云南省建水第六中学20172018学年高二数学下学期期中试题理(含解析)

云南省建水第六中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理
（含解析）
一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡上相应的填涂） 1.1.设集合，集合，则（ ） A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解集合A 得集合A 的解集，根据并集运算求解即可。

【详解】解不等式得集合
集合
则 所以选D 【点睛】本题考查了并集的基本运算，属于基础题。

2.2.复数（是虚数单位），则（ ）
A. 1−2i
B. 1+2i
C. 5−10i
D. 5+10i
【答案】A
【解析】
∵z =51−2i =5(1+2i )
(1−2i )(1+2i )=1+2i,∴z =1−2i.
故选A 。

3.3.已知向量，b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =3 ，|b |⃑⃑⃑⃑⃑ =2 ，且a ⋅b ⃑ =1 ，则|a −b ⃑ | =（
） A. √10 B. √11 C. 3 D. 2√2
【答案】B
【解析】
【分析】
将|a −b ⃑ |化为√(a −b ⃑ )2，根据向量的模和数量积代入求解即可。

【详解】|a −b ⃑ |=√(a −b
⃑ )2 =√|a |⃑⃑⃑⃑⃑ 2−2a ⋅b ⃑ +|b
|⃑⃑⃑⃑⃑ 2 =√9−2+4=√11
所以选B
【点睛】本题考查了向量的数量积、及模的运算，属于基础题。

4.4.若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（ ）
A. 78cm 3
B. 23cm 3
C. 56cm 3
D. 1
2cm 3
【答案】A
【解析】
由三视图可知该几何体为上部是一个平放的五棱柱，其高为ℎ=1，侧视图为其底面， 底面多边形可看作是边长为1的正方形截去一个直角边为12的等腰直角三角形而得到， 其面积为S =1×1−12×12×12=78，所以几何体的体积为V =Sℎ=1×78=78，故选A ． 点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
5.5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x的值为（）
A. -2或-1或3
B. 2或-2
C. 3或-1
D. 3或-2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可。

【详解】因为y=1
所以−2x−3=1，解得x=−2，因为−2>2不成立，所以-2是输入的x的值；
log3(x2−2x)=1，即x2−2x=3，解得想=3或x=-1，因为只有3>2成立，所以x 的值为3.
综上，x的值为−2或3
所以选D
【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题。

6.6.已知命题p：∀x∈R，log2(x2+2x+3)>1；命题q：∃x0∈R，sinx0>1，则下列命题中为真命题的是（）
A. ¬p∧¬q
B. p∧¬q
C. ¬p∧q
D. p∧q
【答案】A
【解析】
(x2+2x+3)≥1，故p为假命题，¬p为真命题.∵x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，∴log
2
因为∀x∈R，sin x≤1，所以命题q：∃x0∈R，sin x0>1为假命题，所以¬q为真命题，则¬p∧¬q为真命题，故选A．
7.7.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于( )
A. 60°
B. 90°
C. 30°
D. 随点E的位置而变化
【答案】B
【解析】
∵A1D⊥AB，A1D⊥AD1，AB∩AD1=A，
∴A1D⊥平面AD1C1B，
又C1E⊂平面AD1C1B，
∴A1D⊥C1E．
∴直线A1D与直线C1E所成的角等于90°．选B．
8.8.要得到函数y=2sin2x的图像，只需将y=√3sin2x−cos2x的图像（）
A. 向右平移π
6个单位 B. 向右平移π
12
个单位
C. 向左平移π
6个单位 D. 向左平移π
12
个单位
【答案】D 【解析】
y=√3sin2x−cos2x=2(√3
2sin2x−1
2
cos2x)=2sin(2x−π
6
)=2sin2(x−π
12
)．
根据左加右减的原则，要得到函数y=2sin2x的图象只要将y=√3sin2x−cos2x的图象向
左平移π
12
个单位
故选：D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言.
9.9.设变量x，y满足约束条件{
x−y+2≥0,
2x+3y−6≥0,
3x+2y−9≤0.
则目标函数z=2x+5y的最小值为（）
A. −4
B. 6
C. 10
D. 17【答案】B
【解析】
试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(0,2),B(3,0),C(1,3)，直线z=2x+ 5y过点B时取最小值6，选B.
考点：线性规划
视频
10.10.已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n−1(n∈N∗)，则a2018=（）
A. 22016
B. 22017
C. 22018
D. 22019
【答案】B
【解析】
∵S n=2a n−1,（n∈N+），∴n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−1−（2a n−1−1），化为：a n=2a n−1．n=1时，a1=2a1−1，解得a1=2．
∴数列{a n}是等比数列，首项为1，,公比为2．∴a n=2n−1．∴a2018=22018−1=22017.故选B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，
解题时应注意∴a n={S1n=1
S n−S n−1n≥2.
11.11.在平面直角坐标系xOy中，设F1,F2分别为双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右
焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（）
A. √6
B. 2
C. √5
D. √3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据各个边长关系，判断出PF2⊥PF1；根据勾股定理求出离心率。

