专题2.1 透过二模看中考—二次函数中的角相等问题(解析版)

专题2.1 透过二模看中考—二次函数中的角相等问题
2021年二模题分类解析
2021年长宁、杨浦、金山、青浦二模的24题主要围绕着二次函数中的角相等问题展开。

解题的方法有两种：①利用角的和差进行角的转化，利用锐角三角比求解；②利用45°角，构造等角，利用锐角三角比或相似三角形求解。

利用锐角三角比或构造相似三角形是解决二次函数中角相等问题的常用方法。

解法分析：本题的第二问考察了函数的平移运动，由于抛物线与▲ABC三边只有一个公共点，因此平移后的抛物线必经过C点，代入C点坐标后即可求出平移后的函数解析式；本题的第三问考察了角相等问题，由于P和E都是动点，因此利用距离公式求解PC=PE比较困难，利用“等角的余角相等”构造等角，再通过锐角三角比求解是解题的关键。

解法分析：本题的第二问考察了平行四边形的存在性问题，解决的办法比较多，可以通过点的平移求解，也可以根据直线平行求解，还可以根据平行四边形“相对顶点的横纵坐标之和相等求解”。

本题的第三问考察了角相等问题，解题的关键是利用45°角构造等角，利用锐角三角比求解。

本题的第二问的解法1利用平行四边形点的运动判断。

由C→B，向左1个单位，向下5个单位，推导出P→Q也是同样的运动法则。

解法2利用两直线平行，联立求交点。

本题还有一种解法，由于C、B是定点，P、Q是半动点，由此设出P、Q坐标，根据P、B点横纵坐标之和和C、Q点横纵坐标之和相等求解。

解法分析：本题的第二问考察了顶点坐标的取值范围，由第一问b的值，可以用配方法用含b 的代数式表示顶点坐标，由于抛物线顶点的横坐标为2，因此P在第四象限，即顶点纵坐标小于0；本题的第三问考察了直线夹角问题，由于AB与x轴成45°角，且满足P在AB上方，因此DP与x轴成60°角，利用比例线段求出P点坐标，即可确定抛物线的解析式。

解法分析：本题的第二问考察了梯形的存在性，利用一组对边平行，求出新直线的解析式，和抛物线联立后求出P点坐标；本题的第三问利用角的和差寻找等角，构造相似三角形求出OE的长度。

二次函数中的角相等问题是一个非常重要的专题。

本文将把二次函数的背景抽离，抽象成平面直角坐标系中的点，以此来分析平面直角坐标系中的角相等问题。

解决平面直角坐标系中的角相等问题，首选是构造直角三角形，利用等角的锐角三角比相等解决问题，其次再选择构造相似三角形来计算。

考点分类总结
类型一：已知等角，求点的坐标
当题目中出现相等的角时，可以通过计算已知角的三角比，用所求点的横纵坐标表示另一角的三角比，从而建立等量关系；同时也可以通过构造相似三角形，利用比例线段解决问题。

方法辨析：平面直角坐标系中的角相等问题，首选锐角三角比，但是当计算复杂或者某个点坐标难求时，可以构造相似三角形解决问题。

类型二：构造等角，求点的坐标
方法总结：以上的第2、3、4题通过已知中出现的45°特殊角，通过外角性质或者角的和差，构造了等角，进而再利用三角比进行问题解决。

因此，如何巧妙利用和拆分特殊角成为了
构造等角的关键所在。

综合上面题目，对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。

二次函数中的角相等问题比较灵活，同学们在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。

相关类型分类解析
1.二次函数中的45°问题(以19-20一模为例)
二次函数背景下常常会出现45°，这个45°有可能是题目的背景，也有可能是由于在直角三角形背景下的横纵坐标相同而“诞生”的，解决此类问题，往往构造等腰直角三角形，利用45°角特有的性质，进而得到边之间的数量关系；或者是构造相似三角形，利用相似三角形中比例线段的性质或锐角三角比的性质进行转换，进而得到边、角的数量关系。

