圆锥曲线中的最值与定值问题

圆锥曲线中的最值与定值问题
圆锥曲线中的最值问题
【考点透视】
圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：
当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论
能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值 . 利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数
的有界性。

【题型分析】
x 2 y
2
1
1. 已知 P 是椭圆
A （2， 0），
B （ 0，1），O 为原点，求四边形 OAPB 的面积的最大值
4
在第一象限内的点，
分析：设
P （ 2cos
,
sin
） ，
( 0
2 ) , 点 P
到 直 线
AB ： x+2y=2
的 距 离
| 2cos
2sin
| 2 2 sin(
) 2 |
2 2
2
2 |
4
d
5
5
5
∴所求面积的最大值为
2
（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）
2. 已知点 M (-2 ， 0) ， N (2,0) ，动点 P 满足条件 | PM | |PN | 2 2 . 记动点 P 的轨迹为 W .
（Ⅰ）求 W 的方程；
（Ⅱ）若 A ，B 是 W 上的不同两点， O 是坐标原点，求 OA OB 的最小值 .
解：（Ⅰ）依题意，点 P 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支，
M N
所求方程为：
x 2
－y 2
＝1 （ x 0）
2 2
（Ⅱ）当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 x ＝x 0，
此时 （ 0 ， 2 ）， B （ x 0，－ x 2
＝2
A x x 0－2 0－2 ）， OAOB
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 的方程为 y ＝kx ＋ ，
AB
b
代入双曲线方程
x 2
－ y 2
＝1 中，得：
22
－
2
＝0 2 2 (1 －k ) x 2kbx －b － 2
y y
依题意可知方程 1 有两个不相等的正数根，设
( 1 , 1),(
2
,
2)
，则
A x
B x
4k 2b 2
4(1 k 2 ) ( b 2 2)
x 1 x 2 2kb
解得 | k |
1，
1 k
2
x 1x 2 b 2
2 0
k 2
1
又 OA OB ＝x 1 x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2 ＋（ kx 1＋ b ）（ kx 2 ＋b ）
2
）x 1
x 2
＋ kb （ x 1
＋x 2
2
2k 2
＋2 ＝2＋ 4
＝（ 1＋k ）＋ b
＝ 2－1 2
k k 2－1 综上可知 OA OB 的最小值为 2
3. 给定点 (-2,2) ，已知 B
是椭圆
x 2 y 2 1 上的动点， F 是右焦点，当 AB
5 B 点的坐
A
25 16 BF 取得最小值时，试求
3
标。

1
解：因为椭圆的
e
3 ，所以 AB
5
BF AB
1
BF ，而
1
BF 为动点 B 到左准线的距离。

故本题可化
5
3
e
e
为，在椭圆上求一点
，使得它到
A 点和左准线的距离之和最小，过点
B 作 l 的垂线，垂点为
，过
A 作此准线的垂线，垂
B
N
点为 ，由椭圆定义
M
|BF | |BN|
|BF |
5
e
e
|BF|
|BN |
3
于是
AB
5 |AB|
|BN| |AN |
AM 为定值
BF
3
B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立，此时
B 为 (
5 3
其中，当且仅当
, 2)
2
所以，当
AB
5 BF 取得最小值时， B 点坐标为 (
5 3
,2)
3
2
4. 已知椭圆
x 2
y 2
1 ， A （ 4，0），B （ 2， 2）是椭圆内的两点， P 是椭圆上任一点，求： （ 1）求
5
|PA| |PB |
的
25
9
4
最小值；（2）求 | PA |
| PB |的最小值和最大值
分析：（1）A 为椭圆的右焦点。

作 PQ ⊥右准线于点 Q ，则由椭圆
的第二定义
|PA |
e
4
5
|PB| |PQ| |PB|
然点 P 应是过
|PQ |
，∴
|PA|
，显
5
4
B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为
17 。

4
（2）由椭圆的第一定义，设 C
为 椭 圆 的 左 焦 点 ， 则 | PA | 2a | PC | ∴
|PA| |PB| |PA| 2a |PC | 10 (| PB| | PC |) ，根据三角形中两边之差小于第三边，当
P 运动到与 B 、C
成一条直线时，便可取得最大和最小值。

当
P 到 P"位置时， | PB | |PC |
| BC | ， | PA | | PB |有最大值，最大值
为 10 |BC|
10 2 10
；当
P 到P ' 位置时， | PB |
|PC|
| BC | ， | PA | | PB | 有最小值，最小值为
10 |BC | 10 2 10.
（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）
5. 已知 P 点在圆
2
+( y -2) 2 =1 上移动， Q 点在椭圆 x
2
y 2
上移动 , 试求 的最大值。

x
|PQ|
9
1
Q
1
时 |
最大，因此要求 |
| 的最大值，只要求 | 1 | 的最大值 .
解：故先让 点在椭圆上固定，显然当 通过圆心
设 (
)，则|
| 2=
2+(
-4) 2
PQ
O
PQ|
PQ
OQ
， 1 x y ①
Q x
y OQ
因 Q 在椭圆上 , 则 x 2 =9(1- y 2) ②
1 2 将②代入①得 |
1
| 2= 9(1-
2
)+(
y -4) 2
8 y
27
OQ
y
2
因为 Q 在椭圆上移动，所以 - 1 y 1，故当 y
1 时， O 1
Q max
3 3 2
此时 PQ max
3 3 1
【点睛】 1. 与圆有关的最值问题往往与圆心有关；
2
2. 函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数
．．．．．．．．
自变量取值范围的考察不能被忽视 。

．．．．．．．．．．．．．．．
6. 已知△ OFQ 的面积为 2
6，
OF FQ
m
（1）设
6 m 4 6，求
OFQ 正切值的取值范围；
（2）设以 O 为中心， F 为焦点的双曲线经过点
Q （如图），
| OF | c, m
( 6 1)c 2
当 | OQ | 取得最小值时，求此
4
双曲线的方程。

