高考数学二轮复习 规范滚动训练5 文

专题二～五 规范滚动训练(五)
(建议用时45分钟)
解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．设函数f (x )＝x
2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．
(1)求数列{x n }的通项公式；
(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .
解：(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，即cos x ＝－1
2，
解得x ＝2k π±2
3
π(k ∈Z )．
由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知x n ＝2n π－23π(n ∈N *
)．
(2)由(1)可知S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－2
3n π
＝n (n ＋1)π－2n π
3，
所以sin S n ＝sin ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤n
n ＋
π－2n π3.
因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积， 所以n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin 2n π
3.
当n ＝3m －2(m ∈N *
)时，
sin S n ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－4π3＝－32； 当n ＝3m －1(m ∈N *)时，
sin S n ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－2π3＝32； 当n ＝3m (m ∈N *
)时，sin S n ＝－sin2m π＝0. 综上，当n ＝3m －2(m ∈N *
)sin S n ＝－3
2
当n ＝3m －1，(m ∈N *
)sin S n ＝32
当n ＝3m ，(m ∈N *
)sin S n ＝0.
2．为了迎接国家卫生城市复审，创设干净整洁的城市环境，某高中要从高一、高二、高三三个年级推出的班级中分别选1个，组成“巩卫”小组，利用周末进行义务创城活动．其中高一推出3个班且标号分别为A 1，A 2，A 3，高二推出2个班且标号分别为B 1，B 2，高三推出
2个班且标号分别为C 1，C 2. (1)求A 1被选中的概率；
(2)求A 1和C 2不全被选中的概率．
解：通解：组成“巩卫”小组的所有结果如下：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，
B 1，
C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，共12种．
(1)记“A 1被选中”为事件E ，则E 包含的结果有：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，共4种，所以P (E )＝412＝1
3
.
(2)记事件M 表示“A 1和C 2不全被选中”，则其对立事件M 表示“A 1和C 2全被选中”． 由于事件M 包含(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 2)，共2种结果，所以P (M )＝212＝16
. 由对立事件的概率计算公式得P (M )＝1－P (M )＝1－16＝5
6.
故A 1和C 2不全被选中的概率为5
6
.
3．如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ，∠ABC ＝60°，四边形BEFD 是矩形，且BE ＝BA ，平面BEFD ⊥平面ABCD .
(1)求证：AE ⊥CF ；
(2)若AB ＝1，求该几何体的表面积．
解：(1)法一：连接AC ，记EC ，EF ，BD 的中点分别为G ，M ，N ，连接GM ，GN ，MN ，则GM ∥
FC ，GN ∥AE ，如图1.
由题意，易证BE ⊥AB ， 不妨设AB ＝1，则GM ＝GN ＝
2
2
，MN ＝BE ＝1， 由勾股定理的逆定理知GM ⊥GN . 故AE ⊥CF .
法二：如图2，将原几何体补成直四棱柱，则依题意，其侧面ABEG 为正方形，对角线AE ，
BG 显然垂直，故AE ⊥CF .
(2)连接AC ，根据题意易证AB ⊥AC ，BE ⊥平面ABCD ，
易知BE ＝AB ＝CD ＝DF ＝1，BC ＝AD ＝2，AE ＝CF ＝2，CE ＝AF ＝5，EF ＝BD ＝7， 从而CE ⊥CF ，AE ⊥AF . 所以所求几何体的表面积
S ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
×1×1＋12×1×2＋12×2×5＋2×1×
3
2
＝3＋10＋ 3. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e 为1
2
，过F 1的直
线l 1与椭圆C 交于M ，N 两点，且△MNF 2的周长为8. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 2与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA →·OB →
＝0.过点O 作直线l 2的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程． 解：(1)由题意知4a ＝8，∴a ＝2. ∵e ＝12，∴c ＝1，b 2
＝3.
∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)∵OA →·OB →
＝0，∴OA ⊥OB .
①若直线l 2的斜率不存在，则点Q 在x 轴上． 设点Q 的坐标为(x 0,0)，则A (x 0，x 0)，B (x 0，－x 0)． 又∵A ，B 两点在椭圆C 上，∴x 204＋x 20
3＝1，x 2
0＝127.
∴点Q 的坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
±
127，0，即|OQ |＝12
7
. ②若直线l 2的斜率存在，设直线l 2的方程为y ＝kx ＋m .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y
23
＝1消去y 得
(3＋4k 2
)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－12＝0. 由Δ＞0得，m 2
＜3＋4k 2
. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2
－123＋4k 2.
∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 即(k 2
＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. ∴(k 2
＋1)4m 2
－123＋4k 2－8k 2m 2
3＋4k
2＋m 2
＝0.
整理得7m 2＝12(k 2＋1)，满足m 2＜3＋4k 2
.
又由已知可得过原点O 与直线l 2垂直的直线方程为y ＝－1
k
x ，
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－1k x ，y ＝kx ＋m ，
得点Q 的横坐标与纵坐标分别为x ＝－
k
k 2
＋1
m ，
y ＝1
k 2＋1
m ， ∴x 2
＋y 2
＝k 2k 2
＋
2m 2
＋1
k 2
＋
2
m 2
＝m 2
k 2＋1＝12
7
，
即|OQ |＝
127
. 综合(1)(2)可知，点Q 的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为12
7
的一个圆，且该圆的方程为x 2＋y 2
＝127
.。