类型一：构造等腰直角三角形
解法分析：本题是常规的锐角三角比的求法。

可以通过过点B或过点A作高，但是可以发现∠B=45°，因此通过过点A作BC边上的高，构造出等腰直角三角形，求得相应的边的长度，得到∠ACB的正切值.
解法分析：本题的(1)问围绕着平移前后a不变，代入A、B坐标后得到解析式；本题的(2)问利用∠ABC=45°，构造等腰直角三角形，利用面积法求出相应的高，继而求出∠CAD的正弦值；问题的(3)问围绕菱形的各边相等，抓住较小内角为45°，构造等腰直角三角形求出点Q 坐标.
解法分析：本题的(1)问通过过点B作x轴的垂线得到A点坐标，继而代入求得抛物线的表达式；本题的第(2)问通过角之间的关系转化，得到BM//x轴，得到M的坐标，联立PM和AB所在直线求出点P的坐标；本题的第(3)问通过构造直角三角形，利用锐角三角比，利用面积的数量关系，继而得到MN和CN的数量关系.
类型二：构造相似三角形
解法分析：本题的关键是发现∠DAB=∠AOB=45°，则通过延长AD交BO于E，构造△ABE∽△AOB，得到E点坐标，根据AE解析式及x=2，得到点D坐标.
解法分析：本题的关键是发现∠BPD=∠PAD，构造共边共角型相似三角形：△PBD∽△PBA，得到P点坐标.
解法分析：本题的关键是利用∠ACB=∠DCE及相关的45°角构造相似三角形，本题有3种不同的方法进行辅助线的添加。

解法1和解法2构造相似三角形，解法3利用角平分线分线段成比例定理添加辅助线.
解法分析：本题的(1)问就是简单的求二次函数解析式；本题的(2)问在于发现∠OBA=∠BPQ=45°，继而得到△BOP∽△BQP，得到PQ的长度；本题的(3)问是等腰三角形的存在性分类讨论，抓住BPQ=45°进行分类讨论。

类型三：构造一线三等角模型
解法分析：本题的关键是要发现三个45°角，继而构造一线三等角模型.
解法分析：本题的关键是根据阅读材料的背景，得到△CEF是等腰直角三角形，继而通过构造一线三等角模型得到点E的坐标.
2.一线三等角模型在二次函数垂直问题中的应用
在二次函数中常常出现这样的问题“矩形的存在性问题”、“直角三角形的存在性问题”以及“在抛物线上找一点P，使得PE⊥PQ”的问题，这些问题虽然问法不同，但其本质是相同的，即根据垂直的条件，求出相应的点的坐标。

而解决这类问题常用的方法就是构造一线三等角中的垂直模型，通过构造相似，利用比例线段或等角的三角比解决问题。

类型一、平面直角坐标系中常见的一线三等角模型
如图，是常见的平面直角坐标系中的一线三等角模型，根据直角三角形的位置以及已知的等角，有这样几种不同的添线方法。

当在坐标系中遇到直角三角形(或垂直关系时)，可构造K型相似：过直角顶点作水平线(或铅垂线)，过另外两个顶点作该水平线(或铅垂线)的垂线，即可形成K型相似(全等)，进而运用锐角三角比或相似三角形列方程解题，如果坐标系中出现等腰直角三角形或正方形的存在性问题，则可以通过构建一线三等角模型构造全等三角形，如下图所示.
类型二、一模中与垂直相关的问题
问题1：直角三角形的存在性问题
解法分析：对于本题第2问中的角相等问题，可通过构造直角三角形，借助等角的三角比相等进行解决；本题第3问中以AE为直角边构造直角三角形，进行分类，即∠EAP=90°或∠AEP=90°，然后借助K型相似解决问题。

问题2：等腰直角三角形的存在性问题
解法分析：本题的背景虽然是阅读理解，但是抓住∠CEF=90°及“特征角”的定义后，即可得到△CEF是等腰直角三角形，借助K型图，构造两个全等的直角三角形.
问题3：直线互相垂直问题
解法分析：本题的解题背景虽然是在图形运动的背景下，但是遇到垂直问题，还是构造K型相似进行解决。

问题4：相似三角形的存在性问题
解法分析：本题的解题背景是三角形的相似存在性问题，由于△AOC是直角三角形，因此△BCP必是直角三角形，分类讨论后，产生两种情况，即∠BCP=90°或∠BPC=90°。

由于需要求出点P的坐标，因此，可以利用K型相似构建一线三等角模型，利用AO:OC=1:3，建立等量关系.。