2017年江苏省南通市中考数学试卷及答案解析

2017年江苏省南通市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（）
A．0B．2C．﹣1D．﹣2
解：∵在0、2、﹣1、﹣2这四个数中只有﹣2＜﹣1＜0，0＜2
∴在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数是﹣2．
故选：D．
2．（3分）近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）
A．1.8×105B．1.8×104C．0.18×106D．18×104
解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，
故选：A．
3．（3分）下列计算，正确的是（）
A．a2﹣a＝a B．a2•a3＝a6C．a9÷a3＝a3D．（a3）2＝a6
解：A、a2﹣a，不能合并，故A错误；
B、a2•a3＝a5，故B错误；
C、a9÷a3＝a6，故C错误；
D、（a3）2＝a6，故D正确；
故选：D．
4．（3分）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）
A．B．C．D．
解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．
故选：A．
5．（3分）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）
解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选：A．
6．（3分）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（）
A．4πB．6πC．12πD．16π
解：根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×2×6＝12π，
故选：C．
7．（3分）一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差
解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D、原来数据的方差S2=(1−2)2+2×(2−2)2+(3−2)2
4
=12，
添加数字2后的方差S2=(1−2)2+3×(2−2)2+(3−2)2
5
=25，故方差发生了变化．
故选：D．
8．（3分）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（）
A．5L B．3.75L C．2.5L D．1.25L
解：每分钟的进水量为：20÷4＝5（升），
每分钟的出水量为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）＝3.75（升）．
故选：B．
9．（3分）已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB 于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交PQ
̂于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：①PC
̂=CQ̂；②MC∥OA；③OP＝PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
解：∵OQ为直径，
∴∠OPQ＝90°，OA⊥PQ．
∵MC⊥PQ，
∴OA∥MC，结论②正确；
∵OA∥MC，
∴∠POQ＝∠CMQ．
∵∠CMQ＝2∠COQ，
∴∠COQ=1
2∠POQ＝∠POC，
∴PC
̂=CQ̂，OC平分∠AOB，结论①④正确；∵∠AOB的度数未知，∠POQ和∠PQO互余，∴∠POQ不一定等于∠PQO，
∴OP不一定等于PQ，结论③错误．
综上所述：正确的结论有①②④．
故选：C．
10．（3分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE ＝CG ，BF ＝DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为（ ）
A ．5√5
B ．10√5
C ．10√3
D ．15√3
解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝D ＝90°，AD ＝BC ， 又∵BF ＝DH ， ∴AH ＝CF ．
在△AEH 和△CGF 中， {AE =CG ∠A =∠C AH =CF
， ∴△AEH ≌△CGF （SAS ）， ∴EH ＝GF ．
同理，可得出HG ＝FE ．
作点E 关于BC 的对称点E ′，连接E ′G 交BC 于点F ，此时EF +FG 最小，即四边形EFGH 周长最小，过点G 作GG ′⊥AB 于点G ′，如图所示． ∵AE ＝CG ，BE ＝BE ′， ∴E ′G ′＝AB ＝10， ∵GG ′＝AD ＝5，
