江苏省常州市2021届高三下学期学业水平监测期初联考数学试题

江苏省常州市2021届高三学业水平监测期初联考
数学试题
一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)
1. 已知集合{}
22230A x x ax a =+-=，{}
2
30B x x x =->，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为
（ ） A. {0}
B. {1,3}-
C. (,0)(3,)-∞⋃+∞
D. (,1)(3,)-∞-+∞
D
先求得集合(,0)(3,)B =-∞+∞，根据方程22230x ax a +-=，求得x a =或3x a =-， 分0a =，0a >和0a <三种情况，结合A B ⊆，列出不等式组，即可求解. 由不等式23(3)0x x x x -=->，解得0x <或3x >，即(,0)(3,)B =-∞+∞， 又由22(3)()230x x ax a a a x =+-+-=，解得x a =或3x a =-， 当0a =时，可得集合{}0A =，此时不满足A B ⊆； 当0a ≠时，可得集合{},3A a a =-，
若0a >，要使得A B ⊆，则满足30
3a a -<⎧⎨>⎩，解得3a >；
若0a <，要使得A B ⊆，则满足0
33
a a <⎧⎨
->⎩，解得1a <-，
综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞-+∞.故选：D.
2. i
对应的点的坐标为（ ）
A. (2
，12-) B. (
2，32-) C. (
2
，12-) D. (
2
，32-) A
把复数化为代数形式，可得对应点坐标．
1
2
i i i i ===-，对应点坐标为12⎫-⎪⎪⎝
⎭
．故选：
A ．
3. 已知a ，b ，c 是实数，则“a ≥b ”是“ac 2≥bc 2”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
B
根据不等式的性质及充分条件、必要条件求解. 因为a ≥b ⇒ac 2≥bc 2, 而ac 2≥bc 2
a ≥
b ，例如0
c ，
所以“a ≥b ”是“ac 2≥bc 2”的充分不必要条件，故选：B
4. 设函数2()ln f x a x bx =+，若函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，则函数
()y f x =的增区间为（ ）
A. (0，1)
B. (0，
2
) C. (
2
，+∞) D. (
2
，1) C
由()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，，得到(1)=1(1)=1f f '，，求出a 、b ，直接利用导数求出增区间.
2()ln f x a x bx =+的定义域为()0+∞，
，()2a
f x bx x
'=+ ∵函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，
∴()()
11121f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩解得：11b a =⎧⎨
=-⎩ ∴1
()2f x x x
'=-+
欲求()y f x =的增区间
只需()120f x x x +'=->，解得：2x >
即函数()y f x =的增区间为，+∞)故选：C
函数的单调性与导数的关系： 已知函数()f x 在某个区间内可导，
（1）如果()'f x >0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()'f x <0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；
（2）函数()y f x =在这个区间内单调递增，则有()0f x '≥；函数()y f x =在这个区间内单调递减，则有()0f x '≤；
5. 用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A. 3345
B. 4
345
C. 3
445
D. 4
445
A
求出所有涂色方法数为45，再求出在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同的方法数，可先从中间一个三角形涂色，然后再涂其他三个三角形． 5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为54，
有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为354⨯，
所以所求概率为33
4354455
P ⨯==．故选：A ．
6. 如果在一次实验中，测得(x ，y )的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y 对x 的线性回归方程是（ ） A. 0.15 4.05y x =+ B. 1.45y x =+ C. 1.05 1.15y x =+ D. 1.15 1.05y x =+
D
根据题中数据，求得,x y ，再代入公式，可求得,b a ，即可求得方程. 根据四组数据，可得1245 2.2+3.3+5.8+6.7
3,=4.544
x y +++=
==， 所以1
=1 2.2+2 3.3+4 5.8+5 6.7=65.5n
i i i x y =⨯⨯⨯⨯∑，22
1
222=1+2+4+5=46n
i i x =∑，
所以1
2
