2015浙江台州中考数学

2015年浙江省初中毕业学习考试
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（2015浙江省台州市，1，4）单项式2a 的系数是 （ ）
A ．2
B ．2a
C ．1
D ．a 【答案】A
【解答】 解：根据单项式系数的定义是乘积中的数字因数，故选A 2．（2015浙江省台州市，2，4）下列四个几何体重，左视图为圆的是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解答】 解：A 选项左视图为长方形，B 选项左视图为梯形，C 选项左视图为等腰三角形，D 选项左视 图为圆满足题意，故选D 3．（2015浙江省台州市，3，4）在下列调查中，适宜采用全面调查的是 （ ）
A ．了解我省中学生的视力情况
B ．了解九（1）班学生校服的尺码情况
C ．检测一批电灯泡的使用寿命
D ．调查台州《600全名新闻》栏目的收视率 【答案】B
【解答】解：A 选项我省中学生样本容量过大，不适合全面调查；B 选项样本容量适合，且不具有破坏性； C 选项具有破坏性，不适宜全面调查；D 选项台州范围较大，样本容量过大不适合全面调查，故选B 4．（2015浙江省台州市，4，4）若反比例函数k
y x
=
的图像经过（2，－1），则该反比例函数的图像在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 【答案】D
【解答】 解：将（2，－1）代入解析式得k =－2，根据反比例函数的图像性质，k <0，图像在二、四象限， 故选D 5．（2015浙江省台州市，5，4）若一组数据3，x ，4，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为 （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】C
【解答】 解：根据这组数据的众数是6，可知x =6，再将这组数重新排序：3，4，5，6，6，故中位数是 5，选C
6．（2015浙江省台州市，6，4）把多项式2
28x -分解因式，结果正确的是
（ ）
A ．2
2(8)x -
B ．2
2(2)x -
C ．2(2)(2)x x +-
D ．4
2()x x x
-
【答案】C
【解答】 解：因式分解是将多项式化成几个整式的积的形式，A 选项提取2后括号中应为－4，B 选项公
式套用错误，提取2后应使用平方差公式，C 选项正确，D 选项出现分式，故选C 7．（2015浙江省台州市，7，4）设二次函数2
(3)4y x =--的图象的对称轴为直线l ，若点M 在直线l 上，则点M 的坐标可能是
（ ）
A ．（1，0）
B ．（3，0）
C ．（－3，0）
D ．（0，－4）
【答案】B
【解答】 解：由抛物线的解析式可得二次函数的对称轴为x =3，所以M 点的横坐标为3，对照选项选B 8．（2015浙江省台州市，8，4）如果将长为6cm ，宽为5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不．可能．．
是
（ ）
A ．8cm
B
．
C ．5.5cm
D ．1cm
【答案】A
【解答】 解：折痕长度大于0
，A 选项不在范围你，故选A
9．（2015浙江省台州市，9，4）如图，在菱形ABCD 中，AB =8，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE =AF ，过点E 作EG //AD 交CD 于点G ，过点F 作FH //AB 交BC 于点H ，EG 与FH 交于点O ．当四边形AEOF 与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE 的值为 （ ）
A ．6.5
B ．6
C ．5.5
D ．5
O
F
H
E G
D C
B
A
【答案】C 【解答】 解：设菱形AEOF 的边长AE =x ，则菱形CGOH 的边长OH =8－x ，由题列方程4x －4（8－x ）=12， 解之得x =5.5，故选C 10．（2015浙江省台州市，10，4）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛．甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题中，其中真命题的是 （ ）
A ．若甲对，则乙对
B ．若乙对，则甲对
C ．若乙错，则甲错
D ．若甲错，则乙对 【答案】B
【解答】解： 设参加围棋比赛人数为x 人，参加象棋比赛人数为y 人，两项都参加的人数为a 人，则 x +y =20+a ，只参加一项的人数为x －a +y －a =x +y －2a =（20－a ）人 A ．若甲对，则20－a >14，a <6，乙不正确；
B ．若乙对，即a <5，则20－a >15，当然也就大于14，则甲也对；