∴E ′G =√E′G′2+GG′2=5√5， ∴C 四边形EFGH ＝2E ′G ＝10√5． 故选：B ．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）若√x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥2．解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12．（3分）如图所示，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE＝4．
解：根据三角形的中位线定理，得：DE=1
2BC＝4．
故答案为4．
13．（3分）四边形ABCD内接于圆，若∠A＝110°，则∠C＝70度．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
故答案为：70．
14．（3分）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为9．解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，
解得c＝9．
故答案为9．
15．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝30度．
解：∵△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△COD ， ∴∠BOD ＝45°，
∴∠AOD ＝∠BOD ﹣∠AOB ＝45°﹣15°＝30°． 故答案为：30．
16．（3分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间与乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 8 ． 解：设乙每小时做x 个，则甲每小时做（x +4）个，甲做60个所用的时间为60x+4
，乙做
40个所用的时间为40x ， 列方程为：
60
x+4
=
40
x
，
解得：x ＝8，
经检验：x ＝8是原分式方程的解，且符合题意， 答：乙每小时做8个． 故答案是：8．
17．（3分）已知x ＝m 时，多项式x 2+2x +n 2的值为﹣1，则x ＝﹣m 时，该多项式的值为 3 ． 解：∵多项式x 2+2x +n 2＝（x +1）2+n 2﹣1， ∵（x +1）2≥0，n 2≥0，
∴（x +1）2+n 2﹣1的最小值为﹣1， 此时m ＝﹣1，n ＝0，
∴x ＝﹣m 时，多项式x 2+2x +n 2的值为m 2﹣2m +n 2＝3 故答案为3．
或解：∵多项式x 2+2x +n 2的值为﹣1， ∴x 2+2x +1+n 2＝0， ∴（x +1）2+n 2＝0， ∵（x +1）2≥0，n 2≥0，
∴{x +1=0n =0， ∴x ＝m ＝﹣1，n ＝0，
∴x ＝﹣m 时，多项式x 2+2x +n 2的值为m 2﹣2m +n 2＝3 故答案为3．
18．（3分）如图，四边形OABC 是平行四边形，点C 在x 轴上，反比例函数y =k
x
（x ＞0）的图象经过点A （5，12），且与边BC 交于点D ．若AB ＝BD ，则点D 的坐标为 （8，152） ．
解法1：如图，连接AD 并延长，交x 轴于E ， 由A （5，12），可得AO =√52+122=13， ∴BC ＝13，
∵AB ∥CE ，AB ＝BD ，
∴∠CED ＝∠BAD ＝∠ADB ＝∠CDE ， ∴CD ＝CE ，
∴AB +CE ＝BD +CD ＝13，即OC +CE ＝13， ∴OE ＝13， ∴E （13，0），
由A （5，12），E （13，0），可得AE 的解析式为y =−3
2x +392
， ∵反比例函数y =k x
（x ＞0）的图象经过点A （5，12）， ∴k ＝12×5＝60，
∴反比例函数的解析式为y =60
x ，
解方程组{y =−32x +39
2y =60x ，可得{x =5y =12，{x =8y =152，
∴点D 的坐标为（8，
152
）．
解法2：如图，过D 作DH ⊥x 轴于H ，过A 作AG ⊥x 轴于G ， ∵点A （5，12），
∴OG ＝5，AG ＝12，AO ＝13＝BC ，
∵∠AOG ＝∠DCH ，∠AGO ＝∠DHC ＝90°， ∴△AOG ∽△DCH ，
∴可设CH ＝5k ，DH ＝12k ，CD ＝13k ， ∴BD ＝13﹣13k ， ∴OC ＝AB ＝13﹣13k ， ∴OH ＝13﹣13k +5k ＝13﹣8k ， ∴D （13﹣8k ，12k ），
∵反比例函数y =k
x （x ＞0）的图象经过点A （5，12）和点D ， ∴5×12＝（13﹣8k ）×12k ， 解得k =5
8，k ＝1（舍去）， ∴D 的坐标为（8，152
）．
故答案为：（8，
152）．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（10分）（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+√9−（1
2
）0
（2）解不等式组{3x −x ≥21+2x 3＞x −1．
解：（1）原式＝4﹣4+3﹣1＝2； （2）{3x −x ≥2①
1+2x
3
＞x −1②
解不等式①得，x ≥1， 解不等式②得，x ＜4，
所以不等式组的解集是1≤x ＜4． 20．（8分）先化简，再求值：（m +2−5m−2）•2m−43−m ，其中m =−12
． 解：（m +2−
5