【详解】因为M是|PF1|中点，O为|F1F2|的中点，所以OM为三角形F1PF2的中位线
因为OM⊥PF1，所以PF2⊥PF1
又因为|PF2|−|PF|1=2a，2|PF1|=|PF2|，|F1F2|=2c
所以|PF1|=2a,|PF2|=4a
在△F1PF2中，PF2⊥PF1
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2
代入得(2a)2+(4a)2=(2c)2
=5，即e=√5
所以c2
a2
所以选C
【点睛】本题考查了平面几何知识在圆锥曲线中的基本应用，根据边长关系求得离心率，属于基础题。

12.12.已知函数f(x)是R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,
(x+1),则f(−2017)+f(2018)的值为( )
f(x)=log
2
A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性与周期性，求得f(−2017)+f(2018)的值。

【详解】因为f(x)是R上的偶函数,所以f(−2017)=f(2017)
所以f(−2017)+f(2018)
=f(2017)+f(2018)
又因为f(x+2)=f(x)，即周期T=2
f(2017)+f(2018)=f(1)+f(0)
函数f(x)=log2(x+1)
得f(1)+f(0)=log2(1+1)+log2(0+1)=1所以选C
【点睛】本题考查了函数性质的简单应用，周期性与奇偶性是函数重要的基本性质，要熟练掌握，属于基础题。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请在答题卡上相应的位置上）
13.13.在△ABC中三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a=8，B=60°，C=75°，那么b等于__________．
【答案】4√6
【解析】
【分析】
根据三角形内角和，求得角A，由正弦定理求的b的值。

【详解】A =180°−60°−75°=45°
由正弦定理a sinA =b
sinB ，代入得
b =asinB sinA =8sin60∘
sin45∘
=4√6 【点睛】本题考查了正弦定理的基本应用，属于基础题。

14.14.小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2018年暑假期间的旅游目的地,则济南被选入的概率是________.
【答案】34
【解析】
【分析】
根据组合数的性质求解即可。

【详解】四个城市任选三个城市选择方法有C 43 ；其中有济南入选，从另外三个城市选两
个，则有C 32 种选法 根据组合数计算公式得C 32C 43=3
4 【点睛】本题考查了组合数的简单应用，属于基础题。

15.15.已知动点P(x,y) (其中y ≥0)到x 轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1，则动点P 的轨迹方程为__________.
【答案】x 2=4y
【解析】
【分析】
由定义，判断出该曲线为抛物线；根据抛物线定义求得准线方程，进而求出动点的轨迹方程。

【详解】因为动点P(x,y)到x 轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1
所以动点P(x,y)到x =−1 的距离与它到点F(0,1)的距离相等，根据定义可知动点P 的轨迹为抛物线，且F(0,1)为焦点
则p
2=1 ，所以动点P 的轨迹方程为
x 2=4y
【点睛】本题考查了抛物线定义的简单应用，关键是要把距离进行转化，属于中档题。

16.16.以下关于圆锥曲线的4个命题中：
（1）方程2x2−5x+2=0的两实根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
（2）设A，B为平面内两个定点，若|PA|−|PB|=k(k>0)，则动点P的轨迹为双曲线的一支；
（3）方程kx2+(4−k)y2=1表示椭圆，则k的取值范围是(0,4)；
（4）双曲线x2
25−y2
9
=1与椭圆x2
35
+y2=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为___________（写出所有真命题的序号）．
【答案】（1）（2）（4）
【解析】
（1）中2x2−5x+2=0的两实根为1
2
和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确．（2）中，由双曲线定义动点到两定点距离之差是定值，且定值小于两定点距离。

