高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》知识点训练含答案

【最新】数学《不等式》专题解析一、选择题
1．已知x，y满足约束条件
1,
22,
326,
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩
，若22
x y z
+≥恒成立，则实数z的最大值为
（）
A．2
B．25 C
．
1
2
D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据22
x y+的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10
x y
+-=的距离的平方最小，即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件
1
22
326
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩
所表示的平面区域，如图所示，
要使得22
x y z
+≥恒成立，只需()
22
min
z x y
≥+，
因为22
x y+表示原点到可行域内点的距离的平方，
结合平面区域，可得原点到直线10
x y
+-=的距离的平方最小，
其中最小值距离为
22
12
2
11
d
-
==
+
，则2
1
2
d=，即
1
2
z≤
所以数z的最大值
1
2
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区
域，结合2
2x y +的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能
力．
2．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >
C ．
a b
2
c +> D ．
112a b c
+> 【答案】C 【解析】 【分析】
取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】
,a c b c >>，故2a b c +>，
2
a b
c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
3．若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）
A ．6
B ．83
C ．
163
D ．
173
【答案】C 【解析】 【分析】
由3log (2)1a b +=+21
3b a
+=，且0,0a b >>，又由
12142(42)3a b a b b a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，
所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21
3b a
+=，且0,0a b >>，
所以12118211642(42)()(8)(83333
a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a
=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.
4．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x
=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+
<< ⎪⎝⎭
C ．(
)2f x =D ．()4
2x
x
f x e e =+
- 【答案】D 【解析】 【分析】
根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1
f x x x
=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭
，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. (
)2f x =
=
，故(
)3
f x ≥
，C 错误； D. (
)4222x
x f x e e =+-≥=，当4x
x e e
=，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】
本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5．已知,x y 满足约束条件230
23400x y x y y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1
（其中0,0m n >>），则11
2m n
+的最小值为（ ） A ．3 B ．1
C ．2
D ．
32
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式
求得
11
2m n +的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.
()11111151519322232
3232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以
112m n +的最小值为3
2
. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
6．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】
根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，
即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，
当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，
由
21
1
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
得A（1，0）
∴目标函数z＝5x+y的最小值为z＝5
故选D
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7．设实数满足条件则的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
8．已知函数())
22
log 1f x x x =+，若对任意的正数,a b ，满足
()()310f a f b +-=，则31
a b
+的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．12
D ．24
【答案】C 【解析】 【分析】
先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】 2210,x x x x x x +≥-=所以定义域为R ，
因为()22
log 1f x x x =++，所以()f x 为减函数 因为()2
2log 1f x x x
=++，())
22
log 1f x x x -=+,所以
()()()f x f x f x =--，为奇函数，
因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=，
所以
()3131936b
a a
b a b a b a b
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 因为
9926b a b a a b a b
+≥⨯=， 所以
3112a b +≥（当且仅当12a =，1
6b =时，等号成立），选C. 【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范
围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以
z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
10．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数
223
2
3()13
a c ac f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '
，当函数[]()ln ()g x f x '=的定
义域为R 时，B Ð的取值范围为( )
A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．0,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求出函数的导数，依题意即2
()320f x x bx '=+>
恒成立，所以
()
222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；
【详解】
解：因为3
2
()1f x x bx x =+++，
所以2
()32f x x bx '=++()g x 的定义域为R
，则有
()
222(2)40b a c ∆=-+-<
，即222a c b +->
，结合余弦定理，222cos 2a c b B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】
本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.
11．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要
条件.
12．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
，则2x y y +=的最大值为（ ）
A ．512
B ．8
C ．256
D ．64
【答案】C 【解析】 【分析】
作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】
作出可行域，如下图阴影部分所示，
令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2
x y
y +=的最大值为256.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
13．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.
A ．128
B ．64
C ．
164
D ．
1128
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 【详解】
不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2x
y =是增函数,所
以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,
30
x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩解
得4,1.
x y =⎧⎨
=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6
max 264z ==.
故选：B
【点睛】
本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.
14．已知函数24,0
()(2)1,0
x x f x x x x ⎧+>⎪
=⎨
⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．(2,4)
D ．(3,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4
y x x
=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】
画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x
=+
….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可
知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.
15．已知,x y 满足33025010
x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩
，则3
6y z x -=-的最小值为（ ）
A ．
157
B ．
913
C ．
17
D ．
313
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域，目标函数3
6
y z x -=
-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率，根
据图像得到答案.
【详解】
画出可行域如图中阴影部分所示，
目标函数
3
6
y
z
x
-=
-
的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)
P连接的斜率.
直线330
x y
-+=与直线10
x y
+-=交于点13
(,)
22
A-，
由图可知，当可行域内的点为A时，PA
k最小，故
min
3
33
2
113
6
2
z
-
==
--
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
16．定义在R上的函数()
f x对任意()
1212
,x x x x
≠都有
()()
12
12
f x f x
x x
-
<
-
，且函数
(1)
=-
y f x的图象关于(1,0)成中心对称，若s满足不等式
()()
22
2323
f s s f s s
-+--+
…，则s的取值范围是（）
A．
1
3,
2
⎡⎫
--⎪
⎢⎣⎭B．[3,2]
--C．[2,3)
-D．[3,2]
-
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可分析出()
f x在R上为减函数且()
y f x
=关于原点对称，所以不等式等价于()()
22
2323
f s s f s s
-+-+-
…，结合单调性可得22
2323
s s s s
-+≥-+-，从而可求出s的取值范围.
【详解】
解：因为对任意()
1212
,x x x x
≠都有
()()
12
12
f x f x
x x
-
<
-
，所以()
f x在R上为减函数；
又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称，
则()()()
222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-…，所以222323s s s s -+≥-+-，
整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.
17．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）
A ．2
B ．
12 C ．-2 D ．12
- 【答案】A
【解析】
【分析】
由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果.
【详解】
由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：
当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =.
故选：A .
【点睛】
本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.
18．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322
():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是
( )
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④ 【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.
【详解】
()2223222216162x y x y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；
将224x y +=和()322
2216x y x y +=联立，解得222x y ==， 即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2，2,2-， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
19．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） A 5B ．5 C ．3 D ．52
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．
【详解】
解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩
……
…平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，
则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方， 解得，222
2523(1)d -⎛⎫+ ⎪= ⎝⎭=⎪； 所以min 52
z =
故选：D ． 【点睛】
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．
20．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．ln ln a b b a ->-
B ．|||a b b a <
C ．ln ln a b b a -<-
D ．|||a b b a ->
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，
1b a e ==-，可排除A 、D 项；
取11,49a b =
=711812
b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的.
故选：C .
【点睛】 本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。