【帮帮群】高考数学专题08 破译空间中有关外接球的问题

一、选择题
1．如图中的三个直角三角形是一个体积为3
20cm 的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位：2
cm ）等于
()．
A ．55π
B ．75π
C ．77π
D ．65π【答案】C 【解析】
2．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5,7,2AB BC AC ===，则此
三棱锥的外接球的体积为（）
A ．
83πB ．823πC ．163πD ．32
3
π【答案】B
【解析】由题意可知：可将三棱锥放入长方体中考虑，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设
PA x =，则
2222275471
PB PC BC x x x +==⇒-+-=⇒=，
故
2
221231,2,322
PA PB PC R ++===⇒==，
得球的体积为：3
48233R ππ=3．三棱锥A BCD -内接于半径为2的球O ，BC 过球心O ，当三棱锥A BCD -体积取得最大值时，三棱锥A BCD -的表面积为
A ．63+
B ．823+
C ．43+
D ．83+【答案】D
4．已知△ABC 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为
3
2
R ，3AB BC AC ===，则球O 的体积是（）
A ．
163πB ．16πC ．323
πD ．32π【答案】C
【解析】ABC ∆是等边三角形，所以球心O 在底面的射影是ABC ∆的中心'O ，点'OO A 是
直角三角形，满足2
22312R R ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，解得：24R =，2R =，所以3
43233V R ππ==，故选C ．
【点睛】本题考查了球与几何体的组合体问题，考查了空间想象能力以及计算能力，球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，所以很多求球心问题，可先找底面多边形的外接圆的圆心，过圆心垂直于多边形的直线必过球心，然后再利用球心到所有顶点的距离相等的性质和构造直角三角形求球的半径．
5．已知三棱锥—P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足6BA BC ==
，
π
2
ABC ∠=
，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）
A ．8π
B ．16π
C ．16π3
D ．32
π
3
【答案】D
【解析】
6．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是（）
A．4πB．8πC．12πD．16π
【答案】A
【解析】将四面体ABCD放置在正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，
因为正四面体ABCD的棱长为4，所以正方体的棱长为，可得外接球的半径满足2R==
，即R=，又E为BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，此时截面圆的面积最小，此时球心O到截面的距离等于正方体
r==，得到截面圆的面积的最小值为棱长的一半，可得截面圆的半径为2
24
==，故选A
S rππ
二、单选题
7．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为A .3：1B .4：1
C .5：1
D .
6：1
【答案】选C
8．在正四棱锥S -ABCD 中，侧面与底面所成的角为3
π
，则它的外接球半径R 与内切球半径r 之比为（）A .5
B .
3
2
C .10
D .
52
【答案】D
【解析】由于侧面与底面所成角为
，可知底面对边中心线与两个对面斜高构成正三角形，
设底面边长为a ，则斜高也为a ，进而可得侧棱长为：，高为四棱锥的内切球半径就是上述正三角形的内切圆半径为
，
其外接球球心必在顶点与底面中心连线上，如图：半径为R ，
球心为O ，顶点为P ，底面中心为O 1，底面一个顶点为B ，则OB =OP ，于是就有：（﹣R ）2+（
）2=R 2
解得R =
．
所以两者的比为：．故选D
三、填空题
9．已知,,,A B C D 是球面上不共面的四点，
AB AC BD CD BC =====
，平面ABC ⊥平面BCD ，则此球的体积为
_________．
【答案】
82
3
π
10．直角ABC 的三个顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，若球O 的表面积为12π，则球心O 到平面ABC 的距离等于__________．[
【答案】1
【解析】直角ABC 的斜边CB 为ABC 所在截面小圆的直径，则该截面小圆的半径为
2r =，由球的表面积为12π可得球的半径3R =，球心O 到平面ABC 的距离
221d R r =-=．
11．在三棱锥
中，侧棱
两两垂直，
的面积
分别为，则三棱锥的外接球的体积为_______.
【答案】
考点：球与几何体
【方法点睛】球与几何体的问题，属于中档题型，当条件为三棱锥有同一顶点的三条棱两两垂直时，可联想到长方体，这样的三棱锥就是长方体的一部分，如图所示，此时三棱锥的外接球就是长方体的外接球，而长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，
.
12．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑
中
平面，
，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.
【答案】【解析】设
的中点为，如图，
由，且为直角三角形，得
.
由
两两垂直，可知
为
和
的斜边，故点到点
的距离相等，
故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为
,则由
.得
，解得
.
由等体积法，知.
即，
解得
.
故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.
13．已知边长为3的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，沿对角线BD 折成二面角A ­BD ­C 的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．【答案】28π【解析】
14．在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面为正方形，//QA PC ，
PBC AQB
∠=∠=60 ，记四棱锥P ABCD
-的外接球与三棱锥B ACQ
-的外接球的表面积分别为12
,S S，则2
1
S
S=___．
【答案】
15
7
点睛：球的半径的计算，关键在球心位置的确定，三棱锥B AQC
-中,
QAC QBC
∆∆均为直角三角形，因此外接球的球心就是QC的中点，因为它到四个顶点的距离是相等的．同理四棱锥P ABCD
-外接球的球心就是AP的中点．
15．已知直三棱柱
中，，侧面的面积为，则直三棱柱
外接球表面积的最小值为．
【答案】
考点：1、几何体的外接球；2、基本不等式；3、球的体积和表面积.
【方法点睛】设，则有，利用直三棱柱中，，从而直三棱柱外接球的半径为，所以其比表面积的最小值为.根据直
三棱柱中，，侧面的面积为，设，，利用均值
不等式，确定直三棱柱外接球的半径的最小值是关键．
16．如图所示，三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中
点，DE PB E ⋂=，且DE AB ⊥，若120EDC ∠=︒，3
2
PA =
，2PB =，则三棱锥
P ABC -的外接球的表面积为__________．
【答案】13π
【解析】三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为3的等边三角形，设ABC ∆的外心为1O ，
外接圆的半径10
3
2sin60O A =
=，在PAB ∆中，333,,323PA PB AB ===，满足222PA PB AB +=，PAB ∆为直角三角形，PAB ∆的外接圆的圆心为D ，由于,CD AB ED AB ⊥⊥，0120EDC ∠=为二面角P AB C --的平面角，分别过两个三角形
的外心1,O D 作两个半平面的垂线交于点O ，则O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，在
1Rt OO D ∆中，01130,2ODO DO ∠==
，则0
1cos30,12O D OD OD OD
===，连接OA ，设OA R =，则2
2222313124R AD OD ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
，2
1344=134S R πππ==⨯球.
【点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.。