知（2）正确．
（3）中，k>0，4−k>0且k≠4−k，故k的取值范围为(0,2)∪(2,4)，（3）错误．（4）中，双曲线和椭圆焦点都为(√34,0)．(−√34,0)，（4）正确．
故正确的选项为（1）（2）（4）。

点睛：这个题目的综合性较强，首先明确椭圆离心率是介于(0,1)之间的而双曲线是大于1 的；再就是考查双曲线的课本定义；第三个根据椭圆的基本方程得到4−k>0且k≠4−k，第四个根据各自的基本量的关系得到焦点坐标。

三、解答题（本大题共6小题，17小题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，并在答题卡上相应的位置作答）
17.17.A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若
m⃑⃑ =(−cos A
2,sin A
2
),n⃑=(cos A
2
,sin A
2
)，且m⃑⃑ ·n⃑＝1
2
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2√3，三角形面积S=√3，求b+c的值
【答案】（Ⅰ）2π
3
（Ⅱ）4
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据向量坐标数量积的坐标表示和m⃑⃑ ·n⃑＝1
2
，再根据半角公式求得角A的值。

（Ⅱ）根据三角形面积公式和余弦定理，求得b+c的值。

【详解】（Ⅰ）∵m ⃑⃑ =(−cos A 2,sin A 2),n ⃑ =(cos A 2,sin A 2
)，且m ⃑⃑ ·n ⃑ ＝12 ∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝12， 即－cosA ＝12，又A ∈（0，π），
∴A ＝23π
（Ⅱ）S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12b ·c ·sin 23π＝√3
∴bc ＝4,
又由余弦定理得：a 2=b 2+c 2－2bc ·cos 23π＝b 2+c 2+bc
∴16＝（b +c ）2，故b +c ＝4
【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，余弦定理及三角形的面积公式，属于基础题。

18.18.已知数列{a n }是首项为1的等差数列，若a 2+1，a 3+1，a 5成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．
【答案】（Ⅰ）a n =2n −1（Ⅱ）n 2n+1
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据等差数列的通项公式与等比中项定义，求得数列{a n }的通项公式。

（Ⅱ）将数列{a n }的通项公式带入，根据裂项法求数列{b n }的前n 项和。

【详解】（Ⅰ）因为{a n }是首项为1的等差数列，所以设a n =1+(n −1)d ，
因为a 2+1，a 3+1，a 5成等比数列，所以(a 3+1)2=(a 2+1)a 5，
(2+2d)2=(2+d)(1+4d)，
解得d =2，于是a n =2n −1． （Ⅱ）b n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−1
2n+1)，
S n =12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n −1−12n +1
) =12(1−12n+1)=n 2n+1， ∴S n =n 2n+1．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项的定义，裂项法在求和中的应用，属
于基础题。

19.19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，
AA1=3，D为AC的中点.
（Ⅰ）求证：AB1∥面BD C1；
（Ⅱ）求二面角C1−BD−C的余弦值；
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）2
7
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD．根据三角形的中位线定理判定线面平行。

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得面BDC1的一个法向量和面ABC的一个法向量，利用法向量求面面夹角，并判断二面角的大小。

【详解】（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD．
∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．
又D是AC的中点，∴OD//AB1．∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，∴AB1//面BDC1．
（II）解：如图，建立空间直角坐标系，
则C1（0，0，0），B（0，3，2），
C （0，3，0），A （2，3，0）
D （1，3，0）， C 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,3,2)，C 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,3,0)，
设n ⃑ =(x 1,y 1,z 1)是面BDC 1的一个法向量，则 {
n ⃑ ·C 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,n ⃑ ·C 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0
即{3y 1+2z 1=0,x 1+3y 1=0 ，取n ⃑ =(1,−13,12). 易知C 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,3,0)是面ABC 的一个法向量.
cos⟨n ⃑ ,C 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=n ⃑ ·C 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |n ⃑ |×|C 1
C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=−27
. ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. 【点睛】本题考查了立体几何线面平行的判定，利用法向量求二面角的夹角，关键注意最后求得的二面角的正负，属于中档题。