221
·
65.543 4.511.5
=
1.15464310
ˆn
i i
i n
i i x y nx y b
x nx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， 所以ˆ 4.5 1.153 1.05a y bx
=-=-⨯=， 所以回归直线方程为： 1.15 1.05y x =+.故选：D 7. 令202020202019201812320202021(1)x a x a x a x a x a +=+++++(x ∈R ) ，则23202022019a a a ++
+20212020a +=
（ ） A. 201920192⨯ B. 202020192⨯ C. 201920202⨯ D. 202020202⨯
C
运用二项式性质，然后两边求导即可. 由题知，12021a a =，22020a a =，
即 2022k k a a -=其中12021,k k Z ≤≤∈
所以202020202019201820212020201921(1)x a x a x a x a x a +=+++++
对上式左右两边求导得
2019201920182017202120202019322020(1)2020201920182x a x a x a x a x a +=++++
再令1x =得
23202022019a a a ++
+20192021202020202a +=⨯故选：C
8. 函数()Asin(2)f x x kx b ϕ=+++，A >0，ϕ>0，k ，b ∈R ，则函数()f x 在区间(﹣π，π)上的零点最多有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
B
根据函数零点可转化为两个函数图象交点，画出函数大致图象即可求解. 由()sin(2)0f x A x kx b ϕ=+++=，可得sin(2)A x kx b ϕ+=--， sin(2)y A x ϕ=+的周期22
T π
π==， 故sin(2)
y A x ϕ=+区间(﹣π，π)上恰好2个周期，
作出sin(2)y A x ϕ=+与y kx b =--函数的大致图象如图，
由图象可知，最多有5个交点，故函数()f x 在区间(﹣π，π)上的零点最多有5个.故选：B 关键点点睛：函数的零点问题可转化为方程的根的问题，也可转化为两个函数图象交点的问题，本题转化为函数图象交点问题，作出大致图象可判断交点个数.
二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9. 已知a ，b 是平面上夹角为3
π
的两个单位向量，c 在该平面上，且(a ﹣c )·
(b ﹣c )=0，则下列结论中正确的有（ ） A. 1a b += B. 1a b -=
C. 3c <
D. a b +，c 的夹角是钝角
BC
在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，3
AOB π
∠=
，作OC c =，则可得出C 点在以AB
为直径的圆上，这样可判断各选项，特别是CD ． 由向量加法和减法法则判断AB ． 如图，OA a =，OB b =，1OA OB ==，3
AOB π
∠=
，则1AB OA ==，即1a b -=，B 正确；
OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．AB 中点是M ，
则23a b OM +==，A 错；
c OC =的最大值为31322
OM MC +=+<，C 正确；
a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．D 错误．故选：BC ．
思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，
OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．本题也可以放到平面直角坐标系中用坐标解决．
10. 已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布()110,81N ，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量ξ服从正态分布()2
,N μσ，
则()220.9545P μσξμσ-<<+=）（ ）
A. 该校学生成绩的期望为110
B. 该校学生成绩的标准差为9
C. 该校学生成绩的标准差为81
D. 该校学生成绩及格率超过95%
ABD
根据正态分布的数字特征可判断ABC 选项的正误，计算出()900.97725P ξ≥>，可判断D 选项的正误.
因为该校学生的成绩服从正态分布()110,81N ，则110μ=，方差为281σ=，标准差为9σ=，
21102992μσ-=-⨯=，
()()()()11
909222222
P P P P ξξξμσμσξμσ≥>≥=≥-=+-<<+11
0.95450.977250.9522
=
+⨯=>. 所以，该校学生成绩的期望为110，该校学生成绩的标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%. 所以，ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD.
11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论中正确的有（ ） A. 821a =
B. 732S =
C. 135212n n a a a a a -++++=
D.