解析：（1）设
OFQ
| OF | | FQ | cos(
) m
tan
4 6 6 m
4 6
1
|OF | | FQ |sin
2 6
m
2
4 tan
1
（2）设所求的双曲线方程为
x 2 y 2 1( a 0, b 0), Q(x 1, y 1), 则 FQ ( x 1 c, y 1 )
a
2
b
2
∴
S OFQ
1
|OF | | y 1 |
2 6
，∴
y 1
4 6
2
c
又∵ OF
FQ m
，∴
OF FQ (c,0) ( x 1 c, y 1)
(x 1 c) c
( 6 1 c 2
4
x
6
c,
|OQ| x 2 y 2
96 3c 2
12.
1
4
1 1
c 2 8
当且仅当 c
4 时， | OQ |最小，此时 Q 的坐标是 ( 6, 6) 或 ( 6, 6)
6
6
1
a 2 4 2 2 1.
a
2
b
2
b
2
，所求方程为
x
y a 2
2
16
12
4
12
b
（借助平面向量，将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、基本不等式等多个知识点有机的结合起来，综合考察学生应用
相关知识点解题的能力）
F 1 ， F 2
x 2
y 2
F 2 的直线与椭圆相交于
A 、
B 两点，求△ F 1 AB 的面积的
最
7. 如图所示，设点
是
3
1的两个焦点，过
2
大值，并求出此时直线的方程。

分析：
S
F 1AB S
F 1F 2 A S
F F B
，设
A( x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ， 则
1 2
3
S
FAB
1
| F 1 F 2 | | y 1 y 2 | | y 1 y 2 | ( c 1)
1
2
设 直 线
AB
的 方 程 为
x k1 y
代
入
椭
圆
方
程
得
(2k 2 3)y 2 4ky 4
y 1 y 2
2k 4k , y 1 y 2 4 3
2 3
2k 2
即
| y 1
y 2 |
4 3(k 2 1)
4
3
2k 2 3
1
2 2
1
k k
2
1
令
t
k
2
1 1，∴ S FAB
4 3 ，
2t 1 （ t
1 ）利用均值不等式不能区取“＝”
1 2t 1
t
∴利用
f (t)
1 1 ）的单调性易得在 t 1时取最小
值
2t
（ t
t
S F AB 在
t
1 即 k
0 时取最大值为 4
3
，此时直线 AB 的方程为 x
1
1
3
（三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调性的综合应用）
（从特殊入手，求出定点（定值） ，再证明这个点（值）与变量无关。

）
8．设椭圆方程为
x
2
y 2
1 ，过点 M （ 0，1）的直线 l 交椭圆于点 A 、B ，O 是坐标原点，点 P 满足 OP 1
(OA OB)
，
4
2 点 N 的坐标为 ( 1 , 1
) ，当 l 绕点 M 旋转时，求（ 1）动点 P 的轨迹方程；（2） | NP |
的最小值与最大值 .
2 2 l l
【专家解答 】（ 1）法 1：直线 过点 （0，1）设其斜率为 ，则 的方程为
1.
M k
y=kx+
记 ( 1, y 1 ), ( 2, y 2) ，由题设可得点 、 的坐标 ( x 1, y 1)、( x 2, y 2 ) 是方程组
A x
B x
A B
y
kx 1
①
2
的解 . 将①代入②并化简得 (4+
k 2
)
x 2 +2
-3=0 ，
x
2
y 1
kx
②
4
x 1
x 2
2k
, 所以
4 k 2
8
y 1
y 2
2
.
4 k
于是
OP
1 (OA
OB )
(
x
1
x 2 , y
1
y
2 )
(
k 2 ,
4
4
2).
2
2
2
4 k
k
设点 P 的坐标为 ( x,y ),
则
x
k ,
4 k 2
消去参数 k 得 4 2+ 2- y =0 ③
4
x y
y
4 k 2
.
0， 0），也满足方程③，
当 k 不存在时， A 、B 中点为坐标原点（ 所以点 P 的轨迹方程为 4 x 2 + 2 - =0
y
y
解法二：设点 P 的坐标为 ( x , y ) ，因 ( 1 , y 1), ( 2,
y 2 )
在椭圆上，所以
A x
B x
x 12 y 12 1,
④ x 22
y 22 1.
⑤
4
4
4
④—⑤得 x
1
2
x 22
1
( y 12
y 22 ) 0 ，
4 1
( y 1
所以
( x 1
x 2 )(x 1
x 2 )
y 2 )( y 1 y 2 ) 0.
4
当
x 1
x 2 时，有 x 1
x 2
1 y 1 y
2 0.
( y 1 y 2 )
x 2
⑥
4
x 1
x
x 1x
2
,
2
并且
y
y 1 y 2
,
⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4 x 2 +y 2- y =0 ⑧
2
y 1 y
1
y 2 .
x
x 1 x 2
当 x 1 =x 2 时，点 A 、B 的坐标为（ 0，2）、（ 0，－ 2），这时点 P 的坐标为
P 的轨迹方程为
x
2
( y 1 )2
（0，0）也满足⑧，所以点
1 2 1.
1
16
4
（2）由点 P 的轨迹方程知 x 2
1
,即 1 x
1
.所以
16 4
4
|NP|2
( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 ( x 1 ) 2 1 4x 2 3( x 1 ) 2
7
2 2 2 4
6 12
故当 x
1 ， | NP | 取得最小值，最小值为 1 ;
4 4
当
x
1 时， | NP | 取得最大值，最大值为 21 .
6
6
9. 椭圆 E 的中心在原点
O ，焦点在 x 轴上，其离心率 e
2 , 过点 C （－ 1,0 ）的直线 l 与椭圆 E 相交于 A 、B 两点，
3
且满足点 C 分向量
AB 的比为 2.
（ 1）用直线 l 的斜率 k ( k ≠0 )
表示△ OAB 的面积；（2）当△ OAB 的面积最大时，求椭圆 E 的方程。

