(整理)数学实验教程实验6(空间曲线与曲面)

实验6 空间曲线与曲面实验目的
1．学会利用软件命令绘制空间曲线和曲面
2．通过绘制一些常见曲线、曲面去观察空间曲线和曲面的特点 3．绘制多个曲面所围成的区域以及投影区域。

实验准备
1．复习常见空间曲线的方程 2．复习常见空间曲面的方程
实验内容
1．绘制空间曲线
2．绘制空间曲面：直角坐标方程、参数方程 3．旋转曲面的生成
4．空间多个曲面的所围成的公共区域以及投影区域
软件命令
表6-1 Matlab 空间曲线及曲面绘图命令
实验示例
【例6.1】绘制空间曲线
绘制空间曲线sin ,cos ,x at t y at t z ct ===，在区间09t π≤≤上的图形，这是一条
锥面螺旋线，取a=10,c=3。

【程序】：
t=0:pi/30:9*pi;
a=10; c=3;
x=a*t.*sin(t); y=a*t.*cos(t); z=c*t;
plot3(x,y,z,’mo ’) 【输出】：见图6-1。

图6-1 空间曲线的绘制
【例6.2】利用多种命令绘制空间曲面
绘制二元函数z =
:99,99D x y -≤≤-≤≤上的图形。

【程序】：参见Exm06Demo02.m 。

【输出】：见图6-2。

图 6-2 绘制空间曲面
【例6.3】绘制Mobius 带
Mobius 带的参数方程为
122122
cos sin cos ,[0,2],[,]
sin u
u x r u y r u r c v u v a b z v π=⎧⎪==+∈∈⎨⎪=⎩，，
其中,,a b c 为常数，绘制其图形。

【程序】： clear syms u v; c=4.0;
a=-2*pi;b=2*pi; c=-1; d=1;
x=(c+1/2*v*cos(u/2))*cos(u); y=(c+1/2*v*cos(u/2))*sin(u); z=1/2*v*sin(u/2); ezsurf(x,y,z,[a,b,c,d]) 【输出图形】
图6-2 Mobius 带
【例6.4】 画出上半球面 2
2
2
2
(1)x y z r ++-=与圆锥面22
2
2
()r z x y =+所围成的立体的图形及其在xoy 平面与平面y=1上的投影。

【步骤】：
【Step1】：写出它们的参数方程
上半球面参数方程：2sin cos sin sin [0,],[0,2]1cos x r v u
y r v u v u z r v ππ=⎧⎪
=∈∈⎨⎪=+⎩；
圆锥面参数方程：sin cos ,[0,2],[0,1]x y z ρθρθθπρρ=⎧⎪
=∈∈⎨⎪=⎩
【Step2】：绘制上半球面
Clear;clc;r=2/3;a1=0;a2=2*pi;b1=0;b2=pi/2;n1=40;n2=20;
%准备上半球面数据
[u,v]=meshgrid(linspace(a1,a2,n1),linspace(b1,b2,n2)); x=r*sin(v).*cos(u);y=r*sin(v).*sin(u);z=1+r*cos(v); 【Step3】：绘制圆锥面
[t,s]=meshgrid(linspace(0,2*pi,20),linspace(0,1,20));
x1=s.*sin(t);y1=s.*cos(t);z1=s;surf(x1,y1,z1); 【Step4】：绘制xoy 平面内的投影：只需要球面的投影即可
z2=zeros(size(u));mesh(x,y,z2); 【Step5】：绘制曲面在y=1内的投影
y3=zeros(size(u))+1; y4=zeros(size(t))+1;% 球面、锥面
mesh(x,y3,z);mesh(x1,y4,z1);
【输出图形】：
图6-4 空间曲面及其投影
【例6.5】绘制曲面3
3
1212,4,4z x y x y x y =+---≤≤的各种等高线。

【程序】： clear
[x,y]=meshgrid(-4:0.2:4); z=x.^3+y.^3-12*x-12*y; figure(1) mesh(x,y,z) figure(2)
[c,h]=contour(x,y,z); clabel(c,h) figure(3)
h1=[-28 -16 -8 0 6 18 26]; cl=contour(z,h1); clabel(cl) figure(4) contourf(z) figure(5)
contour3(z,10)
【图形】：略。

【例6.6】画出三圆柱面
2222221,22;1,22;1,22x y z x z y y z x +=-≤≤+=-≤≤+=-≤≤
相交的图形。

【程序】： clear
t=0:0.03:2*pi; s=[-2:0.03:2]'; x=(0*s+1)*cos(t); y=(0*s+1)*sin(t); z=s*(0*t+1); surf(x,y,z) hold on surf(x,z,y) surf(z,x,y) hold off
view(-128,23);
light('position',[2 1 2]); lighting phong ; shading interp ; axis off
camlight(-220,-170); axis equal
图6-5 三正圆柱面的交
【例6.7】旋转曲面的生成
用动画演示由曲线sin ,[0,]y z z π=∈绕z 轴旋转产生的旋转曲面的过程。

【步骤】：
【Step1】写出曲面的参数方程：旋转曲面的方程为：2
2
2
sin x y z +=，
其参数方程为sin cos sin sin ,[0,],[0,2]=⎧⎪
=∈∈⎨⎪=⎩
x v u
y v u v u z v ππ。

【Step2】画出旋转面在区间20,,1,2,
,n u k k n π
∈=⎡⎤⎣⎦内的图形；
采用镂空技术：将不需要画出的部分的Z 值赋值为NaN 。

【Step3】连续显示这些图形，形成动画。

【程序】：参见Exm06Demo05.m 。

【输出】：
图6-6 旋转曲面的生成
实验练习
1．绘制空间曲线
（1）2
1cos ,sin ,2sin ,[0,4]t
x t y t z t π=+==∈； （2）10
1010cos cos ,cos sin ,sin ,[0,24]t t t
x t y t z t π===∈。

2．绘制下列曲面
（1）()sin(),(,)[3,3][3,3]z x y x y x y =+-∈-⨯-； （2）2
233()
(3),(,)[2,2][2,2]x
y z x xy y e x y -+=++∈-⨯-；
（3）3
2
,cos ,sin ,,[0.3,8],[0,2]r at bt c x r v y r v z t t v π=++===∈∈，,,a b c 为参数。

3．画出抛物面2
2
z x y =+与平面12y z +=的交线以及所围成的公共区域。

4．用动画演示曲线2
1x y =-绕x 轴旋转产生旋转曲面的过程。