20.20.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,短轴长为4,离心率为√3
2.
（1）求椭圆C 的方程;
（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点,过点P 作斜率为1
2的直线交椭圆C 于A,B 两点. 求证: |PA|2+|PB|2为定值. 【答案】（1）椭圆的方程为x 2
16
+y 24
=1；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由短轴长和离心率可得a,b,c 的值，故而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设P(−2m,0)(−4≤−2m ≤4)，由直线的斜率，可得直线的方程，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明. 试题解析：（Ⅰ）依题意知2b =4,e =c a
=
√3
2
由a 2=b 2+c 2得,a =4,b =2 所以椭圆的方程为
x 2
16
+y 24
=1.
（Ⅱ）设直线的方程为y =1
2x +m ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则P(−2m,0)(−4≤−2m ≤4) 由{x 2
16+
y 2
4
=1
y =12x +m
消去y 知：x 2+2mx +2m 2−8=0 则{x 1+x 2=−2m x 1x 2=2m 2
−8
，而y 1=12x 1+m,y 2=12x 2+m 所以|PA|2+|PB|2 =(x 1+2m )2+y 12+(x 2+2m )2+y 22=5
4[(x 1+x 2)2−2x 1x 2+ 4m(x 1+x 2)+8m 2]=5
4[4m 2−2(2m 2−8)+4m ⋅(−2m)+8m 2]=5
4×16=20为定值.
点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题；“设而不求，整体代换”是重中之重，计算量偏大. 21.21.已知双曲线C:x 2a
2−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)与双曲线
y 26
−
x 22
=1的渐近线相同，且经过
点(2,3).
（1）求双曲线C 的方程；
（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为F 1、F 2，直线经过F 2，倾斜角为3
4π，与双曲线C 交于A,B 两点，求ΔF 1AB 的面积. 【答案】（1）x 2−y 23
=1（2）S ΔF 1AB =6√2.
【解析】
试题分析：（1）由题易知，双曲线C 方程为x 2−y 23
=1；（2）直线AB 的方程为y =
−(x −2)，由弦长公式得|AB |=6，d =√2
=2√2，所以S ΔF 1AB =6√2.
试题解析：
（1）设所求双曲线C 方程为y 26
−
x 22
=λ
代入点(2,3)得32
6
−
222
=λ，即λ=−1
2
所以双曲线C 方程为
y 2
6
−
x 22
=−1
2，即x 2−
y 23
=1.
（2）F 1(−2，0),F 2(2，0).直线AB 的方程为y =−(x −2).设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 联立{y =−(x −2)
x 2−y 2
3=1
得2x 2+4x −7=0 满足Δ>0. 由弦长公式得|AB |=√1+(−1)2⋅√(−4
2)2−4⋅(−7
2) =√2⋅3√2=6
点F 1(−2，0)到直线AB:x +y −2=0的距离d =2
=2√2.
所以S ΔF 1AB =1
2|AB |⋅d =1
2⋅6⋅2√2=6√2. 22.22.设f (x )=lnx ， g (x )=f (x )+f ′(x )． （Ⅰ）求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程． （Ⅱ）求函数g (x )的单调区间．
（Ⅲ）求的取值范围，使得g(a)−g(x)<1
a
对任意x>0成立．
【答案】（Ⅰ）y=x﹣1（Ⅱ）1（Ⅲ）0＜a＜e
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求函数的导函数，根据导数定义求得为斜率k，再根据点坐标求得切线方程。

（Ⅱ）根据导函数正负判断函数单调区间。

（Ⅲ）由不等式，化为关于a的不等式，利用函数关系求得a的取值范围。

【详解】（Ⅰ）∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=1
x
，f′（1）=1，f（1）=0，
∴f（x）=lnx在点（1，f（1））的切线方程为y﹣0=（x﹣1），
即y=x﹣1；
（Ⅱ）g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+1
x
的定义域为（0，+∞），
g′（x）=1
x ﹣1
x2
=x−1
x2
，
故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
故g min（x）=g（1）=0+1=1；
（Ⅲ）g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立可化为g（a）﹣＜g（x）对任意x＞0成立，故g（a）﹣＜1；
即lna+﹣＜1，
故lna＜1，
故0＜a＜e．
【点睛】本题考查了导数的综合应，根据导数求函数的切线方程、单调区间，解含参数的不等式，属于中档题。