河南职高对口升学数学专题训练：集合

集合
1.已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝1
2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( )
A ．{1,2,3,4}
B ．{1,2}
C ．{1,3}
D ．{2,4}
[答案] B
[解析] B ＝{y |y ＝12x ，x ∈A }＝{12，1，3
2，2}，
∴A ∩B ＝{1,2}．
2．设集合M ＝{y |y ＝2x
，x <0}，N ＝{x |y ＝1－x
x
}，则“x ∈M ”是“x ∈N ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] M ＝(0,1)，N ＝(0,1]，∴“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分不必要条件，故选A. 3．(文)(2011·湖北文，1)已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )
A ．{6,8}
B ．{5,7}
C ．{4,6,7}
D ．{1,3,5,6,8}
[答案] A
[解析] ∵A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，又U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
∴∁U (A ∪B )＝{6,8}．
(理)(2011·北京宣武模拟)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 [答案] C
[解析] U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，A ∩B ＝{3,4}， ∴∁U (A ∩B )＝{1,2,5}，故选C.
4．已知集合P ＝{正奇数}和集合M ＝{x |x ＝a ⊕b ，a ∈P ，b ∈P }，若M ⊆P ，则M 中的运算“⊕”是( )
A ．加法
B ．除法
C ．乘法
D ．减法
[答案] C
[解析] 因为M ⊆P ，所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合M 中的运算⊕为通常的乘法运算，选C.
5．(文)设集合A ＝{a ，b }，则满足A ∪B ＝{a ，b ，c ，d }的所有集合B 的个数是( ) A ．1 B ．4 C ．8 D ．16 [答案] B
[解析] 集合B 中必有元素c 、d ，由含元素a 、b 的个数知，这样的集合B 共有22
＝4个．
(理)已知集合P ∩Q ＝{a ，b }，P ∪Q ＝{a 、b 、c ，d }，则符合条件的不同集合P ，Q 有( ) A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对 [答案] B
[解析] 根据交集、并集的概念知，集合P ，Q 中都必有元素a ，b ，然后逐一选择元素
c ，
d 与元素a ，b 构成不同的集合P ，Q .
集合P ，Q 分别为：①{a ，b }和{a 、b 、c ，d }；②{a 、b 、c }和{a ，b ，d }；③{a ，b ，d }和{a 、b 、c }；④{a 、b 、c ，d }和{a ，b }，共4对．故选B.
[点评] P ＝{a ，b }，Q ＝{a 、b 、c ，d }与P ＝{a 、b 、c ，d }，Q ＝{a ， b }是不同的． 6．集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{－1,0,1}
[答案] B
[解析] ∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B ＝{1，cos1}， ∴A ∩B ＝{1}．
7．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，则集合M ∩N ＝________. [答案] {(3，－1)}
[解析] 由于M ∩N 中元素既属于M 又属于N ，故其满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝2，
x －y ＝4，解之得x ＝3，y
＝－1.
8．(文)已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．
[答案] a ≤1
[解析] 因为A ∪B ＝R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以a ≤1.
(理)已知集合A ＝{x |log 1
2
x ≥3}，B ＝{x |x ≥a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(－∞，
c ]，其中的c ＝______.
[答案] 0
[解析] A ＝{x |0<x ≤1
8}，∵A ⊆B ，
∴a ≤0，∴c ＝0.
9．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，集合B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. [答案] {1,2,5}
[解析] ∵A ∩B ＝{2}，∴log 2(a ＋3)＝2， ∴a ＝1，∴b ＝2，∴B ＝{1,2}， ∴A ∪B ＝{1,2,5}．
10．(文)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合B ＝{x |5
x ＋2
≥1}． (1)求A 、B ； (2)求(∁U A )∩B .
[解析] (1)由已知得log 2(3－x )≤log 24，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
3－x ≤4，3－x >0，解得－1≤x <3，
∴A ＝{x |－1≤x <3}． 由
5
x ＋2
≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0， 解得－2<x ≤3. ∴B ＝{x |－2<x ≤3}．
(2)由(1)可得∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}． 故(∁U A )∩B ＝{x |－2<x <－1或x ＝3}．
(理)设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *
}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2
－ax ＋a ，x ∈N *
}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．
[解析] 假设A ∩B ≠∅，则方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －1，y ＝ax 2
－ax ＋a ，有正整数解，消去y 得，
ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0(*)
由Δ≥0，有(a ＋2)2
－4a (a ＋1)≥0， 解得－233≤a ≤233
.
因a为非零整数，∴a＝±1，
当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，
而x∈N*.故a≠－1.
当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．
故存在a＝1，使得A∩B≠∅，
此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}.
能力拓展提升
11.(文)定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B中所有元素之和为( )
A．9 B．14 C．18 D．21
[答案] B
[解析] A*B中所有元素为2,3,4,5.∴和为14.
(理)设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A×B等于( )
A．(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞)
C．[0,1)∪(2，＋∞) D．[0, 1]∪(2，＋∞)
[答案] A
[解析] 由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]．
所以A×B＝(2，＋∞)．
12．(文)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
[答案] C
[解析] P＝{x|－1≤x≤1}，∵P∪M＝P，∴M⊆P，即a∈{x|－1≤x≤1}，∴－1≤a≤1，故选C.
(理)已知集合S＝{3，a}，T＝{x|x2－3x<0，x∈Z}，S∩T＝{1}，P＝S∪T，那么集合P 的子集个数是( )
A．32 B．16
C．8 D．4
[答案] C
[解析] 因为T＝{x|0<x<3，x∈Z}＝{1,2}，又S∩T＝{1}，所以a＝1，
∴S＝{1,3}，则P＝S∪T＝{1,2,3}，
∴集合P的子集有23＝8个，故选C.
