2020高中数学 第三章 3.1.2 用二分法求方程的近似解学案 新人教A版必修1

3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标：1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)
[自主预习·探新知]
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
[提示]二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧
同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
2．二分法求函数零点近似值的步骤
[基础自测]
1．思考辨析
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )
[答案](1)×(2)×(3)×
2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
B[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]
3．已知函数y＝f(x)的图象如图3­1­1所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
图3­1­1
x3[∵x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
【导学号：37102358】(0,0.5) f(0.25)[∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．]
[合作探究·攻重难]
二分法的概念
已知函数f(x)的图象如图3­1­2所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
图3­1­2
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
D[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]
因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合
[跟踪训练]
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【导学号：37102359】
A B C D
B[二分法的理论依据是零点存在性定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．]
用二分法求函数零点的近似值
[探究问题]
1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．
2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？
提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．
求函数f (x )＝x 3－3x 2
－9x ＋1的一个负零点(精确度0.01).
【导学号：37102360】
思路探究：确定初始区间――→二分法定新的有解区间――→检验精确度ε
得零点近似值 [解] 确定一个包含负数零点的区间(m ，n )， 且f (m )·f (n )<0.因为f (－1)>0，f (－2)<0， 所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，
当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
由于|
母题探究：1.(变条件)求本例函数f (x )在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．
[解] 因为f (－1)>0，f (－2)<0，且函数f (x )＝x 3
－3x 2
－9x ＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
2．若将典例2函数改为“f(x)＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？(精确度0.1)
[解]确定一个包含正数零点的区间(m，n)，
且f(m)·f(n)<0.
因为f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，
所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
由于
[当堂达标·固双基]
1．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
D[二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.]
2．通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是( )
【导学号：37102361】
A B C D
C [在A 中，函数无零点．在B 和
D 中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C 中，函数图象是连续不断的，且图象与x 轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C 中的函数能用二分法求其零点．]
3．用二分法求函数f (x )＝x 3
＋5的零点可以取的初始区间是( ) A ．[－2,1] B ．[－1,0] C ．[0,1]
D ．[1,2]
A [∵f (－2)＝－3<0，f (1)＝6>0，f (－2)·f (1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．] 4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f (2)·f (4)<0.取区间的中点x 1＝2＋4
2＝3，
计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间).
【导学号：37102362】
(2,3) [因为f (2)·f (3)<0，所以零点在区间(2,3)内．]
5．用二分法求方程ln(2x ＋6)＋2＝3x
的根的近似值时，令f (x )＝ln(2x ＋6)＋2－3x
，并用计算器得到下表：
[解] 因为f (1.25)·f (1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f (x )的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．。