解：（1）设椭圆 E 的方程为
x 2
y 2 1( a ＞ b ＞0 ) ，由 e = c
2
a 2
b 2 a
3
∴a 2=3b 2 故椭圆方程 x 2 + 3 y 2 = 3 b 2
A x 1
, y
1 ) 、 B x , y
2
), 由于点 C
AB
的比为 2，
设 (
( 2
（－ 1，0）分向量
x 1 2x 2
1
①
x 1 1 2( x 2 1)
∴
3
即
y 1
2 y 2
y 1 2 y 2 0 ②
3
x 2 3y 2 3b 2 消去
y 整理并化简得
(3
k 2
+1)
x 2
2
+3
k 2
2
由
+6
－3
=0
y k( x 1)
k x
b
由直线 l 与椭圆
E 相交于 （ 1 ,
y 1
）, ( 2 ,
y 2)
两点得：
A x
B x
5
0恒成立（点 C 是 AB 的内分点）
x 1
x 2
6k 2
③
3k 2 1
x 1x 2 3k 2 3b 2
3k 2
1 ④
而 △OAB
1 y
2 | 1
y 2 | 3
3 | k ( x 2 1) |
S
| y 1
| 2y 2
| y 2 |
2
2
2
2
由①③得 : x
2+1=－
2
，代入⑤得：
S
3 | k | ( k 0)
3k
△
OAB
=
2 1
3k 2 1
（2）因 S △ OAB =
3 | k |
3
3
3 ,
3k 2
1
1
2 3
2
3| k |
| k |
当且仅当 k
3 , S
△ OAB
取得最大值
3
此时 x 1 + x 2 =－1,
又∵
x 1 2x 2 = － 1
∴ x 1=1, x 2 =－ 2
3
将 x 1 , x 2 及 k 2 =
1
代入④得 3b 2 = 5 ∴椭圆方程 x 2 + 3 y 2 = 5
3
10. 我们把由半椭圆
x 2 y 2 1 ( x ≥
0) 与半椭圆
y 2 x 2 a 2
b 2
b 2
c 1
2
a 2
b 2
c 2 ， a 0 ， b c 0 ．
如图，设点
F 0 ， F 1 ， F 2 是相应椭圆的焦点，
A 1 ， A 2 和
B 1 ， B 2 是“果圆” 与 x ， y 轴
3 | k || x 2 1| ⑤ 2
( x ≤ 0) 合 成的 曲线称 作 “ 果 圆 ”， 其中
的交点，
M
是线段
A 1 A 2 的中点．
（
1） 若
△ F 0 F 1F 2 是边长为 1 的等边三角形，
（ 2）求该“果圆”的方程；
（ 2）设 P 是“果圆” 的半椭圆 y
2
x 2 1 ( x ≤ 0) 上任意一点． 求证：当 PM 取得最小值时， P 在点 B 1，B 2 b 2
c 2
或
A 1处；
（ 3）若 P 是“果圆”上任意一点，求
PM
取得最小值时点
P 的横坐标．
解：（1）
F 0 ( c ，0)， F 1 0，
b 2
c 2 ， F 2 0， b 2 c 2 ，
F 0 F 2
b
c
c
b 1， F 1F 2 2 b c
1 ，于是 c 2
3， a 2
b 2
c 2
7 ，
2
2
2
2
2
4
4
6
所求“果圆”方程为4 x2 7
（2）设P( x，y)，则
2 |PM |2x a c
2
b22
( a c )x 1x
c2
b2
10，
c2
取到．y2 1 ( x≥ 0) ， y2
4
x2 1 ( x≤ 0)
．
y
3
B2
y 2
.
F 2
O
. .
x
.M F0
( a c )
2A1A2 b2， c ≤ x ≤ 0 ，
4F1
| PM |2的最小值只能在x0 或x c 处
B1
即当 PM 取得最小值时，
P 在点B1，B2或A1处．
22
（ 3 ）| A1M | |MA2 | ，且 B1和 B2同时位于“果圆”的半椭圆x
2y2 1 ( x ≥ 0)
和半椭圆a b
y2x2
1 ( x ≤ 0) 上，所以，由（x2y2
1( x ≥ 0) 上的情形即可．
b2c2
2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆
b2
a 2
22
|PM |2x a c y 2 c 2x a2 (a c)b2(a c)2 a 2 (a c)2．
2 a 22c244c2
2
2a 2(a c)
当
x a ( a c) ≤
a
，即 a ≤ 2c 时，
|PM |
x
的最小值在
2c2
时取到，2c2
此时 P 的横坐标是a 2 (a c) 2c 2
．
当 x a 2 (a c) a ，即 a2c 时，由于|PM |2在 x a 时是递减的， |PM |2的最小值在 x a 时取到，2c 2
此时 P 的横坐标是a．
综上所述，若 a ≤2c ，当| PM |取得最小值时，点 P 的横坐标是
a 2 ( a c)
2c ；
2
若 a2c ，当 |PM | 取得最小值时，点P 的横坐标是a或 c ．
11. P、 Q、M、N 四点都在椭圆x2y 21上， F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点。

已知
PF与FQ共线，MF与FN
2
共线，且 PF 2
MF。

求四边形
PMQN
的面积的最小值和最大值。

分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。

解：如图，由条件知MN和 PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（ 0，1），且 PQ⊥ MN，直线 PQ、MN中至少有一条存在斜
率，不妨设 PQ的斜率为k，又 PQ过点 F（0，1），故 PQ方程为
y kx 1 。

代入椭圆方程得2k 2 x 22kx 1 0
7
设 P 、Q 两点的坐标分别为
x ，y 1 ， x ，y
2 ，则：
1
2
2
2
，x 2
2
x 1
k
2k
k
2 2 k 2
2
k 2
k 2
8 1 k
2
2 2 2 1 k
2
2
x x
2
y
y
2
从而 PQ
2
1 2
， PQ
1 2 k 2
2
2 k 2
①当 k
0 时， MN 的斜率
为
1
，同上可推得
k
1 2
2 2 1
k
MN
2
2
1
k
1
4 1 k 2
1
1 4
2 k 2
1 故四边形面积
S
PQ 2 MN
k 2
k 2 2
2
1
2
2
2 k 2
5 2 k
2
k
2
k
令 u k 2
1 ，得 S 4
2 u 2 1
1
k 2
5 2u
5 2u
因为 u k 2
1
2 ，此时 k
1， u 16
2
2 ， S
k
9
，且 S 是以 u 为自变量的增函数， 所以
16
S
2 。

9
②当 k 0 时， MN 为椭圆长轴， MN 2 2，PQ
2
S
1 PQ
2 MN
2
2
16
综合①②知，四边形
PMQN 面积的最大值为
2，最小值为。

9
12. 已知抛物线
y
2
2 px p 0 ，过 M （ a ，0）且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点 A 、 B ， AB 2 p 。

（ 1）求 a 的取值范围；
（ 2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N ，求△ NAB 面积的最大值。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（
1），可以设法得到关于 a 的不等式，通过解不等式求出
a 的
范围，即“求范围，找不等式” 。

或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围。

对于（
2）首先要
把△ NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值。

解：（1）直线 l 的方程为： y
x a
，将
y
x a 代入抛物线方程
y 2 2 px ，设得 x 2 2 a p x
a 2
设直线 l 与抛物线两交点的坐标分别为
A x 1 ，y 1 ，
B x 2 ，y 2
，则
8
4 a p 2 4a 2 0
x
x
2 2 a
p
，并且 y
1x
1
a ，y
2
x
2 a
1
x 1 x 2
2
a
AB
x 1 x 2 2
y 1 y 2 2
2 x 1 x 2
2
4 x 1 x 2
8 p p 2a
又
AB 2 p ， 8 p p 2a 0
所以 0
8 p p
2a
2 p
p
a
p
解得：
4
2
（ 2）令 AB 中点为 Q ，
S
1
AB2 QN
NAB
2
即△ NAB 的面积的最大值为
【热点透析】
2
p2 | AB|
2
p2 2p
2 p 2
2
2
2 p 2 。

圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．
在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．
解答此类问题的基本策略有以下两种：
1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量
的定值，再证明结论与特定状态无关．
2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．
【题型分析】
1. 过抛物线 m ：
y ax 2 （ a ＞0）的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P, Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别为
p, q ，则
p 1 q 1 的值必等于（
）．
A ． 2a
B
1 C
． 4a
D
4
．
．
解法 1：（特殊值法） 2a
a
令直线 l 与 x 轴垂直，则有 l ：
y
1 p q
1 ，所以有 p 1 q 1 4a
4a
2a
解法 2：（参数法）
如图
1，设
P( x 1, y 1 ) ， Q(x 2, y 2 ) 且 PM ， QN 分别垂直于准线于 M , N ．
p
PM
1 ， q QN
y 2 1 y 1
4a
4a
1
1
抛物线 y
ax 2 （ a ＞0）的焦点 F (0, ) ，准线
y
．
1
4a
4a
y
∴ l ：
y kx
4a
又由 l m ，消去 x 得
P
F
9
Q
O
x
16a2 y28a(1 2k 2 ) y 10
∴
y1 y2 1 2k2, y1 y21，
2a16a2
∴
p q 1k 21
( y1
1 1 k 2
, pq y1 y2
4a
y2 )
2
4a2 a16a
∴ p1q 14a ．
【难点突破】
2. 若AB是过椭圆中心的一条弦,M是椭圆上任意一点, 且AM,BM与坐标轴不平行 ,,分别表示直线 AM, BM的斜率,则=()
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】本题可用特殊值法．不妨设弦
AB 为椭圆的短轴．为椭圆的右顶点，则(0， )， (0，－
b
) ， (， 0) ．所以M Ab B M a
．故选 B．
3. 已知 F1、F2是两个定点，点P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和 e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有
A.+=4
B.+=2
2
+e2222
C.e 1=4
D.e 1+e2=2
【答案】 B设椭圆长轴长为2a1 , 双曲线实轴长为2a2, 焦距均为 2c,
∴∴ |PF 2|=a 1 +a2 ,|PF 1|=a 1 -a 2 .
∵PF1与 PF2垂直 , ∴|PF 1| 2+|PF 2| 2 =|F 1F2 | 2 .
10
∴(a 1 +a2) 2 +(a 1 -a 2) 2 =4c2, ∴2a12 +2a22=4c2 . ∴+=2.
4. 已知定圆 O1、O2的半径分别为r 1、r 2 , 圆心距 |O 1O2|=2, 动圆 C 与圆 O1、O2都相切 , 圆心 C 的轨迹为如图所示的两条双曲线,
两条双曲线的离心率分别为e1、 e2 , 则的值为
A.r 1+r 2
B.r 1和 r 2中的较大者
C.r 1和 r 2中的较小者
D.|r1-r 2 |
【答案】 B若动圆与⊙ O1，⊙ O2外切或内切，则2a=|r 1 -r 2|,2c=2,当r1＞r2时，==; 当 r 1＜r 2 , 则=.
若动圆与⊙ O1和⊙ O2内切与外切，则 2a=r 1+r 2 ,2c=2, ∴= =.
∴r 1＞ r 2时，=+=+=r 1;
r 2＞r 1时，=+=+=r 2, 故选 B.
5. 如图 2 所示， F 为双曲线C:=1 的左焦点，双曲线 C 上的点P i与P7 -i(i=1,2,3)关于y 轴对称，则|P 1 F|+|P 2 F|+|P 3 F|-|P 4 F|-|P 5F|-|P 6F| 的值是
图 2
A.9
B.16
C.18
D.27
【答案】 C取双曲线右焦点记为 F2 ,
∵P3与 P4关于 y 轴对称 , ∴|P 4 F|=|P 3 F2|. ∴|P 3 F|-|P 4F|=|P 3F|-|P 3 F2 |=2a=6.
同理 ,|P 2F|-|P 5F|=|P 1F|-|P 6 F|=6.
∴|P 1 F|+|P 2F|+|P 3F|-|P 4 F|-|P 5F|-|P 6 F|=18.
6．双曲线-y 2=1 的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上,PQ 是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O 为
坐标原点 ,则2等于
A.0
B.-1
C.1
D. 与 PQ的位置及 a 的值有关
【答案】答案：C
解析 : 由题意知 2=c 得 c2 =2a2, 又 c 2 =a2+b2=a2+1, ∴ a2=1.
∴双曲线为 x 2 -y 2=1. 设 P(x 0,y 0),则 Q(x0,-y0).
故=(x 0,y 0 ),=(x 0 ,-y 0),2
22
=1. =x0-y 0
7．过点 M(p,0) 任作一条直线交抛物线y 2=2px(p ＞0) 于 P、 Q两点 , 则+的值为
A. B. C. D.
【答案】答案 :D
【解析】不妨取PQ⊥x 轴, 则 P(p,p),Q(p,-p), ∴|MP|=p,|MQ|=p.
∴+=.
8．椭圆 C1：+=1(a ＞b＞0) 的左准线为l ，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为 l ，一个焦点为F2， C1与 C2的一个交点为P，则-等于()
A.-1
B.1
C.-
D.
【答案】答案：B
【解析】因为C为抛线上的点，所以P 到其焦点 F2的距离 |PF2 | 与其到准线l 的距离 d 相等，因为P 也是椭圆上的点，P 到
其准线 l 的距离也是d，由椭圆第二定义，得①
再由椭圆第一定义，得|PF 1|+|PF 2 |=2a ②，
由①②两式解得|PF 1 =| ，
故=1.
9．双曲线C:-=1(a ＞b＞ 0) 中， F1、F2是它的焦点，设抛物线l 的焦点与双曲线 C 的右焦点 F2重合， l 的准线与 C
的左准线重合，P 是 C 与 l 的一个交点，那么=______________.
【答案】【解析】设 |PF 1|=m,|PF 2 |=n, 由抛物线定义有|PF 2 |=|PN|(N为点P在左准线上的射影),
又=e,=e=,①
又|PF 1 |-|PF 2|=2a ，
即
m-n=2a.②由①②得 m=.
∴原式 =-=e-2c 2=1.
答案： 1
10．设抛物线的顶点为O，经过抛物线的焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B、C，经过抛物线上任一点P 垂直于轴的直线和轴交于点Q，若 |PQ| 2 =λ|BC|2|OQ| ，则λ 的值为
