高考数学二轮复习 2-9 函数与方程课件 理 新人教版

∴log213≤log2(1－2x＋2 1)≤log235. 即 log213≤m≤log235. 法二：∵log2(2x－1)＝m＋log2(2x＋1)． ∴log2(2x－1)＝log2[2m·(2x＋1)]． ∴2x－1＝2m(2x＋1)， ∴2x(1－2m)＝2m＋1,2x＝21m－＋2m1， x＝log2(21m－＋2m1)． 又∵1≤x≤2，
【点评】 (1)求函数的零点，即求方程的根，它是求零点的准 确值，因此必须利用解方程的方法求解．若是求近似解，则不必去 解方程，可利用二分法求解．
(2)判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活 处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求 出时，可根据零点存在性定理；当用零点存在性定理也无法判断时 可画出图象判断．
5．若函数 f(x)＝ax－x－a(a＞0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是________．
解析：令 g(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，h(x)＝x＋a，分 0＜a＜1，a ＞1 两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数 f(x)＝ax－x－a 有两个不同的零点，则函数 g(x)，h(x)的图象有两个不 同的交点，根据画出的图象只有当 a＞1 时符合题目要求．
似值 a(或 b)；否则重复第二、三、四步．
1．(山东实验中学 2012 年高三第一次诊断性考试)函数 f(x)＝－
1x＋10g2x 的一个零点落在下列哪个区间(
)
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
答案：B
2．(2011 年课标全国)在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零
第二步，求区间(a，b)的中点 x1； 第三步，计算 f(x1) ： ①若 f(x1)＝0 ，则 x1 就是函数的零点；
②若 f(a)·f(x1)＜0 ，则令 b＝x1(此时零点 x0∈(a，x1))；
③若 f(x1)·f(b)＜ 0
，则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))；
第四步，判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近
1．(1)判断方程 3x－x2＝0 的负实数根的个数，并说明理由． 解析：设 f(x)＝3x－x2，
∵f(－1)＝－23＜0，f(0)＝1＞0， 又∵函数 f(x)的图象在[－1,0]上是连续不断的， ∴函数 f(x)在(－1,0)内有零点． 又∵在(－∞，0)上，函数 y＝3x 递增，y＝x2 递减， ∴f(x)在(－∞，0)上是单调递增的， ∴f(x)在(－1,0)内只有一个零点． 因此方程 3x－x2＝0 只有一个负实数根．
∴1≤log2(21m－＋2m1)≤2， ∴2≤21m－＋2m1≤4，13≤2m≤35， log213≤m≤log235. 【点评】 (1)函数 F(x)有零点，即 F(x)＝0 有实数根． (2)从含有多元的数学问题中，选定合适的主要变化量，从而揭 示其中主要的函数关系，求出结果．
3．已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ex2(x＞0)． (1)若 g(x)＝m 有零点，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根． 解析：(1)法一：解方程由 g(x)＝m 得 x2－mx＋e2＝0.
D．(3，4)
【解析】 (1)∵f(x)＝x3－2x2－x＋2 ＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1) ＝(x－2)(x－1)(x＋1)， ∴f(x)＝x3－2x2－x＋2 的零点为－1、1、2. (2)令 f(x)＝1x－x＝0(x≠0)， ∴x2＝1， ∴x＝±1∉(0，1)，故 f(x)在(0，1)内无零点． (3)法一：画出函数 y＝lnx 与 y＝6－2x 的图象如图， 故 f(x)＝lnx＋2x－6 只有一个零点
法二：由于 f(1)＝－4，f(e)＝2e－5＞0， ∴f(1)·f(e)＜0， ∴f(x)在(1，e)上有零点． 又 f(x)＝lnx＋2x－6 在(0，＋∞)上递增， ∴f(x)有唯一的零点． (4)设 f(x)＝2x－1＋x－5，由 f(2)·f(3)＝－2＜0，故 f(x)在(2，3)上 有零点，即方程 2x－1＋x＝5 在(2，3)内有解，所以选 C. 【答案】 C
＝(x－1)2，它的根是 x＝1 符合要求，排除 C.故选 D.
法二：∵f(0)＝1， ∴①当 m＜0 时必成立，排除 A、B. ②当 m＞0 时，要使与 x 轴交点至少有一个在原点右侧，则
m＞0， Δ－＝m2（－mm3＞－03，）2－4m≥0，∴0＜m≤1.
③当 m＝0 时原函数的零点为 x＝13＞0，故选 D. 【答案】 D
(2)令 g(x)＝f(x)－12[f(x1)＋f(x2)]， 则 g(x1)＝f(x1)－12[f(x1)＋f(x2)] ＝fx1－2 fx2； g(x2)＝f(x2)－12[f(x1)＋f(x2)] ＝fx2－2 fx1.