222
122021
20222021
a a a a a +++= ACD
根据斐波那契数列的递推关系21n n n a a a ++=+进行判断．
由题意斐波那契数列前面8项依次为1,1,2,3,5,8,13,21，8721,1123581333a S ==++++++=，A 正确，B 错误；
22122212324212332212331n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ---------=+=++=
=++
++=++
++，C
正确；
2222
2212121222121222122222321222223()()n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ---------------=+=+=++=++22222
22
221223322122321n n n n a a a a a a a a a a ----=++
++=++
+++，1011n =时，得
2021
222
1220212022
a a a a a +++=，D 正确．故选：ACD ．
关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是正确理解新数列，根据新定义，斐波那契数列满足递推关系21n n n a a a ++=+，对于数列前面有限的项或前项的和可以直接求出项，计算，对于一般的结论只能利用这个递推关系判断．
12. 设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数a 满足[﹣a ，a ]⊆D ，且对任意的1x ∈[﹣a ，a ]，总存在2x ∈[﹣a ，a ]，使得12()()1f x f x ⋅-=，称函数()f x 为P (a )函数，则下列结论中正确的有（ ）
A. 函数()3x f x =是(1)P 函数
B. 函数3()f x x =是(2)P 函数
C. 若函数12()log ()f x x t =+是(2)P 函数，则t =4
D. 若函数()tan f x x b =+是
P (4
π
)函数，则b = AD
根据题中所给定义，结合条件，逐一检验各个选项，分析整理，即可得答案. 对于A ：()3x f x =，定义域为R ，当1a =时，有[1,1]R -∈，
对任意1[1,1]x ∈-，11()3x
f x =，
因为1[1,1]x ∈-，存在21[1,1]x x =∈-，使1
1
01211()()()()3331x x f x f x f x f x -⋅-=⋅-=⋅==，
所以函数()3x f x =是(1)P 函数，故A 正确；
对于B ：3()f x x =，定义域为R ，当2a =时，有[2,2]R -∈， 当10x =时，1()0f x =，
所以不存在2[2,2]x ∈-，使得12()()1f x f x ⋅-=，此时12()()0f x f x ⋅-=，故B 错误； 对于C ：当t =4时，12()log (4)f x x =+，定义域为(4,)-+∞，2a =， 因为12[2,2],[2,2]x x ∈-∈-，则2[2,2]x -∈-， 所以4[2,6]x +∈，
又12()log (4)f x x =+为增函数， 所以1212()[log 2,log 6]f x ∈，
又因为121212log 6log 121,log 20<=>，所以()(0,1)f x ∈， 所以12()(0,1),()(0,1)f x f x ∈-∈，
所以12()()(0,1)f x f x ⋅-∈，即12()()1f x f x ⋅-≠，故C 错误； 对于D ：当 44
x ππ
-
≤≤时，1tan 1x -≤≤， 所以()[1,1]f x b b ∈-+，
因为函数()tan f x x b =+是P (4
π
)函数，
所以对任意1[,]44x ππ∈，总存在2[,]44
x ππ
∈使12()()1f x f x ⋅-=，
又2
[,]44x ππ-∈，当21x x =时，11()()1f x f x ⋅-=，
当14
x π
=
时，有(1)(1)1b b -+=，解得b =，故D 正确.故选：AD
解题的关键是掌握P (a )函数的定义，并根据选项所给条件，结合各个函数的性质，进行分析和判断，综合性较强，属中档题.
三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
13. 圆柱上､下底面的圆周都在一个体积为5003
π
的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为___________. 80π
作出圆柱的轴截面，求出圆柱的高，即可得表面积． 如图ABCD 是圆柱的轴截面，其外接圆O 是球的大圆，
由3450033
R ππ=得5R =，10BD =，又8AB =，∴6AD =， ∴圆柱表面积为22424680S πππ=⨯+⨯⨯=． 故答案为：80π．
14. 函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-的最小正周期T =___________.
2
π 由题可得()2f x f x π⎛⎫+= ⎪
⎝⎭，可判断()f x 是以2π为周期的函数，再讨论()f x 在0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
和,42x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的单调性可得出结论. ()sin cos sin cos 22222f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
cos sin cos sin x x x x =-++ sin cos sin cos ()x x x x f x =++-=，
()f x ∴是以
2
π
为周期的函数， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()sin cos cos sin 2cos f x x x x x x =++-=，函数单调递减，
当,42x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()sin cos sin cos 2sin f x x x x x x =++-=，函数单调递增，
∴在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦内不存在小于2π的周期，2π∴是()f x 的最小正周期.
故答案为：
2
π
.
本题考查三角函数周期的求解，解题的关键是先判断出2
π
是函数的周期，再根据其性质探讨其为最小正周期.
15. 已知椭圆C 1：
22
11x y m m
+=+的右焦点F 也是抛物线C 2：y 2=nx 的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F 的距离为5
3
，则实数n =___________，椭圆C 1的离心率e =___________.
(1). 4 (2).