A. B.1 C.2
D.3
【答案】答案：B设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0) ，则 BC为抛物线的通径，故|BC|=2p ；设 P(,y 0) ，则 Q(,0) ，
于是 |PQ| 2 =y02， |OQ|=，又由 |PQ| 2=λ |BC| 2|OQ| 得 y02 =λ 3 2p3，解得λ =1.
11. 知抛物线 y 2=2px(p ＞0) 的焦点为 F，过 F 的直线 l与抛物线交于 A，B 两点， A，B 在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，点 M是 A1 B1的中点，若 |AF|=m， |BF|=n ，则
|MF|=()
A.m+n
B.
C.
D.mn
【答案】答案：C【解析】本题考查抛物线的定义及性质和图像等知识. 如图 ,
连接 A l F、B l F, 由抛物线的定义 , 有 AA l =AF,BB l =BF,则有∠ AA1 F=∠AFA1, ∠BB1F=∠BFB1, 容易证明∠ A l FB1=90°. 所以 MF为直角
三角形 A1 FB1斜边上的中线 . 故
在直角梯形 AA1B1B 中, 构造直角三角形可解得
|A 1B1|=
12．经过抛物线 y 2 =2px(p ＞ 0) 的焦点作一条直线与该抛物线交于A(x 1，y1 ) 、 B(x 2， y2 ) 两点，则 y 12y2的值为() A.2p 2 B ． p2 C ．-2P2D． -p 2
【答案】 D
【解析】本题考查直线与抛物线的交点个数问题，注意将交点坐标转化为方程的根来讨论. 已知抛物线 y2 =2px(p ＞0) 的焦点坐标为 (，0)，设过焦点的直线方程为：
y=k(x-), 则有，代入抛物线方程有：
y2 =2P() 即∴y12 y2=-p2.
13. 椭圆=1(a ＞ b＞0) 上两点 A、 B 与中心 O的连线互相垂直，则的值为（）
A. B. C. D.【答案】 D
解析 : 假设 A、B 为椭圆的长轴和短轴的顶点，则==. 排除选项A、 B、C，选 D.
2 2
14.【3 分】过点 M(-2,0) 的直线 l 与椭圆 x +2y =2 交于 P1、 P2两点 , 线段 P1P2的中点为 P, 设直线 l 的斜率为 k 1 (k 1≠0), 直线OP的斜率为 k2 , 则 k1 2k 2的值为（）
A.2
B.-2
C.
D.-【答案】【解析】设P1 (x 1,y 1 ) 、 P2 (x 2 ,y 2), 中点 P(x 0,y 0), 则 k1=,k 2 ==.
将 P1、P2两点坐标代入椭圆方程x2 +2y2=2, 相减得=-.
∴k1 2 k2=2
==-.
答案： D
15．已知点P是双曲线( a＞0, b＞ 0) 右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，H为△ PF1F2的内心，若
成立，则λ 的值为________.
【答案】
【解析】设R 为△PF1F2内切圆的半径 , ∵, 且
,,,
故| PF1|=| PF2|+ λ| F1F2 |, 即| PF1| － | PF2|= λ| F1F2|,
∴.
16．已知 F1、 F2是双曲线-y 2=1 的两个焦点,P 在双曲线上, 当△ F1 PF2的面积为 1 时 ,2的值为________________.
【答案】答案：0由已知F1(,0),F 2 (,0),P(),PF 1的斜率 k 1=,PF2的斜率
k2=,k 1 k 2=-1,
∴PF1⊥PF2, 即=0.
17．过抛物线 y2=2px(p ＞0) 的焦点的直线x-my+m=0 与抛物线交于A、B 两点 , 且△ OAB(O为坐标原点 ) 的面积为, 则
64
m+m=__________.
【答案】【解析】∵直线x-my+m=0 过焦点 ,
∴m=.
∴直线方程为2x+py-p=0.
解方程组
消去 x, 得 y2+p2y-p 2=0.
设 A、 B 的纵坐标为y1、y2,y 1、 y2为方程的两根,
∴
｜y 1-y 2｜ =.
∴S=3｜y1 -y 2｜=.
∴p6+4p4=163 8. 又 p=-2m,
6664764
∴2 m+2 m=2 . ∴m+m=2.
答案： 2
18. 过抛物线y2 2 px （p＞0）上一定点 P(x, y )( y＞ 0），作两条直线分别交抛物线于A( x , y ) ， B( x, y)，
0001122
求证： PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB 的斜率为非零常数．
【解析】设直线 PA 的斜率为K PA，直线 PB 的斜率为K PB．
由
y1
2
2 px1y022px0相减得， ( y1y0 )( y1y0 ) 2 p( x1x0 )
故
K PA y1y0 2 p
(x1x0 )
x1x0y1y0
y2y0 2 p
y
( x2x0 )P
同理可得， K
PB
x0y2
x2y0
由 PA, PB 倾斜角互补知：K
PA
K
PB
2 p 2 p O x
∴A y0y2y0
y1B
∴
y1y22y0
由 y2 2 px y2 2 px 相减得， ( y y )( y y ) 2 p(x
2x )
221121211
∴
K AB y2y1 2 p 2 p p x2x1y1y2 2 y0y0
∴直线 AB 的斜率为非零常数．
19．已知 , 椭圆 C 经过点 A(1,), 两个焦点为 ( －1,0),(1,0).
(1)求椭圆 C 的方程 ;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率为定值 , 并求出这个定值.
【答案】解 :(1) 由题意 ,c ＝ 1, 可设椭圆方程为,
因为 A 在椭圆上 ,
所以,
解得 b2＝ 3,( 舍去 ).
所以椭圆方程为.
(2)设直线 AE方程 :
,代入得
(3+4k 2 )x 2 +4k(3 －2k)x+4() 2－ 12＝ 0.
设 E(x E,y E),F(x F,y F), 因为点 A(1,) 在椭圆上 ,
所以,.
又直线 AF 的斜率与 AE的斜率互为相反数, 在上式中以－ k 代 k, 可得,
.[ 来源 : 学§科§网 ]
所以直线EF 的斜率,
即直线 EF 的斜率为定值 , 其值为.
20.已知定点 M ( x
0, y0 ) 在抛物线 m ： y2 2 px （p＞0）上，动点A, B m 且MA MB0 ．求证：弦AB必过一定点．
【解析】设 AB 所在直线方程为： x my n．
与抛物线方程y2 2 px 联立，消去 x 得
y2 2 pmy 2 pn 0 ．
设
A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 )
则
y1y2 2 pm ,,①
y1 y2 2 pn ,,②
由已知MA MB0
得，
．即y1y0y2y0,,③
K
MA
K
MB1x1x0x2x01
∵
x1x01
( y12y02 )
1
( y1y0 )( y1y0 ) 2 p 2 p
x x 1 ( y2y 2 )1