m−2）•2m−43−m
， =m 2−4−5m−2•2(m−2)
3−m
，
=−
(m+3)(m−3)m−2•2(m−2)
m−3
， ＝﹣2（m +3）． 把m =−1
2
代入，得
原式＝﹣2×（−1
2+3）＝﹣5．
21．（9分）某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t （单位：min ），然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表． 课外阅读时间频数分布表 课外阅读时间t 频数 百分比 10≤t ＜30 4 8% 30≤t ＜50 8 16% 50≤t ＜70 a 40% 70≤t ＜90 16 b 90≤t ＜110 2 4% 合计
50
100%
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）a＝20，b＝32%；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？
解：（1）∵总人数＝50人，
∴a＝50×40%＝20，b=16
50
×100%＝32%，
故答案为20，32%．
（2）频数分布直方图，如图所示．
（3）900×20+16+2
50
=684（名），
答：估计该校有684名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min．
22．（8分）不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．
解：如图所示：
，
所有的可能有12种，符合题意的有2种，故两次均摸到红球的概率为：2
12=
1
6
．
23．（8分）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼
底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．
解：在Rt△ADB中，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝100m，
在Rt△ADC中，CD＝AD×tan∠DAC＝100√3m
∴BC＝（100+100√3）m，
答：这栋楼的高度为（100+100√3）m．
24．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
解：连接OD，作OF⊥BE于点F．
∴BF=1
2BE，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD＝OB＝FC＝2，BC＝3，
∴BF＝BC﹣FC＝BC﹣OD＝3﹣2＝1，∴BE＝2BF＝2．
25．（9分）某学习小组在研究函数y =1
6x 3﹣2x 的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分． x … ﹣4 ﹣3.5 ﹣3 ﹣2 ﹣1
0 1 2 3 3.5 4 …
y
…
−8
3 −7
48 3
2
8
3
116
−116 −83 −3
2 748 83
…
（1）请补全函数图象；
（2）方程1
6x 3﹣2x ＝﹣2实数根的个数为 3 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
解：（1）补全函数图象如图所示，
（2）如图1，
作出直线y ＝﹣2的图象，
由图象知，函数y =16
x 3﹣2x 的图象和直线y ＝﹣2有三个交点，
∴方程16
x 3
﹣2x ＝﹣2实数根的个数为3，
故答案为3；
（3）由图象知，
1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值，
2、此函数在x ＜﹣2和x ＞2，y 随x 的增大而增大，
3、此函数图象过原点，
4、此函数图象关于原点对称．
26．（10分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE ，分别交AD 、BE 、BC 于点P 、O 、Q ，连接BP 、EQ ． （1）求证：四边形BPEQ 是菱形；
（2）若AB ＝6，F 为AB 的中点，OF +OB ＝9，求PQ 的长．
（1）证明：∵PQ 垂直平分BE ， ∴PB ＝PE ，OB ＝OE ，
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠PEO ＝∠QBO ， 在△BOQ 与△EOP 中， {∠PEO =∠QBO OB =OE ∠POE =∠QOB
， ∴△BOQ ≌△EOP （ASA ）， ∴PE ＝QB ， 又∵AD ∥BC ，
∴四边形BPEQ 是平行四边形， 又∵QB ＝QE ，
∴四边形BPEQ 是菱形；
（2）解：∵O ，F 分别为PQ ，AB 的中点， ∴AE +BE ＝2OF +2OB ＝18， 设AE ＝x ，则BE ＝18﹣x ，
在Rt △ABE 中，62+x 2＝（18﹣x ）2， 解得x ＝8， BE ＝18﹣x ＝10， ∴OB =1
2BE ＝5，
设PE ＝y ，则AP ＝8﹣y ，BP ＝PE ＝y ， 在Rt △ABP 中，62+（8﹣y ）2＝y 2，解得y =25
4
， 在Rt △BOP 中，PO =√(254)2−52=15
4， ∴PQ ＝2PO =15