13．(文)集合A ＝{x |log 2(x ＋12
)<0}，函数y ＝x －2
的单调递增区间是集合B ，则在集合
A 中任取一个元素x ，x ∈
B 的概率是________．
[答案] 1
2
[解析] A ＝{x |log 2(x ＋12)<0}＝{x |－12<x <12
}，因为函数y ＝x －2
的单调递增区间是集合
B ，所以B ＝{x |x <0}，所以A ∩B ＝(－1
2
，0)．
在集合A 中任取一个元素x ，若x ∈B ，则x ∈(A ∩B )，故所求概率P ＝
0－－
1
2
12－－12
＝12
. (理)在集合M ＝{0，1
2，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对
∀x ∈A ，有1
x
∈A ”的概率是________．
[答案]
331
[解析] 集合M 的非空子集有25
－1＝31个，而满足条件“对∀x ∈A ，有1x
∈A ”的集合
A 中的元素为1或1
2、2，且12、2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{12，2}，{1，12
，
2}．因此，所求的概率为3
31
.
14．已知集合A ＝{x |(x 2
＋ax ＋b )(x －1)＝0}，集合B 满足条件：A ∩B ＝{1,2}，A ∩(∁U B )＝{3}，U ＝R ，则a ＋b 等于________．
[答案] 1
[解析] 依题意得1∈A,2∈A,3∈A ，因此，2和3是方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两个根， 所以2＋3＝－a,2×3＝b ， ∴a ＝－5，b ＝6. ∴a ＋b ＝1.
15．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2
－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．
[解析] 集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．
(1)A 是空集，即方程ax 2
－3x ＋2＝0无解，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≠0，
Δ＝－32
－8a <0，
∴a >9
8
，
即实数a 的取值范围是(9
8
，＋∞)．
(2)当a ＝0时，方程只有一解，方程的解为x ＝2
3；
当a ≠0时，应有Δ＝0，
∴a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43，
∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43
.
(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥9
8
}．
16．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，集合B ＝{1, 2，b }．
(1)问是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A 是B 的子集？若存在，求a ；若不存在，说明理由；
(2)若A 是B 的子集成立，求出对应的实数对(a ，b )?
[解析] (1)A ＝{4＋a ， a －4}，要使得对任意实数b ，都有A ⊆B ，只能是A ⊆{1,2}，但A 中两元素之差(4＋a )－(a －4)＝8≠2－1，故这样的实数a 不存在．
(2)若A 是B 的子集成立， 则必有|b －1|＝8或|b －2|＝8， 解得b ＝－7,9，－6,10. 当b ＝－7时，a ＝－3； 当b ＝9时，a ＝5； 当b ＝－6时，a ＝－2； 当b ＝10时，a ＝6.
即对应的实数对(a ，b )为(－3，－7)，(5,9)，(－2，－6)，(6,10)．
1．全集U ＝{1,2,3,4}，集合M ＝{1,2}，N ＝{2,4}，则下面结论错误的是( ) A ．M ∩N ＝{2} B ．∁U M ＝{3,4} C ．M ∪N ＝{1,2,4} D ．M ∩∁U N ＝{1,2,3}
[答案] D
[解析] ∵∁U N ＝{1,3}，∴M ∩∁U N ＝{1}，故D 错，由交、并、补运算的定义知A 、B 、C 均正确．
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)等于( ) A．{1,3,5} B．{2,4,6}
C．{1,5} D．{1,6}
[答案] D
[解析] 由已知得M∪N＝{2,3,4,5}，则∁U(M∪N)＝{1,6}．故选D.
3．设集合M＝{x|(x＋3)(x－2)<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
[答案] A
[解析] 由(x＋3)(x－2)<0知－3<x<2，所以M∩N＝[1,2)，解答此题要特别注意区间端点能否取到．
4．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|y2＝x，x≥0}，则M∩N＝( )
A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}
C．[0，＋∞) D．[0,1]
[答案] C
[解析] M＝{y|y≥0}，N＝R，则M∩N＝[0，＋∞)，选C.
[点评] 本题极易出现的错误是：误以为M∩N中的元素是两抛物线y2＝x与y＝x2的交点，错选A.避免此类错误的关键是，先看集合M，N的代表元素是什么，以确定集合M∩N 中元素的属性．若代表元素为(x，y)，则应选A.
5．设集合A＝{x|y＝3x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B为( )
A．[0,3] B．(2,3]
C．[3，＋∞) D．[1,3]
[答案] B
[解析] 由3x－x2≥0得，0≤x≤3，
∴A＝[0,3]，
∵x>1，∴y＝2x>2，∴B＝(2，＋∞)，
∴A∩B＝(2,3]．
6．已知集合M＝{(x，y)|y－1＝k(x－1)，x，y∈R}，集合N＝{(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x，y∈R}，那么M∩N中( )
A．有两个元素
B．有一个元素
C．一个元素也没有
D．必含无数个元素
[答案] A
[解析] y－1＝k(x－1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x 轴垂直的直线即x＝1.
x2＋y2－2y＝0，可化为x2＋(y－1)2＝1，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，
∴直线与圆有两个交点，故选A.
7．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．[答案] 2
[解析] ∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.
考虑到教师工作繁忙，备课批改作业辅导学生占用大量时间，为节省教师找题选题的时间，也考虑到不同地区用题难易的差别，本书教师用书中提供了部分备选题，供教师在备课时，根据自己所教班的实际情况选用．。