( y
2
y )( y y)
20 2 p20 2 p020
2 p 2 p 1 ，
∴③式可化为
y0y2
y1y0
即4p2[ y1 y2y0 ( y1y2 ) y02 ] ．
将①②代入得，n 2 p my0x0．
直线 AB 方程化为：x my 2 p x0my0m( y y0 )x0 2 p ．
∴直线
AB 恒过点(x0 2 p,y0 ) ．
21．B是经过椭圆x
2
y2 1. ( a b0)右焦点的任一弦，若过椭圆中心Ｏ的弦MN // AB ，求证：| MN |2：a2b2
| AB |是定值
解析：对于本题， MN ,AB 分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有 | MN |2 4a2，|AB|2a ,| MN |2:| AB|2a （定值）．下面再证明一般性．
设平行弦 MN 、 AB 的倾斜角为，则斜率k tan， MN 的方程为
y(tan)x 代入椭圆方程，又∵ | MN |(1k2) | x124a2 b21
x2 | 即得 | MN |
2c2 sin2
○ ，另一方面，直
b
线 AB 方程为 y tan( x c) ．同理可得 | AB |2
2ab 22 1 22
b2c2sin 2
○由○○可知
| MN | :| AB | 2a （定值）
关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．
22．设上的两点，已知向量，,
若2=0 且椭圆的离心率短轴长为 2，为坐标原点 .
m n
( Ⅰ) 求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线
AB 过椭圆的焦点（0，），（
c
为半焦距），求直线的斜率
k
的值；
Fc AB
（Ⅲ）试问：△的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
AOB
【答案】解：（Ⅰ）由题意知
椭圆的方程为
（Ⅱ）由题意，设AB 的方程为
由已知得：
( Ⅲ )（1）当直线AB斜率不存在时，即, 由 m2 n=0
得
又在椭圆上，所以，
所以 S=
所以三角形AOB的面积为定值
（2）. 当直线 AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b
,
由
所以三角形的面积为定值.
23.过抛物线 y2=2px( p＞0)的对称轴上的定点 M( m,0)( m＞0),作直线 AB与抛物线相交于 A, B两点.
(1)试证明 A, B 两点的纵坐标之积为定值;
(2)若点 N 是定直线 l : x=－m上的任意一点,分别记直线 AN, MN,BN的斜率为 k1, k2, k3,试探求 k1, k2, k3之间的关系,并给出证明.
【答案】证明：(1) 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2) 有y1y2 =－2pm, 下证之 :
设直线
AB 的方程为 :=+ 与2=2
px
联立得, 消去
x
得2－2
pty
－ 2=0, x ty m y y pm
由韦达定理得y1y2=－2pm.
(2)三条直线 AN, MN,BN的斜率成等差数列,下证之: 设点 N(－m, n),则直线 AN的斜率为;直线 BN的斜率为,
∴.
又∵直线 MN的斜率为
∴k AN+k BN=2k MN,即直线 AN, MN,BN的斜率成等差数列.
24. 如图 , 在直角坐标系
xOy 中, △i i i+1 (
i
=1,2,,,,,) 为正三角形 ,,| i i+1|=2
i
－1(
i
=1,2,3,,,
n
,,).
A B A n A A
(1) 求证:点1, 2, ,, n, , 在同一条抛物线上, 并求该抛物线
C 的方程 ;
B B B
(2)设直线 l 过坐标原点 O,点 B1关于 l 的对称点 B′在 y 轴上,求直线 l 的方程;
(3) 直线过 (1) 中抛物线
C 的焦点
F
并交
C
于、N,若( λ＞0),抛物线的准线
n
与
x
轴交于, 求证:
m M C E 与的夹角为定值 .
【答案】解： (1) 设n( ,
y ), 则
B x
2
消去 n 得 y =3x.
所以点1, 2, ,, n, , 在同一条抛物线
y 2
=3 上.
B B B x
(2) 解 1:由(1) 得,所以,
因为点′与点 1 关于直线
l 对称,则,
B B
所以所求直线方程为
(3)设 M, N 在直线 n 上的射影为 M′, N′,
则有:,.由于,
所以.
因为, 所以
所以与的夹角为90°( 定值)
25. 如图，已知椭圆＝ 1(
a ＞＞0)过点(1，) ，离心率为，左、右焦点分别为
1
、2.点
P
为直线
l
：
x b F F
＋＝2 上且不在
x 轴上的任意一点，直线
1
和
2
与椭圆的交点分别为、
B
和、，为坐标原点．
y PF PF A C D O
(1)求椭圆的标准方程．
(2) 设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、 k2.
( ⅰ) 证明：＝2.
( ⅱ) 问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA＋k OB＋k OC＋k OD＝ 0？若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】 (1) 解：因为椭圆过点(1 ，) ，e＝，
所以＝1，＝.
又 a2＝b2＋ c2，
所以 a＝，b＝1，c＝ 1.
故所求椭圆方程为＋ y2＝1.
(2)( ⅰ) 证明：方法一：由于1( －1,0) 、2(1,0)，1、
2的斜率分别为
k1
、2，且点
P
不在
x
轴上，
F F PF PF k 所以 k1≠ k2，k1≠0， k2≠0.
又直线 1 ， 2 的方程分别为
y ＝1(
x
＋1) ，＝2 (－1)，
PF PF k y k x 联立方程解得
所以P(，)．
由于点 P 在直线 x＋ y＝2上，
所以＝ 2.
因此 2k1k2＋3k1－k2＝0，
即＝2，结论成立．
方法二：设 (0，0)，则
k 1＝，2＝.
P x y k
因为点 P 不在 x 轴上，所以y0≠0.
又 x0＋y0＝2，
所以＝2.因此结论成立．
(ⅱ)解：设 (A，A)，(B，B)，(C，
y C)，(D，D)．
A x y
B x y
C x
D x y 联立直线 PF1与椭圆的方程得
化简得 (2
k ＋1)
x
2＋4
k x
＋ 2－2＝0，
k
因此 x A＋ x B＝－， x A x B＝，由于，的斜率存在，
OA OB
所以 x A≠0， x B≠0，因此 k≠0,1.
因此 k OA＋k OB＝
＝2
k 1 ＋1＝ 1(2－)
k k
＝－＝－.
相似地，可以得到x C≠0， x D≠0， k≠0,1，k OC＋k OD＝－，
故 k OA＋k OB＋k OC＋k OD＝－2(＋)
＝－2＝－.
若 k OA＋ k OB＋ k OC＋ k OD＝0，
须有 k1＋ k2＝0或 k1 k2＝1.
①当 k1＋ k2＝0时，结合(ⅰ)的结论，可得k2＝－2，所以解得点P 的坐标为(0,2)；