C ．若乙错，即a ≥5，则20－a ≤15，当a =5时，甲就正确；
D ．若甲错，即20－a ≤14，则a ≥6，则乙错 根据以上分析，答案选B
二、填空题（本题有6小题，每题5份，共30分） 11．（2015浙江省台州市，11，5）不等式2x －4≥0的解集是________． 【答案】2 x
【解答】 解：2x ≥4，x ≥2 12．（2015浙江省台州市，12，5）有四张质地、大小、反面安全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4．现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是________． 【答案】
2
1 （第9题）
【解答】 解：21
==42
P （奇数）
13．（2015浙江省台州市，13，5）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 是△ABC 的角平分线，DC =3，则点D 到AB 的距离是________．
D
C
B
A
【答案】3
【解答】 解：利用角平分线的性质，D 到AB 的距离等于DC 的长，答案为3 14．（2015浙江省台州市，14，5）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1cm ．甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A 处的位置．则淑江区B 处的坐标是______．
【答案】(10，38)
【解答】 解：过B 点作正东方向的垂线，垂足为H ，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一 般，求得AH =8，再根据勾股定理求得BH =38，所以B 点的坐标为（10，38）
15．（2015浙江省台州市，15，5）关于x 的方程2
10mx x m +-+=，有以下三个结论：①当m =0时，方程只有一个实数解；②m ≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m 取何值，方程都有一个负数解，
其中正确的是______（填序号）． 【答案】①，③
【解答】 解：m =0时，x =m －1；m ≠0时，△=2
441m m -+，当m =
1
2
时，方程有两个相等的实数解， 故②错误，③当m =0时，方程的解为1x =-，当m ≠0时，若12x x +<0，则两解中必定有一个负数解，满 足题意，，若12x x +=1m -
>0，则，则1
m
<0，12x x ⋅=11m -+<0，也必有负数解，所以③正确 16．（2015浙江省台州市，16，5）如图，正方形ABCD 的边长为1，中心为点O ，有一边长大小不定的正
六边形EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，
这个正六边形始终在正方形ABCD 内（包括正方形的
（第13题）
边）．当这个正六边形的边长最大时，AE 的最小值为________．
A
【答案】
2
1
2- 【解答】 解：设O 到正六边形顶点距离最大为a ，则以O 为圆心，a 为半径的圆是正方形的内切圆，所 以1
2
a =
，AE 的最小值的情形为E 点在内切圆圆周上，连接OA ，交点即为所有的E 点，此时AE =212-
时最小．
三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（2015浙江省台州市，17，8）计算6÷（－3）+|－1|－0
2015． 【答案】2-
【解答】解：0
20151)3(6--+-÷=112-+-
=2-.
18．（2015浙江省台州市，18，8）先化简，再求值：
2
11(
1)
a
a a -++，其中1a =． 【答案】
12
【解答】解：
211(1)a a a -++=2
2)
1()1(1+-++a a a a 2
2)1(1
)1(1+=+-+=
a a a a
当1a =- 时，原式2
)
112(1+-=
21
)
2(12
==
.
19．（2015浙江省台州市，19，8）如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A 到调节器点O 处的距离为80cm ，AO 与地面垂直．现调整靠背，把OA 绕点O 旋转35°到OA ′处．求调整后点A ′
（第16题）
比调整前点A 的高度降低多少厘米？（结果取整数）？ （参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70）
【答案】14cm
【解答】解：如图，过点A '作OA H A ⊥'于点H ，
由旋转可知，80=='OA A O ，
在Rt △H A O '中，︒'=35cos A O OH
6.6582.080=⨯≈
∴4.146.6580=-=-=OH OA AH 14≈cm 答：调整后点'A 比调整前点A 的高度降低了14cm .
