四川省棠湖中学2016届高三上学期周练一数学文试题 含

棠湖中学高2016届高三文科数学周练（一）
一、选择题
1．已知命题p ：0x ∃∈R ，0
2
1x =．则p ⌝是( A )
A ．x ∀∈R ，21x ≠
B ．x ∀∉R ，21x
≠ C ．0x ∃∈R ，0
2
1x ≠
D ．0x ∃∉R ，021x
≠ 2．“错误！未找到引用源。

”是“直线错误！未找到引用源。

垂直”的( A )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．在区间[]0,1上任取2个数,a b ，若向量(),m a b =，则1m ≤的概率是( D ) A.
12 B. 1
4
C. 2π
D. 4π
4．若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图1所示，其中b a ,为常数．则函数b a x g x
+=)(的大致图象是（ D ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．设,x y ∈
R ,1,1a b >>，若2x
y
a b ==，
2
4a b +=，则21
x y
+的最大值为 ( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6.（选做题）已知函数()(f x x ∈R)是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，
()
1f x x =-， 则方程1
()||
f x x
=
-在区间[10,10]-上的解的个数是（ C ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 二、填空题
7．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____1616π-____. 8．执行如右下图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为 23 ．
9．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a
2－y 2
＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为
双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →
的取值范围为___[3＋23，＋∞) ___
10.（选做题）点P(x ，y)在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧+≥≤+≥130x y y x x 表示的平面区域内，若点
P(x ，y)到直线)0(1>-=k kx y 的最大距离为22，则k= 1 ．
三、解答题
11．在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，
公比为q ，且2
222
12,S q b S b =
+=． （Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）数列{}n c 满足n
n S c 1
=
，求{}n c 的前n 项和n T ． 解:（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩
⎪⎨⎧==+,
,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨
⎧+==++．，
q d q d q 6126解得4-=q （舍）或3=q ，3d =．故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ． （Ⅱ）
(33)2211
,()2(33)31
n n n n S C n n n n +=
∴==-++， 2111
11212(1)()()(1)32231313(1)
n n
T n n n n ⎡⎤∴=
-+-++-=-=
⎢⎥+++⎣⎦． 12． 已知向量＝)sin ,(cos x x , ＝)cos ,cos (x x -, ＝)0,1(- （1）若6
π
=x ，求向量、的夹角；（2）当]8
9,2[
π
π∈x 时，求函数12)(+⋅=x f 的最
大值
解:（1）∵a ＝)sin ,(cos x x ,c ＝)0,1(- ∴2
cos 1a
x ==，2(1)1c =
-=
当6
π
=
x 时， ＝1(cos
,sin ))662π
π= ,31(1)02a c ⋅=⨯-+⨯= , 所以3cos ,a c a c a c ⋅=
==-
⋅，又∵π≤≤c a ,0，∴65,π
=c a （2） 1)cos sin cos (
212)(2
++-=+⋅=x x x x f
)1cos 2(cos sin 22--=x x x
sin 2cos 2x x =-
)4
x π
=-
∵]8
9,2[
π
π∈x ，∴]2,43[
4
2πππ
∈-
x ，故]2
2,1[)42sin(-∈-πx
∴当434
2π
π
=
-
x ,即2
π=x 时, 1)(max =x f 13．为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A 、B 、C 三个区
中抽取6个工厂进行调查.已知A 、B 、C 区中分别有18,27，9个工厂. （1）求从A 、B 、C 区中应分别抽取的工厂个数；
（2）若从抽得的6个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率。

解：(1)工厂总数为18＋27＋9＝54，样本容量与总体中的个体数的比为654＝1
9，所以从A ，B ，
C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,1.
(2)设A1，A2为在A 区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B 区中抽得的3个工厂，C1为在C 区中抽得的1个工厂．在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)， (B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，，(B2，B3)，(B2，C1)，，(B3，C1)共15种． 随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区(记为事件X)的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)共9种．所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为P(X)＝
93
155
=. 答：（1）从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,1. （2）这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为
3
5
. 14.如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 3
1
=，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=
CE .
（1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积． 证明：（1）依题意：⊥AD BD
⊥CE 平面ABD ∴⊥CE AD BD E CE =
∴⊥AD 平面BCE ． （2）BCE Rt ∆中，2=
CE ，6=BC ， ∴2=BE
ABD Rt ∆中，32=AB ，3=AD ， ∴3=BD ．
∴3
2
==BD BE BA BF ， ∴EF AD //
AD 在平面CEF 外∴//AD 平面CEF ．
（3）由题设知13AF AB =
=
，AD =3BAD π∠=
∴11sin sin 223S FAD AF AD BAD π=⋅⋅∠==
⊥CE 平面ABD ， ∴ 6
6
2233131=
⋅⋅=⋅⋅=
=∆--CE S V V FAD AFD C CFD A ． 15．抛物线P :py x 22=上一点(,2)Q m 到抛物线P 的焦点的距离为3，,,,A B C D 为抛物线的四个不同的点，其中A 、D 关于y 轴对称，00(,)D x y ，11(,)B x y ，22(,)C x y ，
2010x x x x <<<- ，直线BC 平行于抛物线P 的以D 为切点的切线．
（Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）证明：CAD BAD ∠=∠；
（Ⅲ）D 到直线AB 、AC 的距离分别为m 、n
，且m n AD +=，ABC ∆的面积为
48，求直线BC 的方程． 解：（Ⅰ） |QF|=3=2+
2
p
， ∴p =2． （Ⅱ）由（1）知抛物线方程为y x 42
=，设A(4,200x x -)， D(4,2
00x x )， B(4,2
11x x ) ，
C(4
,2
2
2x x )，
2
x
y =
' ∴22
12
012124442
BC x x x x x
k x x -
+===-，0212x x x =+∴， 22
02202044,4AC
x x x x k x x --==+22011010444
AB x x x x k x x -
-=
=+， 2010120
20444
AC AB x x x x x x x k k --+-∴+=
+==， 所以直线AC 和直线AB 的倾斜角互补， BAD CAD ∴∠=∠．
（Ⅲ）设α=∠=∠CAD BAD ，则m =n =|AD|sin α
，
4
)2.0(,22sin π
απαα=∴∈=
∴ ， 0204:x x x y l AC
+=-∴ 即02
4
x x x y ++=，
把:AC
l 02
04
x x x y ++=与抛物线方程y x 42=联立得：0442
002=---x x x x ， 2
0204x x x x --=-∴，402+=∴x x ，同理可得401-=x x ，
00004,2,x x x x -<-<∴>
48)4(4)42(2)24(22
1||||212000=-=-+==
∴∆x x x AC AB S ABC ， 40=∴x ，x y l B BC 2:)0,0(=∴∴．
16．已知函数f (x )＝ln x －a x
.
(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为3
2，求a 的值；
(3)若f (x )<x 2
在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围.
解 (1)由题意f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a
x
2.
∵a >0，∴f ′(x )>0，
故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知，f ′(x )＝
x ＋a
x 2
. ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上为增函数，
∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－3
2
(舍去).
②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上为减函数，
∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝3
2
，
∴a ＝－e
2
(舍去).
③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(1，－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝3
2，
∴a ＝－ e. 综上所述，a ＝－ e.
(3)∵f (x )<x 2
，∴ln x －a
x
<x 2.又x >0，∴a >x ln x －x 3
. 令g (x )＝x ln x －x 3
，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2
， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x
2
x
.∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，
∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数.∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0，
∴g (x )在 (1，＋∞)上也是减函数.g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2
在(1，＋∞)上恒成立.。