2．
27．（13分）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”． （1）等边三角形“内似线”的条数为 3 ；
（2）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求证：BD 是△ABC 的“内似线”；
（3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别在边AC 、BC 上，且EF 是△ABC 的“内似线”，求EF 的长．
（1）解：等边三角形“内似线”的条数为3条；理由如下： 过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示： 则△AMN ∽△ABC ，△CEF ∽△CBA ，△BGH ∽△BAC ， ∴MN 、EF 、GH 是等边三角形ABC 的内似线”； 故答案为：3；
（2）证明：∵AB ＝AC ，BD ＝BC ＝AD ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，∠A ＝∠ABD ， ∴△BCD ∽△ABC ， 又∵∠BDC ＝∠A +∠ABD ， ∴∠ABD ＝∠CBD ， ∴BD 平分∠ABC ， 即BD 过△ABC 的内心， ∴BD 是△ABC 的“内似线”；
（3）解：设D 是△ABC 的内心，连接CD ， 则CD 平分∠ACB ，
∵EF 是△ABC 的“内似线”， ∴△CEF 与△ABC 相似； 分两种情况：①当
CE CF
=
AC BC
=4
3
时，EF ∥AB ，
∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB =√AC 2+BC 2=5，
作DN ⊥BC 于N ，如图2所示：
则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径， ∴DN =1
2（AC +BC ﹣AB ）＝1， ∵CD 平分∠ACB ， ∴
DE DF
=
CE CF
=4
3
，
∵DN ∥AC ， ∴
DN CE
=
DF EF
=37
，即
1
CE
=3
7
，
∴CE =7
3， ∵EF ∥AB ， ∴△CEF ∽△CAB ， ∴
EF AB
=
CE AC
，即
EF 5
=
73
4
，
解得：EF =35
12； ②当
CF CE
=
AC BC
=4
3
时，同理得：EF =
3512
； 综上所述，EF 的长为3512
．
28．（13分）已知直线y ＝kx +b 与抛物线y ＝ax 2（a ＞0）相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴相交于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ． （1）若∠AOB ＝60°，AB ∥x 轴，AB ＝2，求a 的值；
（2）若∠AOB ＝90°，点A 的横坐标为﹣4，AC ＝4BC ，求点B 的坐标； （3）延长AD 、BO 相交于点E ，求证：DE ＝CO ．
解：（1）如图1，∵抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，且AB ∥x 轴， ∴A 与B 是对称点，O 是抛物线的顶点， ∴OA ＝OB ， ∵∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∵AB ＝2，AB ⊥OC ，
∴AC ＝BC ＝1，∠BOC ＝30°， ∴OC =√3， ∴A （﹣1，√3），
把A （﹣1，√3）代入抛物线y ＝ax 2（a ＞0）中得：a =√3；
（2）如图2，过B 作BE ⊥x 轴于E ，过A 作AG ⊥BE ，交BE 延长线于点G ，交y 轴于F ， ∵CF ∥BG ， ∴
AC BC
=
AF FG
，
∵AC ＝4BC ， ∴
AF FG
=4，
∴AF ＝4FG ， ∵A 的横坐标为﹣4， ∴B 的横坐标为1，
∴A （﹣4，16a ），B （1，a ）， ∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOD +∠BOE ＝90°， ∵∠AOD +∠DAO ＝90°， ∴∠BOE ＝∠DAO ， ∵∠ADO ＝∠OEB ＝90°， ∴△ADO ∽△OEB ，
∴AD OE =
OD BE ，
∴
16a 1
=4a
，
∴16a 2＝4， a ＝±1
2，
∵a ＞0， ∴a =1
2； ∴B （1，12）；
（3）如图3，设AC ＝nBC ，
由（2）同理可知：A 的横坐标是B 的横坐标的﹣n 倍， 则设B （m ，am 2），则A （﹣mn ，am 2n 2）， ∴AD ＝am 2n 2， 过B 作BG ⊥x 轴于G ， ∴DE ∥BG ， ∴△BOG ∽△EOD ， ∴OB OE =OG OD =BG DE
， ∴OB OE =
m mn =
am 2DE
，
∴OB OE =1n ，DE ＝am 2n ， ∴
OB BE
=
1
1+n
，
∵OC ∥AE ， ∴△BCO ∽△BAE ， ∴CO AE
=
OB BE =
11+n
，
∴
CO
am 2n 2+am 2n
=11+n
，
∴CO =am 2n(1+n)1+n
=am 2
n ， ∴DE ＝CO ．。