12
依题意可得椭圆与抛物线的焦点为()1,0F ，根据抛物线的定义即可求出n ，再设椭圆与抛物线在第一象限的交点为(),A x y ，由抛物线的定义求出A 的坐标，最后代入椭圆方程，求出参数m ，即可求出椭圆离心率；
解：椭圆C 1：2211x y m m +=+，所以右焦点()1,0F ，又()1,0F 也为2
2:C y nx =的焦点，所以14
n =，
所以4n =，即抛物线2
2:4C y x =，则抛物线的准线为1x =-，设椭圆与抛物线在第一象限的
交点为(),A x y ，则513x +=
，所以23
x =，又点A 在22:4C y x =上，所以2
243y =⨯，解得26y =，所以2263A ⎛ ⎝⎭，所以2
2
262311m m
⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+，解得3m =或89m =-（舍去） 所以椭圆方程为22
143
x y +=，所以24a =，23b =，2221c a b =-=，所以离心率12c e a ==
故答案为：4；1
2
16. 已知函数21
()ln 245
f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是
___________.
111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
利用()f x 的图象关于直线2x =对称，且在2x >时为减函数，可解不等式．
2
1()ln 2(2)1f x x x =
---+， 21(2)ln 1f t t t -=-+，21
(2)ln (2)f t t f t t
+=-=-，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，
2x >时，2
1
()ln(2)(2)1
f x x x =
---+ 设122x x <<，则22
120(2)1(2)1x x <-+<-+，
221211
(2)1(2)1
x x >-+-+，
12022x x <-<-，12ln(2)ln(2)x x -<-，
所以1
2221211
ln(1)ln(1)(2)1(2)1
x x x x -->---+-+，即12()()f x f x > 即()f x 是减函数，所以2x <时函数为增函数，
因此由(21)(2)f t f t +>+得21222
21222
t t t t ⎧+-<+-⎪+≠⎨⎪+≠⎩，解得113t <<且1
2t ≠．．
故答案为：111,,1322⎛⎫⎛⎫
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
思路点睛：本题考查函数的对称性与单调性，利用对称性、单调性不等式，求解方法类似于二次函数：对开口向上的抛物线，离对称轴越近，函数值越小，开口向下的抛物线，离对称轴越近，函数值越大．
四､解答题(本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
17. 设等比数列{}n a 的公比为q (q ≠1)，前n 项和为n S . （1）若11a =，6398
S S =，求3a 的值；
（2）若q >1，2
15
2
m m m a a a +++=，且29m m S S =，m N *∈，求m 的值. （1）14
；（2）3m =.
（1）由已知根据等比数列的求和公式得()3
631S q S =+，可求得公比1
2
q =
，由此可求得3a 的值；.
（2）由已知和等比数列的通项公式得2
510,2
q q -+=可求得公比 2.q =代入可求得m 的值.
解：（1）()3333
612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+，
()()
6333339.811S S S q S q =∴+=
+解得12q =，所以2311
4
a a q ==. （2）22155
++,22m m m m m m a a a a a q a q ++=
∴=得2510,2
q q -+=因为1q >，所以 2.q = 由(
)()211
212129,
9,12
12
m
m
m m a a S S --==⨯--又1
0,a
≠所以()212912m m -=-，
即()()()
1212912,m m m
-+=-因为*,m N ∈则120,m -≠所以129m +=，解得3m =.
关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，关键在于准确地运用相应的公式，建立方程或方程组，求解得答案.
18. 已知ABC 中，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2223332b c a bc +=+. （1）求sin A 的值；
（2）若sin 2sin B C =，求tan C 的值. （1
）
3；（2
）
5
. （1）根据题设条件，利用余弦定理，求得1
cos 3
A =，进而求得sin A 的值；
（2）由(
)12sin sin sin sin 33C B A C C C ==+=+
，得到sin cos 5
C C =，进而求得tan C 的值.
（1）在ABC 中，因为2223332b c a bc +=+，即222
23
b c a bc +-=
由余弦定理可得2221
cos 23
b c a A bc +-=
=，
因为()0,A π∈
，所以sin 3
A ===
. （2）在ABC 中，可得()
B A
C π=-+，可得 sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+， 由(
)1
2sin sin sin sin cos cos sin cos sin 33
C B A C A C A C C C ==+=+=
+，
可得sin 5
C C =
， 又由sin 2sin B C =，则sin 1C ≠，则cos 0C ≠
，所以sin tan cos 5
C C C =
=
. 19. 已知某射手射中固定靶的概率为3
4
，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分
别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.