20．（2015浙江省台州市，20，8）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y （m ）与旋转时间x （min ）之间的关系如图2所示． （1）根据图2填表： x （min
） 0 3 6 8 12 … y （m ）
…
（2）变量y 是x 的函数吗？为什么？
（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．
（第19题）
H
（第19题） x y 3545O
(m)
(min)
7060504030201012
10
8
6
4
2（图2）
【答案】（1）5，70，5，54，5；（2）y 是x 的函数;（3）65m 【解答】解:（1）表格中分别填写：5，70，5，54，5.
（2）变量y 是x 的函数.
理由：因为在这个变化过程中，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，所以变量y 是x 的函数.
（3）摩天轮的直径是65570=-m .
21．（2015浙江省台州市，21，10）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x （单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中m 的值和“E ”组对应的圆心角的度数；
（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数． 【答案】（1
（第20题）
（图1）
（第21题）
（2）m =40，14.4° （3）870人.
【解答】解：（1
（2）∵100%1010=÷， ∴%4010040=÷， ∴40=m . ∵%41004=÷， ∴“E ”组对应的圆心角度数
︒=︒⨯=4.14360%4（写成14.4，也给分）
（3）870%)4%25(3000=+⨯人.
答：估计该校学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人.
22．（2015浙江省台州市，22，12）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC =BC =DC ． （1）若∠CBD =39°，求∠BAD 的度数； （2）求证：∠1=∠2．
【答案】（1）解：78︒.
（2）证明：∵BC EC =，
（第22题）
∴CEB CBE ∠=∠.
∵CBD CBE ∠+∠=∠1，BAC CEB ∠+∠=∠2， ∴BAC CBD ∠+∠=∠+∠21. 又∵CBD BAC ∠=∠， ∴21∠=∠.
【解答】（1）解：∵DC BC =，∴BC DC =.
∴CBD CAD BAC ∠=∠=∠. ∵︒=∠39CBD ，∴︒=∠=∠39CAD BAC . ∴︒=∠+∠=∠78DAC BAC BAD . （2）证明：∵BC EC =， ∴CEB CBE ∠=∠.
∵CBD CBE ∠+∠=∠1，BAC CEB ∠+∠=∠2， ∴BAC CBD ∠+∠=∠+∠21. 又∵CBD BAC ∠=∠， ∴21∠=∠.
23．（2015浙江省台州市，23，12）如图，在多边形ABCDE 中，∠A =∠AED =∠D =90°，AB =5，AE =2，ED =3．过点E 作EF //CB 交AB 于点F ，FB =1，过AE 上的点P 作PQ //AB 交线段EF 于点Q ，交折线BCD 于点Q ，设AP =x ，PO ·OQ =y
（1）①延长BC 交ED 于点M ，则MD =______，DC =______；
②求y 关于x 的函数解析式； （2）当a ≤x ≤
1
2
（a ＞0）时，9a ≤y ≤6b ，求a ，b 的值； （3）当1≤y ≤3时，请直接写出x 的取值范围．
O
Q
P F
E D
C
B
A
【答案】（1）①2， 1；
②⎩
⎨⎧≤<-+-≤<+-=.
21410410422
x x x x x y ，，，
（2）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==.95,31b a
（3）
4
5
521+≤
≤x .
【解答】解：（1）①2=MD ，
1=DC ；
②∵x AP =，∴x EP -=2. 在Rt △AEF 中，22
4
tan ===
∠AE AF AEF ， ∴tan 2(2)24PO PE AEF x x =∠=⨯-=-+. ∵︒=∠=∠90AED A ，∴AB DE .
∵PQ
AB ，∴PQ ED ．
当10≤<x 时，如图1所示，
∵EF
CB ，PQ AB ，
∴四边形OFBQ 是平行四边形．∴1==FB OQ . ∴(24)124y PO OQ x x ==-+⨯=-+． 当21≤<x 时，如图2所示，
（第23题图1）
M
∵︒=∠=∠90D AED ，∴AE CD ．
∵PQ
ED ，∴四边形DEPQ 是矩形．
∴12)42(3-=+--=x x OQ ．
∴2
(24)(21)4104y PO OQ x x x x ==-+⨯-=-+-． ∴⎩⎨
⎧≤<-+-≤<+-=.
