1233
2242
DE DF k k ⋅==⨯-
=为定值． 【详解】（1）设动圆M 的半径为r ，由已知得112MF r =
+，27
2
MF r =-，12124MF MF F F +=＞，
∴M 点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，
设椭圆方程：22
221x y a b +=（0a b ＞＞）
，则2a =，1c =，则2223b a c =-=， 方程为：22
143
x y +=；
（2）解法一：设00)(P x y ， ，由已知得1(2,0)A -，220A （，
） ，则1002PA y k x =+，20
02
PA y k x =-，
直线1
PA 方程为：()10
022
PA y l y x x =
++：， 直线2PA 的方程为：()20
022
PA y l y x x =
--：，
当x =
D ，))
002222y y
E F x x ⎫⎫
⎪⎪+-⎭⎭
，
，，，
∴))
20
20002222
2
4
y y
y DE DF x x x ⋅=
⨯=⨯+--，
又
00)(P x y ，满足2200
143
x y +=，
∴2
020344
y x =--， ∴33
242
DE DF ⋅=-⨯=为定值．
解法二：由已知得1(2,0)A -，220A （，
），设直线1PA 的斜率为1k ，直线2PA 的斜率为2k ，由已知得，1k ，2k 存在且不为零，
∴直线1PA 的方程为：1(2)y k x +＝，
直线2PA 的方程为：2(2)y k x -＝，
当x =
D
，)
)))
1
2
22E
k F
k ，，
∴
))
1
2
12222DE DF k k k k ⋅=⨯=,
联立直线1PA 和直线2PA 的方程，可得P 点坐标为()121221
2124k k k k k k k k ⎛⎫
+ ⎪--⎝⎭，，
将P 点坐标代入椭圆方程2
2
3412x y +=中,得()
()
()
2
22
1212
2
2
21214163412k k k k k k k k +⨯
+⨯
=--，
即2222
12122112()6412()k k k k k k ++=-，
整理得121234()0k k k k =+ ，
120k k ≠，∴123
4k k =-，
∴1233
2242
DE DF k k ⋅==⨯-
=为定值． 【点睛】本题考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，解题时应注意分类讨论的数学思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理解题，属于高考常考题型. 21.已知函数ln ()1
a b x
f x x +=+在点(1,(1))f 处的切线方程为2x y +=
（1）求,a b 的值；
（2）若对函数()f x 定义域内的任一个实数x ，都有()xf x m <恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）2
1
a b =⎧⎨=-⎩；（2）()1,+∞
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，根据切线方程得到关于a ，b 的方程组，解出即可； （Ⅱ）求出f （x ）的解析式的导数，得到
2ln 1x x x x -+＜m ，令g （x ）=2ln 1
x x x
x -+，根据函数的
单调性求出g （x ）的最大值，从而求出m 的范围即可． 试题解析：
(1）
点处的切线方程为，，
解得：
(2)由(1）得，由得，
令，，
令，则
，
∴在区间
上是减函数，
∴当时，
，，在是增函数， 当时，，
，
在
是减函数，
∴当
时，有最大值
，
，∴m 的取值范围是
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1,2
1.2
x t y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数）.在以原点O 为极轴，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）若点P 坐标为()1,1，圆C 与直线l 交于,A B 两点,求PA PB +的值.
【答案】(1)直线l 的普通方程为：20x y +-=，圆C 的直角坐标方程为：
()
2
224x y -+=(2)4.
【解析】 试题分析：
(1)结合所给的方程可得：直线l 的普通方程为：20x y +-=，圆C 的直角坐标方程为：
()
2
224x y -+=；
(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义可得：
PA PB +的值是4.
试题解析：
（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程为：20x y +-=，
极坐标方程即：24cos ρρθ=，则直角坐标方程为：22
4x y x +=，
据此可得圆C 的直角坐标方程为：()2
224x y -+=
（2
）将1,
2
1.x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
代入()2224x y -+=
得：220t +-=
得12120,20t t t t +=-<⋅=-<，则
124PA PB t t +=-==
23.已知1x y z ++= （1）证明： 2
2
2
13
x y z ++≥
；
（2）设,,x y z 为正数，求证： 1111118x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）把条件平方，利用作差法证明不等式；（2）利用分析法，要证不等式转化为
()()()y 8y z x z x xyz +++=，结合均值不等式，不难证明上述不等式成立.
试题解析：(1）1x y z ++=，2()1x y z ∴++=，
则2
2
2
222211
()()33x y z x y z x y z ++-
=++-++ 2222221
()(222)3
x y z x y z xy xz yz =++-+++++
2221
(222222)3x y z xy xz yz =++--- 2221
[()()()]03
x y y z x z =-+-+-≥，当且仅当x y z ==时取等号， 2221
3
x y z ∴++≥
(2)要证111(1)(1)(1)8x y z ---≥，需证(1)(1)(1)8x y z x y z x y z x y z ++++++---≥，即证：8y z x z x y x y z
+++⋅⋅≥，需证()()()8y z x z x z xyz +++≥，,,x y z 为正数，由基本不等
式，可得y z x z x y +≥+≥+≥x y z ==时取等号，将以上三个同向不等式相乘得()()()8y z x z x z xyz +++≥，所以原不等式1
11
(1)(1)(1)8x y z
---≥成立.
- 21 -。