幂函数型水位流量关系回归方法研究

中图法分类号 ： ３７３ Ｐ ３ ．
文献标志码 ： Ａ
１ 传 统 幂 函 数 水 位 流 量 关 系
水位 流量 关 系是 水 文 资料 整 编 的 重要 内容 之 一 ，
２ 对 传 统 方 法 的 剖析
２ １ 幂 函数 回归 模 型 随机 误 差 项 的表 示 形 式 ．
要 分析幂 函数 线性 化 回归 的统计 特 征 ， 必须 引入 随机误 差项 ｓ。式 （ ） 应 的数学 模型 为 １相
导 出 的公 式 表 明 ， 因变 量 的 估 计值 并 非是 其 数 学期 望 的估 计 值 ； 统 方 法 所 求 幂 函 数 的 回 归 系数 不 满足 该 因 传
变量 的残 差 平 方和 为 最 小 。结 合 幂 函数 型 水 位 流 量 关 系 回 归计 算 的 实例 ， 用 ５种 计 算 方 法 进 行 分 析 比较 。 选
由式 （ ） 得 ： ３可
Ｅ（ ） ＝ Ｅ（ ０ ｅ ） ＝｜ Ｅ ｅ ） Ｙ 卢 ８ ０ （ 若 记 ８的 密 度 函数 为 （） 则 ｔ，
产实 际 中使 用 的经典 方 法 ， 本文 称其 为传 统方法 。 述 上 方法 看起 来合 理 ， 实 不 然 。 文将 对 此 进 行 分 析 ， 其 本 并
回归 系数 ： 。＝ｅ ＝ｂ 这是 数理 统计 教科 书以及 生 ， 。
二乘 法求 解式 （ ）的线 性 回归 系数 ， 而 得 式 （ ）的 ４ 进 ３
非线性 回归系数 ， 则将多＝ 作为Ｙ 。 的估计值 。 然而，
多＝／ 并非 Ｙ的数学期望的估计值 ， ３ ｏ 证明如下。
对 于实 测 点 （ ， ， 线 性 回归 的 估 计 值 为 多， 量 Ｙ） 非 。变
代 换后 的估计 值 为 ， ）产 生偏 差 （ 一 ） 则对 应 当 ， Ｙ ，
偏 差 （ 一 ） 将 函数 ＝Ｉ Ｙ 。 厂 ）在 Ｙ 处 按泰 勒 公式 展 （
开 ， 取前 两项 ， 在点 处 的 函数 值 为 并 则
式 中 ， 为 一般 函数 ； 可 以是单 个 自变量 ， 可 以是 ｒ ， 也
个 自变 量 ， ＝ （ ， ， ， ） ０为 Ｐ 维 参 数 向 量 ， Ｘ … ； 即 ０ ＝ （ 。０ ， ， ） ； ０ ，： … 占为 随 机 误 差 项 ， 服 从 Ｎ（ ， 且 ０
与步 骤如 下 。
蓑 釜
１ ２ ３ ３ ８５ ３ １８ ６ ０ ．７ ３ ６ ６ ５ ４９ ６ １６ ９ ９ ７ ５ ．９ ３ ５ ８４ ８ １７ ３ ８ ．０ ６ ．０ ２
蔫 代 ６ 平和 次 迭 。 残 数 Ｐ Ａ 方 差
４ ６ ．０ ２ ５ ０ １７ ８ ７ １０ ．６ １１ ．５ ８２ ８ ４ ５ ６ ５ ８６ ５ ．０ ２ ５ ８６ ３ ．０ １ ５ ８６ ４ ．０ １ １７ ２ ４ １ １９ ． ０ ９ ８ｌ ． ８ １７ ２ ４ １１ ． ８ ．０９ ８ １９ １７ ２ ４ １１ ． ８ ．０９ ８ １９
第 １ ５期
张 子 贤 ： 函数 型水 位 流 量 关 系 回归 方 法 研 究 幂
３ ３
Ｌ（ ） ｔ
。
￡ ｏ
一∞ ＜ ｆ＜＋∞
∑ （ Ｑ 一０） ∑ （ 一 ） Ｑ
因此 ， 统方 法是 推 求满 足 传
工
（） ７
Ｅ ｅ）＝Ｊ ｅ・ （）ｔ （ ｄ
进行 自然对 数变 换后 ， 得线性 模 型
＝Ｏ ｌ Ｂ ０＋Ｊ Ｍ＋ｓ 式 中 ， ＝ ｌｙ Ｍ ＝ ｌｘ ｏ ＝ １ ０ ｎ， ｎ， ｎ 。 卢
传统 的做 法是 假设 ｓ ～Ｎ（ ） 利 用 线性 最 小 ０， ，
性 回归系数 ｂ 、 ， 。 ｂ 然后 再 由线性 回归 系 数反 求 非 线 性
