(华师大版)初中数学九年级上册 第23章综合测试 (含答案)

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第23章综合测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1.下列四条线段中，不是成比例线段的为（ ） A .3a =，6b =，2c =，4d =
B .4a =，6b =，5c =，10d =
C .1a =
，b
，c
d =
D .2a =
，b
c =
d =2.下列各组图形中有可能不相似的是（ ） A .各有一个角是45︒的两个等腰三角形 B .各有一个角是60︒的两个等腰三角形 C .各有一个角是105︒的两个等腰三角形 D .两个等腰直角三角形
3.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，:3:2DE EC =，连结AE 交BD 于点F ，则DEF △与BAF △的面积之比为（ ）
（第3题）
A .2:5
B .3:5
C .9:25
D .4:25
4.如图，在平面直角坐标系中，有点()6,3A ，()6,0B ，以原点O 为位似中心，相似比为13
，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）
（第4题）
A .()2,1
B .()2,0
C .()3,3
D .()3,1
5.下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；③两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81.其中正确的有（ ） A .1个
B .2个
C .3个
D .0个
6.如图，为计算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D
，使得
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AB BC ⊥，CD BC ⊥，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，
若测得20 m BE =，10 m CE =，20 m CD =，则河的宽度AB 等于（ ）
（第6题图）
A .60 m
B .40 m
C .30 m
D .20 m
7.如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是()1,7，()1,1，()4,1，()6,1，以C ，D ，E 为顶点的三角形与ABC △相似，则点E 的坐标不可能是（ ）
（第7题图）
A .()6,0
B .()6,3
C .()6,5
D .()4,2
8.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 是AD 的中点，CF BE ⊥于点F ，则CF 等于（ ）
（第8题图）
A .2
B .2.4
C .2.5
D .2.25
9.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 上的一点，:2:3DE EC =，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，
BD 交于点F ，则::DEF EBF ABF S S S =△△△（ ）
（第9题图）
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A .2:5:25
B .4:9:25
C .2:3:5
D .4:10:25
10.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠=︒，点D 在边BC 上（与B ，C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连结FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC FG =；
②:1:2FAB CBFG S S =△四边形；③ABC ABF ∠=∠；④2·
AD FQ AC =，其中正确结论有（ ）
（第10题图）
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
二、填空题（每题3分，共30分）
11.如图，已知在ABC △中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，6cm BC =，则DE 的长度是________cm .
（第1题图）
12.假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1:500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32cm ，则小明所居住的城市与A 的实际距离为________. 13.已知
578
a b c
==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为________. 14.如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC ＞.若1S 表示以BC 为边的正方形的面积，2S 表示长为()AD AD AB =、宽为AC 的矩形的面积，则1S 与2S 的大小关系为____________.
（第14题图）
（第15题图）
15.如图，ABC △中，D ，E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G
，
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1CF =，则BC =________，ADE △与ABC △的周长之比为________，CFG △与BFD △的面积之比为
________.
16.如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O
为位似中心，相似比为，点A 的坐标为
()0,1，则点E 的坐标是________.
（第16题图）
17.如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2 018次，点P 依次落在点1P ，2P ，3P ，
…，2 018P 的位置，则点 2 018P 的横坐标为________.
（第17题图）
18.如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E ，F ，不断调整站立的位置，使在点D 处恰好能看到铁塔的顶部B 和底部A ，设小明的手臂长45cm l =，小尺长15cm a =，点D 到铁塔底部A 的距离42 m AD =，则铁塔的高度是________m .
（第18题图）
19.如图，已知点P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且3PB =，BF BP ⊥，垂足是点B ，若在射线BF 上找一点M ，使以点B ，M ，C 为顶点的三角形与ABP △相似，则BM 的长为
________.
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（第19题图）
20.如图，正三角形ABC 的边长为2，以BC 边上的高1AB 为边作正三角形11AB C ，ABC △与11AB C △公共部分的面积记为1S ，再以正三角形11AB C 的边11B C 上的高2AB 为边作正三角形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的面积记为2S ……以此类推，则n S =____________.（用含n 的式子表示，n 为正整数）
（第20题图）
三、解答题（21题6分，22，25题每题12分，23，24题每题8分，26题14分，共60分） 21.如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，试求出x 及α∠的大小.
（第21题图）
22.如图，小正方形网格的边长为1.
