2020高中数学 模块综合评价 新人教A版选修4-4

模块综合评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3
B.⎝
⎛⎭⎪⎫2，－π3
C.⎝
⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝
⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z)
解析：点M 的极径是2，点M 在第二象限，故点M 的极坐标是⎝
⎛⎭⎪⎫2，2π3.
答案：C
2．极坐标方程cos θ＝3
2
(ρ∈R)表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线 D ．一条射线
解析：由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝11
6
π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线． 答案：A
3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝π
4对称的曲线的方程是( )
A ．ρsin θ＋1＝0
B ．ρcos θ＋1＝0
C ．ρsin θ＝2
D ．ρcos θ＝2
解析：因为M (ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点是N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π2－θ，从而所求曲线方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋1
＝0，即ρsin θ＋1＝0.
答案：A
4．直线⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝1＋12
t ，
y ＝－3
3＋
3
2
t (t 为参数)和圆x 2
＋y 2
＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )
A ．(3，－3)
B ．(－3，3)
C ．(3，－3)
D ．(3，－3)
解析：将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋3
2t 代入圆方程，
得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－33＋32t 2＝16，
所以t 2
－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6， 因此AB 的中点M 对应参数t ＝
t 1＋t 2
2
＝4，
所以x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋3
2×4＝－3，
故AB 中点M 的坐标为(3，－3)． 答案：D
5．化极坐标方程ρ2
cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2
＋y 2
＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2
＋y 2
＝0或x ＝1
D ．y ＝1
解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2
＋y 2
＝0或ρcos θ＝x ＝1. 答案：C
6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t
(t 为参数)被圆x 2＋y 2
＝9截得的弦长为( )
A.125
B.125 5
C.
9
5
5 D.9
5
10 解析：把⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 化为标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2
5t ′，y ＝2＋15
t ′将其代入x 2
＋y 2
＝9，整理得t ′2
＋8
5t ′－4＝0，由
根与系数的关系得t ′1＋t ′2＝－
8
5
，t ′1t ′2＝－4.
故|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′2）－4t ′1t ′2＝⎝
⎛⎭⎪⎫－852
＋16＝125·5，所以弦长为125 5.
答案：B
7．已知圆M ：x 2
＋y 2
－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋3，
y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由题意易知圆的圆心M (1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|3×1－4×2－5|
32＋4
2
＝2. 答案：B
8．点M ⎝
⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3
B.⎝
⎛⎭⎪⎫1，2π3
C.⎝
⎛⎭⎪⎫1，π3 D.⎝
⎛⎭⎪⎫1，－7π6 解析：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π
6，sin 7π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点
⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12
，－32，再化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3.
答案：A
9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝tan θ，y ＝2
cos θ
(θ为参数)所表示的图形分别是( ) A ．直线、射线和圆 B ．圆、射线和双曲线 C ．两直线和椭圆
D ．圆和抛物线
解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射
线，参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2
cos θ(θ为参数)化为普通方程为y 24－x 2
＝1，表示双曲线． 答案：B
10．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝at ，y ＝a 2
t －1(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ
(θ为参数)，且它们总有公共点．则a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－32，0∪(0，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－32，4 解析：由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧at ＝1＋cos θ，
a 2
t －1＝2sin θ，
则4(at －1)2
＋(a 2
t －1)2
＝4， 即a 2
(a 2
＋4)t 2
－2a (a ＋4)t ＋1＝0， Δ＝4a 2
(a ＋4)2
－4a 2
(a 2
＋4)＝16a 2
(2a ＋3)． 直线l 与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0， 即a ≥－3
2.
答案：C
11．已知直线l 过点P (－2，0)，且倾斜角为150，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2
－2ρcos θ＝15.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，则|PA |·|PB |的值为( )
A ．5
B ．7
C ．15
D ．20
解析：易知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－3
2
t ，y ＝12
t (t 为参数)，把曲线C 的极坐标方程ρ2
－2ρcos θ＝15
化为直角坐标方程是x 2＋y 2
－2x ＝15.
将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2
＋33t －7＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－7， 故|PA |·|PB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝7. 答案：B
12．过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)的右焦点F 作直线l 交C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则1
m ＋
1
n
的值为( ) A.2
3 B.43 C.83
D ．不能确定
解析：曲线C 为椭圆x 24＋y 2
3＝1，右焦点为F (1，0)，设l ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，
y ＝t sin θ(t 为参数)，代入椭圆方程得(3
＋sin 2θ)t 2
＋6t cos θ－9＝0，设M 、N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
则t 1t 2＝－93＋sin 2θ，t 1＋t 2＝－6cos θ
3＋sin 2
θ
， 所以1m ＋1n ＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2|t 1t 2|＝4
3.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3
2
t ，y ＝12t (t 为参数)过定点P ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲
线C 交于A ，B 两点，则|PA |·|PB |的值为________．
解析：将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32
t ，y ＝12t
(t 为参数)代入曲线C ：
ρ＝2sin θ的直角坐标方程x 2＋y 2－2y ＝0，整理，得t 2－(3＋1)t ＋1＝0，设直线l 与曲线C 的交点A ，B
的对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝1，即|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝1.