（ ）对式 （ ） 求 ／ ， １ １ ， ３Ｊ 。 ８的偏 导数 ， 即
ｏ ／ 。＝ ｑ （ １ １）
结合 实例 ， 对各 种不 同回归方 法进 行 比较 ， 进一 步说 明 传统 方法 的局 限性 。
收 稿 日期 ：０ ２—０ ２１ ２—０ ６
作 者 简 介 ： 子 贤 ， ， 授 ， 事 工 程 水 文 与 水 资 源 等 方 面 的教 学 与研 究 。Ｅ—ｍ ｉ ＺＸ ｎ６ １６ ｃｍ 张 女 教 从 ａ ：Ｚｉ ６ ＠ ２ ．ｏ ｌ ａ
） ｆ Ｙ ）＋ （ ｖ 一Ｙ ） （ ＿ ）（ ｄ
ｕｙ
） 设 Ｙ和 具 有 １组 观察 值 （ ，： 一， ｙ） ｉ＝ 。 ７ ， ， Ｉ … ， 。 斯 一牛顿 法 求 非 线 性 模 型参 数 的 “ 小 二 ， １高 １ ， 最
乘 ” 计 的参数 递推 公式 为 估 （１ ）＝ｐ ）＋［ ０ ）Ｉ （ ］ ０ ） ［．一 （ ＾） ＋ （ ．（（ ） （ ”） 一， （ ） （ ， （ ］ ， ， ．（ ） Ｉ ）
ｄ Ｑ
残 差 平方 和 为
（ ） 线 性化 后 的 因变 量 的残 Ｙ 一 ，
３ ２ 高 斯 一牛 顿 法 ．
设 非 线 性 模 型 Ｙ ： 八 ｘ， ＋８ ０
差平方和为∑ （ 一 二者关系推导如下。 ），
将 Ｙ＝ｇ ） （ 线性 化 ， 设可 导 的变换 函数 ＝ Ｙ ， ）
（ 一 ） 为最 小
＝Ｉ ｅ． — 。ｔ・ ３ ｒ ・ ｔ — ｅ ｌ ２ｔ 一ｃ ２
：
一
的线性 回归 系数 ｂ 、 ， ｂ 据此 所 求 的非 线 性 回归 系数 不
＊
满足 （ Ｑ 一０ ） 为最小 。
≈
Ｉ （ ＋ ２＋ ６＋ｔ ２ ５１５ １＋ ／ ／ ４ ４＋ｔ ２）・ ／ ／
（ ０） １
即
一 ＋ （ ） （ 一Ｙ ） Ｊ 一Ｙ ＿ Ｙ
ｕ
式中， ｋ为递 推次 数 。
ａ （） ａ （ ０ ）
ａ ｌ
ａ ，
故 （， ） ） 一 （ 一 ）（ ） 。 （） ６ Ｊ０ ）： （㈩
ａ （ ） ａ ２ ０ ０ 厂 （ ）
故 Ｅ（ ） ＝ Ｙ （ ／ ＋ｏ ／ ） Ｉ＋ ２ ｒ ８
法 ， 见后 续实 例 。 详
（） ５
＝｜ ＋｜ （ ／ ＋ ／ ） Ｂ ０ Ｂ 。２ ８ ｏ
３ 幂 函 数 型 水 位 流 量 关 系 的几 种 回 归 方法
３ １ 化 非 线 性 为 线 性 的 加权 回 归 法 ．
（） １ Ｙ＝ ０ ＋ （） ２
是水 利水 电工程规 划 设 计 、 文预 报 和 水库 调 度 的重 水 要依 据 之一 。该关 系 常选配成 幂 函数型 … ：
ｑ ＝卢 （ —ｚ ） ：卢 。ｚ 。 。
若 采 用 加 性 随机 误 差 ， （ ） 无 法 线 性 化 的。 式 ２ 是 式 中， Ｑ为流量 ， ｓＺ为水位 ， Ｚ 为 断流水 位 ， ｍ／ ； ｍ； 。 即
为 线性 模 型 ， 对 式 （ ）两 边 取 自然 对 数 ， 令 ＝ 即 １ 并 ｌｑ，， ｎ Ｏ ｎ ／ ＝ｌＺ ，ｔ ／ ｏ＝１ ０则 将式 （ ） 化为 ： ＝Ｏ ＋ ， １ 转 ｔ ０ ｜ ， 估值 五＝ｂ ８ 其 ｕ 。＋ｂ ； 次利 用线性 回归方法 推求 线 ｕ其
结 果表 明 ， 高斯 一牛 顿 法 、 非 线 性 为 线 性 的 加 权 回归 法 均 显 著 优 于 传 统 方 法 ； 化 高斯 一牛 顿 法优 于 自适 应 加 速
遗 传 算 法 ， 拉 格 朗 日乘 子 法 相 同 。 与 关 键 词 ： 函数 ；水 位 流 量 关 系；非 线 性 回 归 模 型 线 性 化 ；残 差 平 方 和 ；拟 合 精 度 ；回 归 方 法 幂
