高一数学 必修一函数的单调性

②y＝，a＞0时，单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a＜ 栏
0时，单调增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
目 链
接
③y＝a(x－m)2＋n，a＞0时单调减区间为(－∞，m]，单调
增区间为[m，＋∞)；a＜0时，单调增区间为(－∞，m]，单调
减区间为[m，＋∞)．

2．确定函数的单调区间应注意的问题
目
链
解析：由a＋b<0，得a<－b，∴f(a)>f(－b)．
接
又由a＋b<0，得b<－a，∴f(b)>f(－a)．
故f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．选D.
答案：D

题型四 求函数的单调区间
例4求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．
解析：当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
1.3 函数的基本性质
1．3.1 函数的单调性
栏 目 链 接

1.理解函数的单调性，会用定义法证明函数的单调性.
2.会运用函数图象理解和研究函数的单调性.
3.会判断常见函数如正比例函数、反比例函数、一次函数、栏目
二次函数的单调性.
链 接

栏 目 链 接
链
2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函 接 数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2； 当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[或f(x1)＞f(x2)]．

基础 梳理
例如：f(x)是R上的单调函数，若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R 上的单调___递__增___函数；若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调 增函数吗？__不__是____.
x2≤2时，总有f(x1)＜f(x2)，反之也成立，即若f(x1)＜f(x2)，则 －2≤x1＜x2≤2.
目 链 接
解析：∵f(1－m)＜f(m)，

点评：解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题的
关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的
不等式．若函数y＝f(x)在区间D上的增函数，则对任意x1， x2∈D，且f(x1)＜f(x2)，有x1＜x2；若函数y＝f(x)在区间D上是 减函数，则对任意x1，x2∈D且f(x1)＜f(x2)，有x1＞x2.需要注意
栏 目 链 接
的是，不要忘记函数的定义域．

跟踪 训练
3．已知函数f(x)是R上的减函数，若a＋b<0，则下列正确
的是( )
A．f(a)＋f(b)<－[f(a)＋f(b)]
B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)>－[f(a)＋f(b)]
栏
D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
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答案：在[0,4]上单调递减，在[4,12]上单调递增，在[12,24] 上单调递减；最大值是4.
栏
点评：利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先目 化简函数解析式，然后再画出其草图，再根据函数定义域和草链接 图的位置、状态，确定函数的单调区间．

5．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是 [－__1_，__＋__∞_) ．

思考 应用
1．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函数 (减函数)的说法正确吗？
栏
解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所以
目 链
必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数．
函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不
栏 目
要忽略了函数的定义域．
链 接

跟踪 训练
4．求函数y＝|x|·(1－x)的单调区间．
栏 目 链 接

作出函数的图象，如下图．
栏 目 链 接

栏 目 链 接

当x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
栏 目
链
接

栏
目
作函数图象，如上图所示，在(－∞，－1)和(0,1)上，函数是 链
增函数；在[－1,0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．
接

点评：1.①y＝ax＋b，a＞0时，单调增区间为(－∞，＋∞)， a＜0时，单调减区间为(－∞，＋∞)．
3．若函数y＝ f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数， 那调减么区就间说统函称数为y＝单f(调x)区在间区．间I上具有单调性，单调增区间和单栏目链
接
4 ． 若 函 数 y ＝ f(x) 是 R 上 的 增 函 数 ， 当 a ＞ b 时 ， 则 f(a)__＞____f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则 f(a)___＜_____f(b)．
跟踪 训练
2．函数f(x)图象如下，指出函数的递增区间．
栏 目 链 接
答案：[4,14]

题型三 函数单调性的应用
例3 已知函数f(x)在[－2,2]上单调递增，若f(1－m)＜ f(m)．求实数m的取值范围．
分析：因为f(x)在[－2,2]上单调递增，所以当－2≤x1＜ 栏

基础 梳理
1．如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时都有 f(x1) ＜ f(x2) ， 则 f(x) 在 D 内 是 增 函 数 ； 当 x1 ＜ x2 时 都 有 f(x1) ＞ f(x2)，则f(x)在D内是减函数．
___例__如___：能. 若f(x)＝2x－1，能证明出函数f(x)在R上为增函数吗？栏目
接

思考 应用
2．函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D， 则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]”反之是否也成立呢？
栏
解析：成立．即函数f(x)在D上是增(减)函数，对于∀x1， x2∈D，若f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))，则x1＜x2，这个来．

自测 自评
A
栏 目 链 接

2．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，若f(2a－1)>f(2－a)，则实 数a的取值范围是________．
栏
解析：由2a－1>2－a解得：a>1.故实数a的取值范围是.
点评：证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解 决选择或填空题时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数 单调性的步骤是
栏 目 链 接

跟踪 训练
1．求证：函数y＝在(－∞，0)上为减函数．
栏 目 链 接

题型二 利用函数的图象求函数的单调性 例2 某地一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：小时) 之间的关系如下图所示，研究函数Q(t)在定义域内的单调性， 写出其单调区间和最大值．
目
链
答案：
接

(－∞，0)
栏栏 目目 链链 接接

栏 目 链 接

题型一 证明函数的单调性 例1 求证：函数f(x)＝＋a在(0，＋∞)上是增函数． 证明：对于任意x1，x2满足x1＞x2＞0，有
栏 目 链 接