河北省石家庄市高中数学第二章平面向量综合练习(含解析)新人教A版必修3

第二章 平面向量
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题
1。

在ABC ∆中,AB AC =，,D E 分别是,AB AC 的中点,则（ ）
A ．A
B 与A
C 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．A
D 与A
E 相等 D ．AD 与BD 相等
2.下列命题正确的是( ）
A ．向量A
B 与BA 是两平行向量
B ．若,a b 都是单位向量,则a b =
C ．若AB DC =，则,,,A B C
D 四点构成平行四边形
D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点(3,1)A ，(1,3)B -,若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中,R αβ∈,且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为（ ）
A ．32110x y +-=
B ．22(1)(1)5x y -+-=
C ．20x y -=
D ．250x y +-=
4.已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥,则a 与b 的夹角是（ ）
A ．6π
B ．3
π C. 23π D ．6π5 5。

已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上（不包括端点,A C ），则AP =（ ）
A ．()A
B AD λ+，(0,1)λ∈ B ．()AB B
C λ+，2(0,)2
λ∈
C. ()AB AD λ-，(0,1)λ∈ D ．()AB BC λ-，2(0,)2
λ∈ 6。

ABC ∆中,,,D E F 分别是,,AB BC AC 的终点，则DF =( ）
A ．EF ED +
B ．EF DE - C. EF AD + D ．EF AF +
7。

若平面向量a 与b 的夹角为60°，||4b =，(2)(3)72a b a b +-=-•，则向量a 的模为( ）
A ．2
B ．4 C.6 D ．12
8。

点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==•••，则点O 是ABC ∆的( ）
A ．三个内角的角平分线的交点
B ．三条边的垂直平分线的交点
C 。

三条中线的交点
D ．三条高的交点
9.在四边形ABCD 中,2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，其中,a b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）
A ．平行四边形
B ．矩形
C 。

梯形
D ．菱形
10.如图，梯形ABCD 中，||||AD BC =,////EF AB CD ，则相等向量是（ ）
A ．AD 与BC
B ．OA 与OB C. A
C 与B
D D ．EO 与OF
二、填空题
11.已知向量(,12)OA k =,(4,5)OB =，(,10)OC k =-，且,,A B C 三点共线,则k = ．
12.已知向量2(3,34)a x x x =+--与MN 相等，其中(1,3)(1,3)M N -，，则x = ．
13.已知平面上,,A B C 三点满足,||3||4AB BC ==，,||5CA =，则AB BC BC CA CA AB ++•••的值等于 ．
14.给定两个向量(3,4)(2,1)a b ==-，，且()()a mb a b +⊥-，则实数m 等于 ．
15.已知,,A B C 三点不共线，O 是ABC ∆内的一点，若0OA OB OC ++=,则O 是ABC ∆的 ．
16。

设平面内有四边形ABCD 和点O ，OA a =,OB b =，OC c =，OD d =，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状是 ．
三、解答题
17. 已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若点P 满足()AP AB AC R λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在第三象限内？
18. 如图，已知ABC ∆，(7,8)(3,5)(4,3)A B C ，，,M N D ，，分别是AB AC BC ，，的中点，且MN 与AD 交于F ，求DF 。

19. 如图,在正方形ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，求证:AF DE ⊥(利用向量证明）.
20。

已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则|2|a b -的最大值.
参考答案
一、选择题
1-5: BADBA 6—10：DCDCD
二、填空题
11。

23- 12.-1 13.—25 14。

23
3 15.重心 16。

平行四边
形
三、解答题
17。

1λ<-。

解析：设点P 的坐标为(,)x y ，则(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--.
(5,4)(2,3)[(7,10)(2,3)]AB AC λλ+=-+-
(3,1)(5,7)λ=+
(35,17)λλ=++。

AP AB AC λ=+，
(2,3)(35,17)x y λλ∴--=++。

235317x y λ
λ-=+⎧∴⎨-=+⎩,即5547x y λ
λ=+⎧⎨=+⎩。

要使点P 在第三象限内，只需550
470λλ+<⎧⎨+<⎩，解得1λ<-.
18。

7(,2)4DF =. 解析:(7,8)(3,5)(4,3)A B C ，，,
(4,3)(3,5)AB AC =--=--，。

又D 是BC 的中点, 11()(43,35)22
AD AB AC ∴=+=---- 17(7,8)(,4)22
=--=--. 又,M N 分别是,AB AC 的中点，
F ∴是AD 的中点，
1177(,4)(,2)2224
DF FD AD ∴=-=-=---=。

19。

证明：设AB a =，AD b =，则12AF a b =+，12
ED b a =-。

2211113()()22224AF ED a b b a b a a b ∴=+-=-+•••。

又AB AD ⊥,且||||AB AD =，22a b ∴=，0a b =•。

0AF ED ∴=•,AF ED ∴⊥。

本题也可以建平面直角坐标系后进行证明。

20。

分析：思路1：2(2cos 3,2sin 1)a b θθ-=+，
∴222|2|(2cos 3)(2sin 1)84sin 43cos a b θθθθ-=++=+-.
又4sin 438(sin cos cos sin )8sin()333πππ
θθθθθ-=-=-，最大值为8，
2
a b
∴-的最大值为16,∴|2|
-的最大值为4.
a b
|2|
思路2：将向量2,a b平移，使它们的起点与原点重合，则|2|
-表示2,a b终点间距
a b
离.|2|2
a=，所以2a的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P，b的终点是该圆上的一个定点Q，由圆的知识可知，||
PQ的最大值为直径的长为4。

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