（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率； （2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.
（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：41
12
.
（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解； （2）随机变量X
的
可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算
公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. （1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ， 则()34P A =
，()()2
3
P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立， 从而()
()()()
322114336
P ABC P A P B P C ⎛⎫==
⨯-= ⎪⎝⎭， 则()(
)()()
1
3
P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=，
所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为1
3
.
（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，
则()()()()()
3221
011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
()()()()()
3111
143312
P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，
1211121
(2)()()()()()()()4334339
P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，
()()()()()()()
()3213121
34334333
P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=
()()()
()()1221
44339
P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,
3221
(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,
该射手的总得分X 的分布列为
随机变量X 的数学期望()11111141012345.3612939312
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 1、理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 2、求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；
4、若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是矩形，2AB AP BC ==，平面 PAB ⊥平面ABCD ，二面角P BC A --的大小为45.
（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（2）求直线PB 与平面PAC 所成的角的正弦值. （1）证明见解析；（2）
10
10
. （1）利用面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面PAB ，可得出BC PA ⊥，推导出PAC △为等腰直角三角形，可得出PA AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得PA ⊥平面ABCD ； （2）在底面ABCD 内，过点B 作BH AC ⊥，垂足为H ，连接PH ，设BC a =，推导出BPH ∠为直线PB 与平面PAC 所成角，计算出BH 、PB ，进而可计算得出sin BPH ∠. （1）四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥，
又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，BC ⊂平面.ABCD 所以BC ⊥平面PAB ，
又因为AB 、PA 、PB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥，BC PA ⊥，BC PB ⊥， 从而PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，
因为二面角P BC A --的大小为45，所以45PBA ∠=，
在PAB △中，AB PA =，所以45BPA PBA ∠∠==，所以90PBA ∠=， 即AB AP ⊥，
又因为BC PA ⊥，AB BC B ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ；
（2）在底面ABCD 内，过点B 作BH AC ⊥，垂足为H ，连接PH ，
由（1）知PA ⊥平面ABCD ，又BH ⊂平面ABCD ，所以PA BH ⊥， 又因为BH AC ⊥，PA
AC A =，所以BH ⊥平面PAC ，
从而BPH ∠为直线PB 与平面PAC 所成角，
设BC a =，则2AB AP a ==，225AC AB BC a =+=，
所以，5
BA BC BH AC ⋅=
=222PB PA AB a =+=， 所以直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为105sin 10
22BH BPH PB a ∠===.
方法点睛：求直线与平面所成角的方法：
（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念； ③求，利用解三角形的知识求角； （2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB n
θ⋅=<>=
⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，
θ为斜线AB 与平面α所成的角）.
21. 已知函数()ln b
f x x a x x
=-+，a ，b ∈R .
（1）若a >0，b >0，且1是函数()f x 的极值点，求12
a b
+的最小值；
（2）若b =a +1，且存在0x ∈[1
e
，1]，使0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.
（1）最小值3+（2）()
21
1e a e e +<-
+. （1）由1是函数()f x 的极值点得1a b +=，对12
a b +用基本不等式中“1的代换”求最值；
（2）把“存在0x ∈[1e ，1]，使0
()0f x <成立”转化为函数()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值小于0，利用导数讨论单调性，找到最小值，解出a 的范围即可. 解：（1）()2
1,a b
f x x x =-
-'因为1是函数()f x 的极值点，所以 ()110,f a b '=--=即 1.a b +=此时
()()()()2
22222111x b x b x x b a b x ax b f x x x x x x
----+--=--=='= 当()01,0;x f x '<<<当()1,0,x f x >'>所以函数()f x 在1x =处取极小值.
所以()121223b a a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭因为0,0a b >>，
所以
2b a a b +≥=(当且仅当21a b =-=时等号成立)
此时
12
a b
+有最小值3+（2）当1b a =+时，()1
ln a f x x a x x
+=-+
， 存在01,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使()00f x <成立，即函数()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值小于0.