（1）分别写出ABC △和DEF △的顶点的坐标；
（2）以D 为位似中心，把DEF △缩小一半，得到DMN △，在网格中画出DMN △，并写出M ，N 两点的坐标；
（3）试说明ABC △和DEF △的面积关系
.
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（第22题图）
23.如图，在ABC △中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E . （1）求证：BDE CAD △∽△；
（2）若13AB =，10BC =，求线段DE 的长.
（第23题图）
24.如图，一条河的两岸BC 与DE 互相平行，两岸各有一排景观灯（图中黑点代表景观灯），每排相邻两景观灯的间隔都是10 m ，在与河岸DE 的距离为16 m 的A 处（AD DE ⊥）看对岸BC ，看到对岸BC 上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE 上两个景观灯的灯杆遮住.河岸DE 上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC 上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度.
（第24题图）
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25.如图，在矩形ABCD 中，12cm AB =，6cm BC =，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2 cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1 cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，用()s t 表示移动的时间（06t ≤≤），那么：
（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直角三角形？
（2）对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论. （3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与ABC △相似？
（第25题图）
26.如图①，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，28BC AB ==，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连结DE . 将EDC △绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）当0α=︒和180α=︒时，求
AE
BD 的值. （2）试判断当0360α︒︒≤＜时，AE
BD
的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明.
（3）当EDC △旋转至A ，D ，E 三点共线时，求线段BD 的长.
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第23章综合测试
答案解析
一、 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】A 5.【答案】A 6.【答案】B 【解析】
AB BC ⊥，CD BC ⊥，
90ABE DCE ∴∠=∠=︒，
又AEB DEC ∠=∠，
ABE DCE ∴△∽△.
AB BE DC CE ∴
=，即20
2010
AB =
. 40m AB ∴=.
7.【答案】B 8.【答案】B
【解析】由90A ABC ∠=∠=︒，CF BE ⊥，易证ABE FCB △∽△.
AB CF BE BC ∴=
由1
3 1.52AE =⨯=，2AB =，得 2.5BE =， 22.53
CF
∴
=
， 2.4CF ∴=.
9.【答案】D
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10.【答案】D
【解析】四边形ADEF 为正方形，90FAD ∴∠=︒，AD AF EF ==，
90CAD FAG ∴∠+∠=︒. FG CA ⊥， 90G ACB ∴∠=︒=∠， 90AFG FAG ∴∠+∠=︒, DAC AFG ∴∠=∠.
在FGA △和ACD △中，
,,,G C AFG DAC AF DA ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
FGA ACD ∴△≌△，
AC FG ∴=，①正确.BC AC =， FG BC ∴=,
90ACB ∠=︒，FG CA ⊥， FG BC ∴∥，
∴四边形CBFG 是矩形，
90CBF ∴∠=︒，
11
·22
FAB CBFG S FB FG S ==△四边形，
②正确.
CA CB =，90C CBF ∠=∠=︒， 45ABC ABF ∴∠=∠=︒，③正确.
易知FQE DQB ADC ∠=∠=∠，
90E C ∠=∠=︒，ACD FEQ ∴△∽△，
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::AC AD FE FQ ∴=，
2··AD FE AD FQ AC ∴==，④正确.
二、 11.【答案】3 12.【答案】160km
【解析】设小明所居住的城市与A 地的实际距离为km x ，根据题意可列比例式为
132
500000105
x =⨯，解得
160x =.
13.【答案】14 【解析】由
578
a b c
==，可设5a k =，7b k =，8c k =. 329a b c -+=， 352789k k k ∴⨯-⨯+=， 1k ∴=.
2431028241414a b c k k k k ∴+-=+-==.
14.【答案】12S S =
【解析】点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC ＞，
2·BC AC AB ∴=，
又
21S BC =，2··S AC AD AC AB ==，1 2.S S ∴=.
15.【答案】2 1:2 1:6 16.
【答案】 17.【答案】2 017 18.【答案】14
【解析】作CH AB ⊥于H ，交EF 于P ，如图，则42m CH DA ==，由题意知，45cm 0.45m CP ==，
初中数学 九年级上册 11 / 15 15cm 0.15m EF ==，
EF AB ∥，
CEF CBA ∴△∽△，
EF CP
AB CH ∴=即0.150.45
42AB =，
14m AB ∴=，
即铁塔的高度为14m .