传 统方 法实 际上 仅是进 行 曲线拟合 处 理 。 若 采用 乘积 随机误 差
Ｙ ＝卢 ｅ ０ （） ３ （） ４
ｑ ＝０时 的水位 ， Ｚ 为有 效 水 位 ， Ｊ ， 为 待估 参 ｍ； ｍ；。 Ｂ
数。
目前常 用 的方法 是首先 通 过变量 代换 将式 （ ）化 １
ｔ ２
—
有鉴 于 上述结 论 ， 函数 型水 位 流 量 关 系 的选 配 幂
ｅ 一 பைடு நூலகம்
ｄ
应采 用 非线性 回归 方法 。 从提 高 曲线拟合 精度 的角 度 ，
叮
＝
１＋
／ ＋ ｒ ／８ ２ ，
推求满足 （ Ｑ 一０） 为最小的拟合参数 ， 也可采用
基 于 式 （ 导 出 的 化 非 线 性 为 线 性 的 加 权 回 归 方 ６）
人
民
长
江
）＝ （ 。Ｙ ， ， ，（ （ ）＝ ［ （ （ ）厂 （ （ ） … ， ， ） ，２ … Ｙ ） ， ０ ） ， ０）， ０）， ２
（ … ） ０ ］。
表 ２ 高 斯 一牛 顿 法 参 数 的 递 推 结 果
对于 式 （ ） 求非 线性 回归 系 数 ， ． ， １ ／ ３的估 值方 法
第４ ３卷 第 １ ５期
２０１ 年 ８月 ２
人 民 长 江
Ｙａ ｇ ｚ Ｒｉ ｅ ｎ ｔｅ ｖｒ
Ｖｏ ． Ｉ ４３． ．１ Ｎｏ ５ Ａｕ ．， ｇ ２ ２ ０１
文 章 编 号 ：０ １ ４ ７ （ ０ ２ １ ０ ３ １０ — １ ９ ２ １ ） ５— ０ ２—０ ３
幂 函 数型 水位 流 量 关 系 回 归 方法 研 究
张 子 贤
（ 苏建筑职业技术学院 市政工程学院 ， 苏 徐州 ２ １１） 江 江 ２ ｌ６
摘要 ： 为提 高 幂 函数 型 水 位 流 量 关 系的拟 舍 精 度 ， 幂 函 数 回 归 的 传 统 方 法 进行 了剖 析 ， 出 了采 用 乘 积 随 机 对 导 误 差 时 ， 函数 型 因 变 量 的数 学期 望表 达 式和 幂 函数 型 非 线 性 回 归 与其 线 性 化 回 归 的 残 差 平 方和 的 关 系式 。 幂
ａ １
对 于 幂 函 数 型 水 位 流 量 关 系 ， 性 化 变 换 函 数 线
：
ａ ，
ｌＱ， ｎ
：ｅ Ｑ ， 幂 函 数 回 归 与 其 线 性 化 后 的 残 ｖ： 则
ａ （） ａ （ ０ ）
ａ ｌ
差 平 方 和 的 关 系 为
８， ０
３ ４
基 于式 （ ） 笔者 曾提 出化 非 线 性 为线 性 的加 权 ６ ， 回归方 法 ， 参数 ｂ ， 。ｂ的计算 式 为
㈩
由式 （ ）可 知 ， 数 变 换 后 Ｙ的数 学 期 望 不 为 ５ 对
卢 ， 。 而估计值 多＝ 与式（ ） 。 ５ 是不相应的， 显然不
是好 的估计 。
是 不 正确 的。
ｂ
∑Ａ 一∑Ａ ∑Ａ ｉ ‘ ｕ “ ∑Ａ ＝ ∑Ａ （ ｉ） ∑Ａ “
． ：
Ｅ
（ ９）
２ ２ 幂 函数 回 归 与 线 性 化 后 残 差 平方 和 关 系 ．
一
般 地 ， 非 线 性 回 归 函 数 Ｙ ＝ ｇ ． ， 变 量 的 设 （） 因 Ｔ ｆ 式 中 ， ＝ （ ）。 于式 （ ）Ａ Ａ 对 １ ， ＝ （ ） ＝ Ｑ 。
而当采用加性 随机误差 时， 于式 （ ） 设 ｓ ～ 对 ２ ， Ｎ（ ， ） 则 Ｅ（ ） ＝｜ ， 估计 值 ＝ ０ ， Ｙ ８ 。 与
机误 差 。
是 相 应
的。 因此 ， 者认 为 ， 函 数 回 归模 型应 表 述 为 加 性 随 笔 幂 需要 指 出 ， 献 ［ ］ ） 文 ２ Ｅ（ ）＝Ｅ（ 。 ｅ ）＝卢 ｅ ， Ｊ Ｂ 。