()()()221111(0)x x a a a f x x x x x
⎡⎤+-'++⎣⎦=-==>
①当11,a +≥即0a ≥时，() f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，
所以()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为()11120f a a =++=+<，
所以2a <-，不符，舍去；
②当1
1,a e
+≤即11a
e 时，()
f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 所以()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的
最小值为()()111110,f a e a e a e e e
e ⎛⎫=+++=+++< ⎪⎝⎭
所以()211e a e e +<-+，又1
1,a e ≤-所以()
211e a e e +<-+；
（3）当111a e <+<时，即1
10a e
-<<时，
()f x 在1,1a e ⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,1a +上单调递减，
所以()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为
()()()111ln 11ln 12f a a a a a a ⎡⎤+=++-+=-++⎣⎦
因为1
11,a e
<+<所以()1ln 10,a -<+<所以()11ln 12a <-+<
所以()1ln 12a a a a ⎡⎤>-+>⎣⎦，
所以()()11ln 12220,f a a a a ⎡⎤+=-++>+>⎣⎦不符，舍去，
综上可得，a 的取值范围是()
21
1e a e e +<-
+. （1）导数为零，并且两侧导数一正一负的点为极值点；导数为零，但是两侧导数符号相同的
点不是极值点.
（2）研究含参数的函数的单调性要注意：①讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；②利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；③在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；④在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨
22. 已知等轴双曲线C ：22
221x y a b
-=(a >0，b >0)经过点
，12).
（1）求双曲线C
标准方程； （2）已知点
B (0，1).
①过原点且斜率为k 的直线与双曲线C 交于E ，F 两点，求∠EBF 最小时k 的值；
②点A 是C 上一定点，过点B 的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，AP AQ k k +为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值.
（1）221x y -=；（2）①0k =；②)
,A
λ=或者(
)
,A λ=.
（1）由题意a b =，代入已知点建立方程，解之可得双曲线C 的标准方程.
（2）①由对称性可设()(),,,E x y F x y --，且1≥x ，运用向量数量积的坐标运算表示
221BE BF x y ⋅=--+，又由221y x =-可得(
)
2
210BE BF x ⋅=-≤，由此可得EBF ∠最小时，k
的值.
②设(),,A m n 过点B 的动直线为： 1.y tx =+设()()1122,,,,P x y Q x y 与双曲线的方程联立得
()2
2
1220t x
tx ---=，根据根的判别式和根与系数的关系可求得22t <且21t ≠，由直线的斜率
公式得
121211tx n tx n
x m x m
λ+-+-+=--，再由恒等式的思想可求得点A 的坐标及实数λ的值. 解：（1）由题意a b =，且2251
441a b -=解得1a b ==，
所以双曲线C 的标准方程为22 1.x y -=
（2）①由对称性可设()(),,,E x y F x y --，且1≥x ，则
()()22,1,11BE BF x y x y x y ⋅=-⋅---=--+，
因为E 点在双曲线C 上，所以221x y -=，所以221y x =-，所以()
2
210BE BF x ⋅=-≤，
当1x =时，0,BE BF EBF ∠⋅=为直角， 当1x >吋，0,BE BF EBF ∠⋅<为钝角. 因此，EBF ∠最小时，1,0x k ==. ②设(),,A m n 过点B 的动直线为： 1.y tx =+
设()()1122,,,,P x y Q x y 联立2211
x y y tx ⎧-=⎨=+⎩得()22
1220t x tx ---=，
所以()
222
122122
10Δ48102 121t t t t x x t x x t ⎧-≠⎪=+->⎪⎪
-⎨+=-⎪-⎪
⎪=--⎩
，由210t -≠且Δ0>，解得22t <且21t ≠，
AP AQ k k λ+=，即
1212,y n y n x m x m λ--+=--即121211tx n tx n
x m x m
λ+-+-+=--， 化简得()()()2
121221220t x x mt n m x x m mn m λλλ-+-+-++-+-=，
所以()
()222
222122011t
t mt n m m mn m t t
λλλ--+-+-+-+-=--， 化简得()
()222
2212220m mn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=，
由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，
所以222010
2220m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪
--=⎨⎪-+-=⎩
21
如果0,m =那么1,n =-此时()0,1A -不在双曲线C 上，舍去. 因此0,m ≠从而22,m n =代入21m n =+
解得1,n m ==.
此时()A 在双曲线C 上.
综上，
),A λ=
或者(
)
,A λ=.。