高中数学(人教B版,选修2-2)：第一章 导数及其应用+(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,2

第一章 1.4 第2课时
一、选择题
1．(2014·陕西理，3)定积分⎠⎛0
1(2x ＋e x )d x 的值为( )
A ．e ＋2
B ．e ＋1
C ．e
D ．e －1
[答案] C
[解析] 本题考查定积分的计算、微积分基本定理． ⎠⎛0
1
(2x ＋e x
)d x ＝(x 2
＋e x )|1
0＝1＋e －1＝e. 2．下列各式中，正确的是( ) A.⎠⎛a
b f ′(x )d x ＝f ′(b )－f ′(a )
B.⎠⎛a b f ′(x )d x ＝f ′(a )－f ′(b )
C.⎠⎛a
b f ′(x )d x ＝f (b )－f (a ) D.⎠⎛a
b f ′(x )d x ＝f (a )－f (b )
[答案] C
[解析] 要分清被积函数和原函数．
3．已知自由落体的运动速度v ＝gt (g 为常数)，则当t ∈[1,2]时，物体下落的距离为( ) A.12g B ．g C.32g D ．2g
[答案] C
[解析] 物体下落的距离s ＝⎠
⎛1
2gt d t ＝12gt 2| 21＝3
2g .故选C.
4．(2013·华池一中高二期中)⎠⎛1
22x d x 等于( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
[答案] D
[解析] ⎠
⎛1
22x d x ＝x 2|21＝3.
5．(2013·景德镇市高二质检)若曲线y ＝x 与直线x ＝a 、y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则
正实数a 为( )
A.49 B ．59
C.43 D ．53
[答案] A
[解析] 由题意知，⎠⎛0
a x d x ＝a 2，
∵(23x 32 )′＝x 12 ，∴⎠
⎛0
a x d x ＝23x 32 |a 0
＝23a 3
2 ， ∴23a 3
2 ＝a 2，∴a ＝49
. 6．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π
2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5
2 D ．3
[答案] D
[解析] 由y ＝cos x 图象的对称性可知， y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π
2与坐标轴所围面积是3cos x d x ＝＝3.故选D.
7．如图，阴影部分的面积是( )
A ．2 3
B ．2－ 3 C.32
3 D ．35
3
[答案] C
[解析] ⎠⎛－3
1
(3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭
⎫3x －13x 3－x 2| 1－3
＝32
3.故选C. 8.⎠⎛0
3|x 2－4|d x ＝( )
A.213 B ．223
C.233 D ．253
[答案] C
[解析] ⎠⎛0
3|x 2－4|d x ＝⎠⎛0
2(4－x 2)d x ＋⎠
⎛2
3(x 2－4)d x
＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3| 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x | 3
2＝233 .故选C. 二、填空题 9．
[答案] 1
2(e －1)
[解析]
10．如图，阴影部分面积用定积分表示为________．
[答案] ⎠
⎛1
3(f (x )－g (x ))d x
11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．
[答案] 1
3
[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛0
1
3x
2
d x ＝x 3| 1
＝1，则P ＝S 阴S 1＝1
3
.
三、解答题 12．求下列定积分．
(1)⎠⎛1
21
x d x ；(2)⎠⎛0
1x 3d x ；(3)⎠⎛－1
1 e x d x .
[解析] (1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎛1
21x
d x ＝ln x | 2
1
＝ln2－ln1＝ln2.
(2)∵⎝⎛⎭⎫14x 4′＝x 3，∴⎠
⎛0
1x 3d x ＝14x 4| 10＝1
4. (3)∵(e x )′＝e x ，∴⎠⎛－1
1e x d x ＝e x
| 1
－1
＝e －1e
.
一、选择题
1．(2014·江西理，8)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛0
1f (x )d x ＝( )
A ．－1
B ．－13
C.13 D ．1
[答案] B
[解析] 本题考查定积分的求法．
根据题设条件可得⎠
⎛0
1f (x )d x ＝－x 33|10＝－1
3.