∴g(x1)·g(x2)＝fx1－2 fx2·fx2－2 fx1 ＝－14[f(x1)－f(x2)]2. ∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)＜0， ∴g(x)＝0 在(x1，x2)内必有一实根． 即 f(x)＝12[f(x1)＋f(x2)]在(x1，x2)内必有一实根.
第九节 函数与方程
1． 的概念
对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零
点．
2．函数零点与方程根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与
＝f(x)有 零点．
x轴 有交点⇔函数 y
3．函数零点的判断
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且
答案：(1，＋∞)
热点考向一 确定函数的零点
(1)求 f(x)＝1x－x，在(0，1)内是否有零点；
(3)判定 f(x)＝lnx＋2x－6 的零点个数；
(4)方程 2x－1＋x＝5 的解所在的区间是( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
热点考向二 与二次函数有关的零点问题
已知函数 f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1 的图象与 x 轴的交点至少有
一个在原点右侧，则实数 m 的取值范围是( )
A．(0，1]
B．(0，1)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
【解析】 法一：取 m＝0，有 f(x)＝－3x＋1 的零点 x＝13＞0，
即 m＝0 符合题设，所以排除 A、B；当 m＝1 时，f(x)＝x2－2x＋1
点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
4．用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数据如 下：
f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得 f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值(精确到 0.01) 为________． 答案：1.56
热点考向三 函数零点的应用
例3 设 f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于 x 的函数 F(x) ＝g(x)－f(x)－m 在[1,2]上有零点，求 m 的取值范围．
【解析】 令 F(x)＝0， 即 log2(2x－1)－log2(2x＋1)－m＝0. 法一：m＝log2(2x－1)－log2(2x＋1) ＝log222xx＋－11 ＝log2(1－2x＋2 1)． ∵1≤x≤2，∴3≤2x＋1≤5. 25≤2x＋2 1≤23，13≤1－2x＋2 1≤35.
(2)(2011 年 天 津 ) 对 实 数 a 和 b ， 定 义 运 算 “ ⊗ ”： a ⊗ b ＝
ab，，aa－－bb≤＞11，. 设函数 f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数 y＝f(x)－c
的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( )
A．(－1，1]∪(2，＋∞)
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1 ＝－(x－e)2＋m－1＋e2. 其对称轴为 x＝e，开口向下， 最大值为 m－1＋e2.故当 m－1＋e2＞2e，即 m＞－e2＋2e＋1 时， g(x)与 f(x)有两个交点， 即 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
【点评】 (1)这类题为方程的实根分布问题，解决此类问题一 定要注意结合图象，从判别式、韦达定理、对称轴、函数值的大小、 开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件．
(2)函数与方程联系密切，可把函数问题转化为方程问题解决， 也可用数形结合法．
2．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c. (1)若 a＞b＞c，且 f(1)＝0，试证明 f(x)必有两个零点； (2)若对 x1、x2∈R 且 x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，方程 f(x)＝12[f(x1)＋f(x2)] 有两个不等实根，证明必有一实根属于(x1，x2)． 证明：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0. 又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即 ac＜0. 又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac＞0， ∴方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不等实根，所以函数 f(x)有两个 零点．
点所在的区间为( )
A.－41，0 C.41，12
B.0，14 D.21，34
解析：因为 f14＝ ＋4×14－3＝
－2＜0，f21＝e12＋4×12－
3＝
－1＞0，所以 f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为41，12.
答案：C
3．(2012 年天津高考)函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0，1)内的零
x1，x2
x1
无交点
零点个数
两个
1个
没有
5.二分法
(1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)＜0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个 端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0 ，给定精确度 ε；
此方程有大于零的根，故m2 ＞0， Δ＝m2－4e2≥0.
等价于mm＞ ≥02，e或m≤－2e， 故 m≥2e. 法二：∵g(x)＝x＋ex2≥2 e2＝2e， 等号成立的条件是 x＝e. 故 g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需 m≥2e，则 g(x)＝m 就有零点． (2)若 g(x)－f(x)＝0 有两个相异的实根， 即 g(x)＝f(x)中 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，作出 g(x) ＝x＋ex2(x＞0)的图象．
B．(－2，－1]∪(1，2]
C．(－∞，－2)∪(1，2]
D．[－2，－1]
解析：令(x2－2)－(x－1)≤1，得－1≤x≤2， ∴f(x)＝xx2－－12（（x－＜1－≤1x或≤x2＞）2，）， ∵y＝f(x)－c 与 x 轴恰有两公共点，画函数的图象得知实数 c 的 取值范围是(－2，－1]∪(1，2]．故选 B. 答案：B
有 f(a)·f(b)＜0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在 c
∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
与 x 轴的交点