21410410422
x x x x x y ，
，，
（2）y 关于x 的函数图象如图3所示．
当10≤<x 时，y 随着x 的增大而减小，
所以⎩
⎨
⎧-==.246,
39a b a
解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==.95,31b a
（3）
4
5521+≤≤x .
24．（2015浙江省台州市，24，14）定义：如图1，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ．若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点．
（第23题图3）
（第23题图2）
（1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点．若AM =2，MN =3，求BN 的长；
（2）如图2，在△ABC 中，FG 是中位线，点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC ＞DE ≥BD ，连接AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ．求证：点M ，N 是线段FG 的勾股分割点；
（3）已知点C 是线段AB 上的一定点，其位置如图3所示，请在BC 上画一个点D ，使点C ，D 是线段AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；
（4）如图4，已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN ＞AM ≥BN , △AMC ，△MND 和△NBE 均为等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H ．若H 是DN 的中点，试探究S △AMF ；S △BEN 和S 四边形MNHG 的数量关系，并说明理由． N A
A
【答案】（1）5=BN 或13.
（2）证明：
∵FG 是△ABC 的中位线，∴FG BC ∥. ∴
1===GC
AG
NE AN MD AM . ∴点M ，N 分别是AD ，AE 的中点. ∴FM BD 2=，MN DE 2=，NG EC 2=.
∵点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC ＞DE ≥BD ， ∴222DE BD EC +=.
∴2
22)2()2()2(MN FM NG +=.
∴222MN FM NG +=.
（第24题图2）
（图1）
（图2）
（图4）
（图3）
∴点M ，N 是线段FG 的勾股分割点. （3）用尺规画出图形，如图3所示.
（4）解：+AMF BEN MNHG S S S =△△四边形.
【解答】（1）解:当MN 为最大线段时，
∵点M ，N 是线段AB 的勾股分割点， ∴54922=-=-=
AM MN BN .
当BN 为最大线段时，
∵点M ，N 是线段AB 的勾股分割点， ∴134922=+=+=
AM MN BN .
综上，5=BN 或13.
（2）证明：
∵FG 是△ABC 的中位线，∴FG BC ∥. ∴
1===GC
AG NE AN MD AM . ∴点M ，N 分别是AD ，AE 的中点. ∴FM BD 2=，MN DE 2=，NG EC 2=.
∵点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC ＞DE ≥BD ， ∴222DE BD EC +=.
∴2
22)2()2()2(MN FM NG +=.
（第24题图3）
（第24题图2）
∴222MN FM NG +=. ∴点M ，N 是线段FG 的勾股分割点. （3）用尺规画出图形，如图3所示.
（4）解：+AMF BEN MNHG S S S =△△四边形.
理由：设a AM =，b BN =，c MN =， ∵H 是DN 的中点，∴c HN DH 2
1
=
=. ∵△MND ，△BNE 均为等边三角形， ∴︒=∠=∠60DNE D . ∵NHE DHG ∠=∠， ∴△DGH ≌△NEH .
∴b EN DG ==.∴b c MG -=. ∵GM EN ∥，∴△AGM ∽△AEN . ∴
c
a a
b b
c +=
-. ∴bc ac ab c +-=22.
∵点M ，N 是线段AB 的勾股分割点， ∴222b a c +=.
∴c a b b a )()(2
-=-，
又∵c a b ≠-.∴b a =.
（第24题图4）
（第24题图3）
在△DGH 和△CAF 中，C D ∠=∠，CA DG =，CAF DGH ∠=∠， ∴△DGH ≌△CAF . ∴DGH CAF S S =△△. ∵222b a c +=，∴
2224
34343b a c +=. ∴DMN ACM ENB S S S =+△△△.
∵DMN DGH MNHG S S S =+△△四边形，ACM CAF AMF S S S =+△△△， ∴+AMF BEN MNHG S S S =△△四边形.。