2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.1
12 B.1
4 C.1
3 D.712
[答案] A
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x
2
y ＝x
3
得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠
⎛0
1(x 2－x 3)d x ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 410＝1
12. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
(0≤x <1)
2－x (1<x ≤2)
，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )
A.3
4 B ．45
C.56 D ．不存在
[答案] C
[解析] ⎠⎛0
2f (x )d x ＝⎠⎛0
1x 2d x ＋⎠
⎛1
2(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －1
2x 2，
则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ，
∴⎠
⎛0
2f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝5
6.故选C. 4．(2013·江西理，6)若S 1＝⎠⎛1
2x 2dx ，S 2＝⎠⎛1
21
x dx ，S 3＝⎠
⎛1
2e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3<S 2<S 1
[答案] B
[解析] S 1＝⎠
⎛1
2x 2d x ＝x 33|21＝7
3.
S 2＝⎠⎛1
21x
d x ＝ln x |2
1＝ln2－ln1＝ln2.
S 3＝⎠⎛1
2e x d x ＝e x |21＝e 2
－e ＝e(e －1)．
∵e>2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B. 二、填空题
5.⎠⎛－1
1 (x 2＋sin x )dx ＝________.
[答案] 23
[解析] 本题考查了定积分的知识，由于⎠⎛－1
1 (x 2＋sin x )d x ＝
⎪⎪(13x 3－cos x )1
－1＝13－cos1－(－13－cos1)＝2
3
，定积分在高考题中题目较为简单，要熟练记住一些函数的导数与积分式．
6．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (1
2，5)、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)
的图象与x 轴围成的图形的面积为________．
[答案] 5
4
[解析] 本题考查待定系数法与定积分的计算． 设直线为y ＝kx ＋b ，代入点B 的坐标，∴y ＝10x . 代入B ，C 两点的坐标，则⎩⎪⎨⎪⎧
5＝12k ＋b
0＝k ＋b ，
∴k ＝－10，b ＝10.
∴y ＝⎩⎨
⎧
10x (0≤x ≤1
2
)
－10x ＋10
(1
2
<x ≤1) ，
∴f (x )＝⎩⎨
⎧
10x 2 (0≤x ≤1
2
)
－10x 2
＋10x
(1
2
<x ≤1)
.
定积分的几何意义即曲边梯形的面积．
7．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛0
2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．
[答案] c <a <b
[解析] a ＝⎠
⎛0
2x 2d x ＝13x 3| 20＝8
3；
b ＝⎠
⎛0
2x 3d x ＝14x 4| 2
0＝4；
c ＝⎠⎛0
2sin x d x ＝－cos x | 2
0＝1－cos2＜2.∴c ＜a ＜b .
三、解答题
8．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1min 内所行驶的路程．
[解析] 由速度—时间曲线易知， v (t )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3t t ∈[0，10)，30 t ∈[10，40)，
－1.5t ＋90 t ∈[40，60].
由变速直线运动的路程表达式可得 取H (t )＝3t 22，F (t )＝30t ，G (t )＝－3
4t 2＋90t ，
则H ′(t )＝3t ，F ′(t )＝30，G ′(t )＝－1.5t ＋90.
从而s ＝∫1003t d t ＋⎠⎛104030d t ＋⎠⎛40
60
(－1.5t ＋90)d t
＝H (10)－H (0)＋F (40)－F (10)＋G (60)－G (40) ＝1350(m)．
答：该汽车在这1min 内所行驶的路程是1350m. 9．(1)已知f (a )＝⎠⎛0
1(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；
(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛0
1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．
[解析] (1)因为⎝⎛⎭⎫
23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ， 所以⎠⎛0
1(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2| 1
＝23a －12
a 2. 所以f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋2
9 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋2
9
. 所以当a ＝23时，f (a )有最大值29 .
(2)∵f (－1)＝2，f ′(0)＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b ＋
c ＝2
b ＝0
①
而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛0
1(ax 2＋bx ＋c )d x ，
取F (x )＝13ax 3＋1
2bx 2＋cx ，
则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c .
∴⎠
⎛0
1f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋1
2b ＋c ＝－2
②
解①②得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。