[推荐学习]高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.3空间中的垂直关系2自我小测新人教B版必修2

1.2.3 空间中的垂直关系 2
自我小测
1．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b( )
A．可能垂直，不可能平行 B．可能平行，不可能垂直
C．可能垂直，也可能平行 D．不可能垂直，也不可能平行
2．给出以下四种说法：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条
直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
其中正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足l＝β∩γ，l∥α，m⊂α，m⊥γ，那么必有( ) A．α⊥γ和l⊥m B．α∥γ和m∥βC．m∥β和l⊥m D．α∥β和α⊥γ
4．设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m B．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αC．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥αD．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
5．下列说法正确的是( )
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；
④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．
A．①③ B．②③ C．②③④ D．④
6．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列说法正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
7．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，且一点P到这三个平面的距离分别为3,4,5，则OP的长为________．
8．已知平面α，β和直线m，给出条件：
①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．
(1)当满足条件________时，有m∥β；
(2)当满足条件________时，有m⊥β．(填所选条件的序号)．
9．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直．
上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
10．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，
AB＝12，AD＝5，BC＝DE＝4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B 两点重合于点G，得到多面体CDEFG．
(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；
(2)求多面体CDEFG的体积．
11．如图所示，在三棱锥P­ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．12．如图所示，在三棱锥S­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB．过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA．
参考答案
1．解析：若a∥l，b∥l，则a∥b，但a与b不可能垂直．
答案：B
2．解析：根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理易知③错，①②④正确，故选B．
答案：B
3．解析：由m⊥γ，l⊂γ，可得m⊥l．由m⊂α，m⊥γ，可得α⊥γ．答案：A
4．解析：A项中，l∥β或l⊂β，m与l可能异面、相交或平行，故A项错；B项中，若m∥n，则无法得出l⊥α，故B项错；C项中，由l∥m及m∥n，可得l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故C项正确；D项中，m与n可能异面或相交，故D项错．故选C．
答案：C
5．解析：过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a⊥α，则a⊂β或a∥β，所以②不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以③也不对．答案：D
6．解析：在题图①中，因为∠BAD＝90°，AD＝AB，
所以∠ADB＝∠ABD＝45°．
因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°．
又因为∠BCD＝45°，
所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD．
在题图②中，此关系仍成立．
因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD．
因为BA⊂平面ADB，所以CD⊥AB．
因为BA⊥AD，所以BA⊥平面ACD．
因为BA⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD．
答案：D
7．解析：OP可看作是以3,4,5为棱长的长方体的体对角线．
答案：
8．答案：③⑤②⑤
9．解析：(1)由面面平行的判定定理可得，该命题正确．
(2)由线面平行的判定定理可得，该命题正确．
(3)如图(举反例)，a⊂α，α∩β＝l，a⊥l，但α与β不垂直．
答案：(1)(2)
10．(1)证明：因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形，
由GD＝5，DE＝4，得
GE3．
由GC＝CF＝4，得FG＝4，所以EF＝5．在△EFG中，有EF2＝GE2＋FG2，
所以EG⊥GF．
又因为CF⊥EF，CF⊥FG，所以CF⊥平面EFG．
所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG．
又EG⊂平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG．
(2)解：如图，在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于点H，
则GH＝EG GF
EF
＝
12
5
．
因为平面CDEF⊥平面EFG，所以GH⊥平面CDEF，
所以V多面体CDEFG＝1
3
S矩形CDEF·GH＝16．
11．证明：(1)因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB．
又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以EF∥平面PAB．
(2)因为PA＝PC，E为AC的中点，
所以PE⊥AC．
又因为平面PAC⊥平面ABC，PE⊂平面PAC．
所以PE⊥平面ABC，所以BC⊥PE．
因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB．
又EF∥AB，所以BC⊥EF．
又PE∩EF＝E，所以BC⊥平面PEF．
又BC⊂平面PBC，
所以平面PEF⊥平面PBC．
12．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，
垂足为F，所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，所以EF∥AB．
因为EF 平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC．
同理EG∥平面ABC．
又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC．
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，
且交线为SB，
又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，
所以AF⊥平面SBC．
因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC．
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB．
因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA．。