②当 k1k2＝1时，结合(ⅰ)的结论，解得k2＝3或 k2＝－1(此时 k1＝－1，不满足 k1≠k2，舍去)，此时直线 CD的方程为 y＝3( x－1) ，联立方程x＋y＝2得 x＝，y＝.
因此 P(，) ．综上所述，满足条件的点P的坐标分别为(0,2)，(，) ．
26. 在平面直角坐标系
xOy 中，如图，已知椭圆＝1 的左、右顶点为、，右焦点为. 设过点(， )的直线，
A B F T t m TA
TB与此椭圆分别交于点M( x1，y1)、N( x2，y2)，其中 m＞0，y1＞0，y2＜0.
2 2
(1)设动点 P 满足 PF－ PB＝4，求点 P 的轨迹；
(2)设 x1＝2， x2＝，求点 T 的坐标；
(3)设 t ＝9，求证：直线 MN必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m无关)．【答案】解：由题设得A(－3,0)， B(3,0)， F(2,0)．
(1) 设点 (，) ，则
2
＝(
x －2) 2＋
y
2
，2＝ (－3)2＋
y
2.
P x y PF PB x
由
2
－2＝4，得 (
x －2) 2＋
y
2－ (
x
－3) 2－
y
2
＝4，化简得
x
＝ .
PF PB
故所求点 P的轨迹为直线x＝.
(2) 由
x 1＝2，＝ 1 及
y
1＞0，得
y
1 ＝，则点(
2 ，) ，从而直线的方程为
y
＝
x
＋1；
M AM
由
x 2 ＝，＝ 1 及
y
2＜0，得
y
2＝－，则点 (，－) ，从而直线的方程为
y
＝.
N BN
由
所以点 T的坐标为(7，)．
(3) 由题设知，直线AT的方程为 y＝( x＋ 3) ，直线BT的方程为y＝( x－ 3) ．点 M( x1， y1)满足
得.
因为 x1≠－3，则，
解得 x1＝，
从而得 y1＝.
点 N( x2， y2)满足.
若
x 1
＝2，则由及＞0，得＝2，此时直线的方程为
x
＝1，过点 (1,0) ．x m m MN D
若 x1≠x2，则 m≠2，直线MD的斜率k MD＝，
直线的斜率
k ND＝，得
k
MD＝ND，所以直线过
D
点．
ND k MN
因此，直线 MN必过 x 轴上的点(1,0)
27. 如图，已知椭圆＝ 1(＞＞0) 的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 1 、 2为顶点的三角
a b F F
形的周长为 4(＋ 1) ，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 1 和 2 与
PF PF
椭圆的交点分别为、和、 .
A B C D
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线 PF1、PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明： k12 k2＝1；
(3) 是否存在常数λ，使得 | AB| ＋| CD| ＝λ | AB| 2 | CD|恒成立？若存在，求λ 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1) 设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a＋ 2c＝ 4(＋1)，
所以＝2，＝2.
a c
又2＝
b 2＋
c
2，因此＝2.
a b
故椭圆的标准方程为＝1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为＝ 1(＞0) ，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，
m
所以 m＝2，
因此双曲线的标准方程为＝ 1.
(2)设 A( x1，y1)，B( x2，y2)， P( x0，y0)，
则 k1＝，k2＝.
22
因为点 P 在双曲线 x － y ＝4上，
因此 k12 k2＝2＝＝1，
即 k12 k2＝1.
(3)由于 PF1的方程为 y＝k1( x＋2)，将其代入椭圆方程得
(2 k＋1)x2－8k x＋8k－8＝0，
显然 2k＋1≠ 0，显然＞0.
由韦达定理得x1＋ x2＝，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝.
同理可得 | CD| ＝.
则，
又 k12 k2＝1，
所以.
故| AB|＋| CD|＝| AB| 2 | CD|.
因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ |AB| 2 |CD|恒成立．
28、已知双曲线 C:(a ＞0,b ＞ 0) 的离心率为, 右准线方程为.
(Ⅰ)求双曲线 C的方程 ;
22A,B, 证明∠ AOB的大小为定
值 .
( Ⅱ ) 设直线 l 是圆 O:x+y =2 上动点 P(x 0,y 0)(x 0y 0≠0) 处的切线 ,l 与双曲线 C交于不同的两点
【答案】分析：由以及易求第(Ⅰ)问结论,
第( Ⅱ) 问圆 x 2 +y2=2 上点 P(x 0,y 0) 处切线方程为x 0x+y 0y=2, 代入椭圆中 , 利用根与系数的关系求解=0 即证 .
解法一 :( Ⅰ) 由题意得
解得 a=1,.
所以 b2=c2 -a 2=2.
所以双曲线 C 的方程为.
( Ⅱ ) 点 P(x 0,y 0 )(x 0 y0≠0) 在圆 x 2+y2=2 上 ,
圆在点 P(x 0,y 0 ) 处的切线 l 的方程为,
化简得 x0 x+y 0y=2.
由
22222
及 x0 +y0 =2, 得(3x
-4)x -4x 0 x+8-2x0=0.
因为切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点
2
＜2, A,B 且 0＜x0
所以 3x02-4 ≠0 , 且=16x02 -4(3x 02 -4)(8-2x02) ＞0.设 A,B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1 ),(x 2,y 2),
则,.因为,
且=x1x 2 +y1y 2 =
=
=
=,
所以∠ AOB的大小为 90°.
解法二 :( Ⅰ) 同解法一 .
22
( Ⅱ ) 点 P(x 0,y 0 )(x 0 y0≠0) 在圆 x +y =2 上 ,
,
化简得 x0 x+y 0y=2.
由
22
得及 x0 +y0 =2,
(3x 02 -4)x 2 -4x 0 x+8-2x 02 =0, ①
222
(3x 0 -4)y+8y0 y-8+2x 0 =0. ②
2
因为切线l 与双曲线 C 交于不同的两点A， B, 所以 3x0 -4 ≠0.
则,. 所以=x1 x2 +y1 y2 =0.
所以∠ AOB的大小为 90°.
22222
时,方程①与方程②的判别式均大于0) ( 因为 x 0 +y0 =2且 x0 y0≠0, 所以 0＜x 0＜2,0＜y0＜2, 从而当 3x0 -4 ≠ 0