答案：1
14．已知圆的渐开线的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，当φ＝π
4时，对应的曲线上的点的
坐标为________．
解析：当φ＝π
4
时，代入渐开线的参数方程，
得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos π
4＋3·π4·sin π4
，y ＝3sin π4－3·π4·cos π
4，
x ＝
322＋32π8，y ＝322－32π8，所以当φ＝π
4
时，对应的曲线上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322
＋32π8，322－32π8.
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫
322
＋32π8，322－32π8
15．若直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最
大值为________．
解析：直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x 2
＋y 2
＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为d max ＝|0＋0－6|
2
＋1＝32＋1.
答案：32＋1
16．在直角坐标系Oxy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ
(θ为参数，a >b >0)．在极坐标系中，直线l
的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则a ＝
________.
解析：椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，直线l 的直角坐标方程为x －3y －3＝0，令x ＝0，则y ＝
－1，令y ＝0，则x ＝3，所以c ＝3，b ＝1，所以a 2
＝3＋1＝4，
所以a ＝2. 答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，
y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参
数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2
θ，
y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的
普通方程为2x －y －2＝0.
同理得到曲线C 的普通方程为y 2
＝2x . 联立方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧y ＝2（x －1），y 2
＝2x ，
解得公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－1. 18．(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2
－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)圆上所有点(x ，y )中，xy 的最大值和最小值． 解：(1)原方程可化为
ρ2－42ρ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
cos θcos π
4＋sin θsin π4
＋6＝0，
即ρ2
－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① 因为ρ2
＝x 2
＋y 2
，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以①可化为x 2
＋y 2
－4x －4y ＋6＝0，
即(x －2)2
＋(y －2)2＝2，即为所求圆的普通方程．
设⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝2（x －2）
2
，sin θ＝
2（y －2）
2
，
所以参数方程为⎩⎨
⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ
(θ为参数)．
(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)(2＋2sin θ)＝ 4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ＝ 3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2
. 设t ＝cos θ＋sin θ，
则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，t ∈[－2，2]． 所以xy ＝3＋22t ＋t 2
＝(t ＋2)2
＋1.
当t ＝－2时，xy 有最小值1；当t ＝2时，xy 有最大值9.
19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨y ＝12t
(t 为参数)．
(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
(2)当m ＝2时，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ，
得：ρ2
＝2ρcos θ，所以x 2
＋y 2
＝2x ，即(x －1)2
＋y 2
＝1， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2
＋y 2
＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3
2t ＋m ，y ＝12t
得x ＝
3y ＋m ，
即x －3y －m ＝0，
所以直线l 的普通方程为x －3y －m ＝0. (2)设圆心到直线l 的距离为d ， 由(1)可知直线l ：x －3y －2＝0， 曲线C ：(x －1)2
＋y 2
＝1，
圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1，
则圆心到直线l 的距离为d ＝|1－3×0－2|1＋（3）2＝12. 所以|AB |＝2
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝ 3.
因此|AB |的值为 3.
20．(本小题满分12分)已知圆C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，
y ＝2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3.
(1)将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)圆C 1，C 2是否相交？若相交，请求出公共弦长；若不相交，请说明理由．
解：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，得圆C 1的普通方程为x 2＋y 2
＝4.
由ρ＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3，
得ρ2
＝4ρ⎝
⎛⎭⎪⎫sin θcos π3＋cos θsin π3，
即x 2
＋y 2
＝2y ＋23x ，整理得圆C 2的直角坐标方程为(x －3)2
＋(y －1)2
＝4.
1)在圆C 1上可知，圆C 1，C 2相交，由几何性质易知，两圆的公共弦长为2 3.
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，P
是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．
(1)求圆心的极坐标； (2)求△PAB 面积的最大值．
解：(1)圆C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2.
所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.
(2)直线l 的普通方程为22x －y －1＝0， 圆心到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|3＝22
3，
所以|AB |＝2
2－89＝210
3
， 点P 到直线AB 距离的最大值为2＋
223＝523，故最大面积S max ＝12×2103×523＝105
9
. 22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，
y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐
标原点为极点、x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2
＋(y －1)2
＝a 2
，则C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0，
ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2
＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2
θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2
＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.。