19.【答案】16
3或3
【解析】90ABC FBP ∠=∠=︒，
ABP CBF ∴∠=∠，当MBC ABP △∽△时，::BM AB BC BP =，得164433BM =⨯÷=；当
CBM ABP △∽△时，::BM BP CB AB =，得4343BM =⨯÷=.
20.
34n
⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】在正三角形ABC 中，1AB BC ⊥，
11
12BB BC ∴==.
在1Rt ABB △
中，1AB ==
根据题意可得211AB B AB B △∽△，记1AB B △的面积为S ，
2
1S S ∴=⎝⎭
，
初中数学 九年级上册 12 / 15 134
S S ∴=， 同理可得2134S S =，3234S S =，4334S S =，…，
又112S =⨯
=， 13344
S S ∴
=， 2213344S S ⎛⎫==
⎪⎝⎭，3323344S S ⎛⎫==
⎪⎝⎭，4433344S S ⎛⎫=-=
⎪⎝⎭， (34)
n S ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. 三、
21.【答案】解：因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，所以95H D ∠=∠=︒，
则360951186780α∠=︒-︒-︒-︒=︒.
因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，
所以:712:6x =，解得14x =.
22.【答案】解：（1）()0,2A ，1()3,B -，()2,1C --；2(0,)D -，()6,0E ，()4,4F .
（2）取DE 的中点M ，DF 的中点N ，连结MN ，则DMN △就是以D 为位似中心的DEF △的位似图形，如图，由图知，M ，N 两点的坐标分别为1(3,)M -，()2,1N .
（3）由（1）（2）中ABC △和DMN △顶点的坐标，可知ABC △与DMN △关于原点成中心对称，所以ABC △和DMN △的面积相等.又因为DMN DEF △∽△，相似比为1:2，所以DMN △与DEF △的面积比为1:4，故ABC △与DEF △的面积比为1:4.
23.【答案】（1）证明：AB AC =，BD CD =，
AD BC ∴⊥，B C
∠=∠，
DE AB ⊥，
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DEB ADC ∴∠=∠，
BDE CAD ∴△∽△.
（2）解：AB AC =，BD CD =，
AD BC ∴⊥，
在Rt ADB △
中，12AD ==， 1122AD BD AB DE ⋅⋅=⋅⋅， 6013DE ∴=. 24.【答案】解：由题意可得DE BC ∥，
所以AD AE AB AC
=， 又因为DAE BAC ∠=∠，
所以ADE ABC △∽△.
所以'AD DE AB BC =即AD DE AD DB BC =+‘
， 因为16m AD =，50m BC =，20m DE =，
所以16201650
DB =+. 所以24m DB =.
所以这条河的宽度为24m .
25.【答案】解：（1）由题意知2AP t =，DQ t =，6QA t =-，当QA AP =时，
QAP △是等腰直角三角形，所以62t t -=，解得2t =.
（2）四边形QAPC 的面积11··36663622
()QAC APC S S AQ AB AP BC t t =+=+=-+=△.在P ，Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变.
（3）分两种情况：
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①当AQ AP AB BC =时，QAP ABC △∽△，则62126
t t -=，即 1.2t =； ②当
QA AP BC AB =时，PAQ ABC △∽△，则62612t t -=，即3t =. 所以当 1.2t =或3时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与ABC △相似.
26.【答案】解：（1）当0α=︒时，28BC AB ==，
4AB ∴=，
点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，
4BD ∴=，12
AE EC AC ==，90B ∠=︒，
AC ∴==
AE CE ∴==
AE BD ∴==. 当180α=︒
时，如图①，易得AC =
CE =4CD =，
AE AC CE BD BC CD +∴==+
（2）无变化
.
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证明：在题图①中，DE 是ABC △的中位线，
DE AB ∴∥，
'
CE CD CA CB ∴=，90EDC ABC ∠=∠=︒. 如题图②，EDC △在旋转过程中形状大小不变，
CE CD CA CB
∴=仍然成立. 又ACE BCD α∠=∠=，
ACE BCD ∴△∽△，
=AE AC BD BC
∴， 在Rt ABC △
中，AC =
AC BC ∴==
AE BD ∴= AE BD
∴的大小不变. （3）当EDC △在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形，
如图②，
BD AC ∴==当EDC △在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，ADC △
为直角三角形，如图③，由勾股定理可得8AD ==，又易知2DE =，
6AE ∴=， 5AE BD =
，BD ∴=.
综上，BD 的长为
.。