29．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于两点 .（I ）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II ）在轴上是否存在定点，使2为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 .【答案】解：由条件知，，设，.
解法一：（ I ）设，则，，
，由得
即
于是的中点坐标为.
当不与轴垂直时，，即.又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即.
将代入上式，化简得.
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程 .
所以点的轨迹方程是.
（II ）假设在轴上存在定点，使为常数 .
当不与轴垂直时，设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
.
因为是与无关的常数，所以，即，此时=.
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为、，此时.
故在轴上存在定点，使为常数.
解法二：（ I ）同解法一的（I ）有①
当不与轴垂直时，设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根，所以. ②
.③
由①、②、③得. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,④
. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,⑤
当时，，由④、⑤得，，将其代入⑤有
.整理得.
当时，点的坐标为，满足上述方程.
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程.
故点的轨迹方程是.
（II ）假设在轴上存在定点点，使为常数，
当不与轴垂直时，由（I ）有，.以下同解法一的（II ） .
30. 已知动圆过定点
p
,0 ，且与直线 x
p
相切，其中 p
0 .
2
2
（I ）求动圆圆心 C 的轨迹的方 程；
（ II ）设 A 、 B 是轨迹 C 上异于原点
O 的两个不同点，直线
OA 和 OB 的倾斜角分别为
和 ，当
, 变化且
时，证明直线
AB 恒过定点，并求出该定点的坐标
4
【答案】（I ）如图，设 M 为动圆圆心，
p
,0
为记为 F ，过点 M 作直线 x
p
的垂线，垂足为
N ，由题意知：
2
2
MF
MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 x
p M 的轨迹为抛物线，其中
的距离相等，由抛物线的定义知，点
2
F
p
,0
为焦点，
x
p
为准线，所以轨迹方程为
y 2 2 px(P
0) ；
2
2
（II
）如图，设 A x 1, y 1
, B x 2, y 2
，由题意得 x 1 , x 2
，
y
又 直 线 OA,OB 的倾斜角
,
满 足
， 故
A
B
4
,
，
N
M
4
所以直线 AB 的斜率存在，
p
o
p
x
否则， OA,OB 直线的倾斜角之和为
F( 2 ,0)
x=-
2
2
2
从而设 AB 方程为 y
kx b ，显然 x 1
y 1
, x 2
y 2 ，
2 p
2 p
将 y
kx b 与 y 2
2 px(P 0)
联 立 消 去 x ， 得
k y 2 2 p y 2 p b 0
由韦达定理知 y
1
y 2
2 p
, y 1 y 2 2 pb ①
k k
由
，得 1＝ tan
4
tan(
) = tan tan
=
2 p( y
1
y 2 )
4
1 tan tan y 1 y 2
4p 2
将①式代入上式整理化简可得：
2 p 1 ，所以 b
2 p 2 pk ，
b
2 pk
此时，直线 AB 的方程可表示为 y kx 2 p 2 pk 即
k ( x 2 p)
y 2 p
所以直线 AB 恒过定点
2 p,2 p .
31. 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA OB与
a (3, 1) 共线
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OM OA OB ( ,R) ，证明2 2 为定值
【答案】
本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分14分
（1）解：设椭圆方程为x 2y2
1( a b0), F (c,0) a 2 b 2
则直线 AB的方程为y x c ，代入x
2y 21
，化简得a 2 b 2
(a 2b2 )x 22a2 cx a 2 c2 a 2b 20 .
令A（ x
1 , y1），B( x
2 , y2），则
x1x2
2a 2 c
2 , x1 x2
a 2 c2a2 b2
.
a2b a2b2
由 OA OB( x x
2, y y), a(3,1), OA OB 与 a 共线，得
112
3( y1y2 ) ( x1x2 ) 0, 又 y1x1c, y2x2 c ，
3( x1x22c) (x1x2 ) 0,x1x23 c. 2
即2a 2 c 3c
，所以a23b 2 .c a 2 b 26a ，
a2 b 223故离心率 e c 6
.
a3
（II ）证明：（1）知a23b2，所以椭圆x
2
y 2
1可化
为
x2
3
y2
3 2 .
a 2
b 2b
设 OM( x, y) ，由已知得 ( ,)(
x1,
y1
)(
x2
,
y2
),
x y
x x1x2 ,
M (x, y) 在椭圆上，(x1x2 )23(y1y2 ) 23b 2.
y x1x2 .
即
2 ( x123y12 )2 ( x22
3 y22 ) 2( x1 x23y1 y2 ) 3b2 .①
由（ 1）知x1x23c , a2 3 c2,b2 1 c2.
222
x1 x2a2c2a2b2 3 c2
a2b28
x1x23y1 y2x1 x23(x1c)( x2 c)
4x x 3(x x )c3c2
1212
3 c29 c23c2=0
22
又x213y123b2 , x22 3 y223b 2，代入①得22 1.
故22为定值，定值为 1
32. 已知点 P1 (x 0 ,y 0 ) 为双曲线(b 为正常数 ) 上任一点 ,F 2为双曲线的右焦点, 过 P1作右准线的垂线, 垂足为 A,连接 F2A 并延长交y 轴于点 P2 .
(1)求线段 P1P2的中点 P 的轨迹 E 的方程 ;
(2) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B,D 两点 , 在 E 上任取一点Q(x 1,y 1 )(y 1≠ 0), 直线 QB,QD 分别交 y 轴于 M,N两点 . 求证：以 MN为直径的圆过两定点.
【答案】解 :
(1) 由已知得 F2(3b,0),A(,y 0),
则直线 F2 A 的方程为,
令 x=0 得 y=9y0, 即 P2(0,9y 0).
设 P(x,y), 则
即
代入, 得,
即 P的轨迹 E 的方程为.。