因动点产生的平行四边形

因动点产生的平行四边形
问题：
（1）以平面上的点A,点B，点C为顶点，求构成平行四边形的第四个点。

（2）平面直角坐标系中已知平行四边形的三个点，求第四个点的坐标，要分类讨论。

例1: 在平面直角坐标系中，点A(1,0),B（4，0）,点C在y轴的正半轴上，且OB=2OC (1)求直线BC的解析式；
(2）在直角坐标平面内确定点M，使得以点M,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M的坐标。

例2: 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正
比例函数y=kx的图象与双曲线交于点A，且点A
的横坐标为．
(1)求k的值．
(2)将直线y=kx向上平移4个单位得到直线BC，直线BC
分别交x轴、y轴于点B、C，如点D在直线BC上，在平
面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边
形是菱形．
例3: 如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=，∠CAO=30度．将Rt△OAC
折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
(1)求折痕CE所在直线的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y
轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
例4如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-1)三点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．
例5: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
例6:已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA 方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0<t<2)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，QP∥BC ？
(2)设AQP 的面积为y(cm2) ，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
(4)如图②，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
旁触类通
1.如图，点A(m，m+1)，B(m+3，m-1)都在反比例函数的图象上．
(1)求m，k的值；
(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为
顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．
2.如图，对称轴为x=的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点E(，)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF
是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
（3）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为的⊙C与x轴交
于A(-1，0)、B(3，0)两点，且点C在x轴的上方．
(1)求圆心C的坐标；
(2)已知一个二次函数的图象经过点A、B、C，求这二次函数的解
析式；
(3)设点P在y轴上，点M在(2)的二次函数图象上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标．
4、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
(1)直接用含t的代数式分别表示：QB= _________ ，PD= _________ ．
(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3)如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径
长．
5、如图，抛物线经过A(-1，0)，B(5，0)，C(0，−)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6、如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐
标为(3，)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
(3)若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．。