一道高中数学联赛题的启示

因 为 厂（） 。 １ ９ ７ ｆ 一ｔ＋ ９ ｔ在 （ 。， 。 ） 一ｏ ＋ 。 上 单 调 增 加 ， 厂（ 且 ｚ一 １ 一厂（ － ｙ ， 以 ， ） １ ）所 ｚ
一
次 项 的 一 元 三 次方 程 ｚ ＋户 。 ｚ＋ｇ ７若 能 转 一０ 化 ， 如何进行 ？ 应 将 形 如 口 。 ｂ Ｘ＋ ｄ一 ０（ ０ 的 ｚ ＋ ｘ ＋Ｃ 口≠ ） 三 次 方 程 化 为 十６ｚ ＋ｃｚ＋ 一 ０ 其 中 ｂ ，
＋ （ 户＋ １ ） ），
一
、而 ／ ／
一 了 ．
所 以 ， 们 的 猜 测 成 立 ， 际 上 ， 题 可 我 实 此
一
道 高 中 数 学 联 赛 题 的 启 示
杨 志 明 ห้องสมุดไป่ตู้（ 北 省 黄 石 二 中 湖 ４５０） ３ ０ ０
题 １ 设 ｚ， Ｙ为 实 数 ， 满 足 且
ｆ ｚ一 １ 。 １ ９ （ 一 １ 一 一 １， （ ）＋ ９ ７ ｚ ）
ｂ
— ， １
Ｃ ，
， １一
ｄ
‘
１ １ Ｙ， ｚ＋ ｖ ２ — 一 即 一 ．
一
元 三 次 方 程 的 解 法 不 是 高 中 所 学 知
令 ｚ— —ｆ代 入 上 式 得 ，
（ 一 ￡ 。 ｂ （ ） ＋ １ 一 ￡ ｃ （ ） ＋ １ 一 ￡ ＋ ｄ１ ０， ） —
ａ 。 ｘ＋ｃ ｘ ＋ｂ ｚ＋ｄ一 ０ 口 ０ ６ ０ 转 化 （ ≠ ，≠ ） 为 不 含 二 次 项 的 一 元 三 次 方 程 ， 须 作 一 个 只 变换 ： ｚ— 一 （ ≠ ０ ， 口 ） 得
题 ２是 题 １的 等 价 问 题 ， 自然 是 将 题 ２ 转 化 为 题 １去处 理 ． 问题 是 ： 没 有 题 １作 铺 若 垫 ， 能 否 想 到 应 将 题 ２转 化 为题 １去 解 决 你 呢 ？ 即 使 想 到 了 又 是 如 何 将 题 ２转 化 为 题 １
律 ， 究 规 律 ， 加 证 明 ， 是 数 学 研 究 的 一 研 再 这
种重要 的方法．
√（ ＋１（ ＋１＋２￣ｐ ｐ ） ｍ —） ｒ ） 户 ） ／ （＋１ ｍ（ ＋ｌ＋ ｐ — ａ
（ ＋１户 ） ＋２￣ ／
（令 ： Ｓ 一 （
Ｆ
＋
＋ｍ（ ＋１ 户 ） １ ） Ｐ ＋ ９
．
元 三 次 方 程 ． 题 ２的两 个 一 元 三 次 方 程 而
这是 １９ ９ ７年 全 国 高 中数 学 联 合 竞 赛 第 二 大 题 第 １小 题 ， 供 的参 考 答 案 是 ： 提
原 方 程 组 化 为
ｆ ｘ－ １ 。 １ ９ ７ ｘ－ １ 一 一 １， （ － ）＋ ９ （ － ）
（ ） Ａ ２
（ １ Ｂ）
（ ０ Ｃ）
（ ） １ Ｄ 一
解 ’ａ ＋ ６ １ ｎ ９ ０ ． 。 ａ＋ ３ ＋ — ， ’
令 一口 ＋ 一ｎ ＋２ 则 ｎ ， — 一 ２ ，
将 — 十 （ ≠ ０ 代 入 上式 ， ｎ ） 即得
特 征 ， 助 函数 的 单 调 性 ， 能 迎 刃 而 解 ． 借 则 本 题 的 解 答 就 是 采 用 了此 种 策 略 ．
若 将 题 １借 助 差 的 立 方 公 式 展 开 ， 即得 到 题 １的 等 价 问 题 ： 题 ２ 设 ｚ， Ｙ为 实 数 ， 满 足 且
ｆ 一 ３ 一２０ ０ ｚ。 ｘ ０ ｚ一 １ ９ ７ ０， ９ ＝
令 ￡ 一 ， 得
３一譬 ＋ ＋ ）（ （ Ｙ 一 令 一 一 譬
Ｙ ＋Ｐ ｙ＋ ｑ ０ 一 ．
， ’ Ｂ 口 得
ｌ 一３ ２０ ０ 。 ｙ ＋ ０ 一１ ９ ９ ９ ＝０ ， 则 ｚ＋ 一
这 说 明将 含 有 二 次 项 的一 元 三 次 方 程
则 是 含 有 二 次 项 的． 因而 上 述 两 个 问 题 变 更 为 ： 有 二 次 项 的 一 元 三 次 方 程 ａ 。 ｘ ＋ 含 ｘ ＋ｂ Ｃ Ｘ＋ 一 ０ 口 ０ ｂ ： ） 否 转 化 为 不 含 有 二 （ ≠ ，ｅ ０ 能
Ｉ１ （ 一 ）＋ １ ９ ７ １ 。 ９ （ 一 ） 一 １ 一 ．
的呢？
ｎ－ ） ６一 ） ｃ一 ） （ 去。 （ 刍 （ 老＋ ｙ ＋ ＋
维普资讯
・ ８・ ４
一 ０， 口 且
中学 数 学 月 刊
（ ） ．
２０ ０ ２年 第 １ ０期
丢 一
≠ ０ ． ）
嘉 ＿ｃｄ ０ ＿￣ （ ｂ ＝ｎ
识， 因此 ， 般 学 生 不 会 采 用 解 一 元 三 次 方 程 一 的 方 法 处 理 此 题 ． 注 意 观 察 这 两 个 方 程 的 若
即 Ｙ ＋ （ １ ３ ） （ｔ一 ２ １＋ ｃ） ＋ 。 ６ — ｔ ｙ ＋ ３ ｂｔ １
ｂ ｔ Ｄ ｃ ｆ ｆ 一 １ ０． ｉ ｌ— 。 ＝
维普资讯
２０ ０ ２年 第 １ ０期
（
一
中学 数 学 月 刊
・４ ７・
＋
进 一 步 做 实验 ， 得 到 更 一 般 的结 论 ． 能 我 们 可 以说 ， 学 其 实 也 是 一 门 实 验 性 数 很 强 的 学 科 ， 学 好 数 学 ， 不 能 忽 略 这 一 要 就 点 ， 且 在 数 学 的竞 赛 辅 导 活 动 中 要 更 加 重 而 视 实 验 的 教 学 ， 实 验 中 发 现 规 律 ， 结 规 从 总
要 回 答 这 两 个 问题 ， 得 回 头 观 察 这 两 还 道 题 的 条 件 有 何 特 征 ． 意 到 题 １的 两 个 一 注 元 三 次 方 程 通 过 换 元 ， 化 为 不 含 二 次 项 的 可
一
Ｉ 一 １ 。 １ ９ ７ 一 １ 一 １ （ ）＋ ９ （ ） ，
贝 ４ ｚ＋ 一