【全国市级联考word】湖北省黄冈市2017届高三3月份质量检测理数试题

1
黄冈市2017年高三年级3月份质量检测
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}2log 4A x x =≤，集合{}
2B x x =≤，则A B = （ ） A.(]0 2，
B.[]0 2，
C.[]2 2-，
D.()2 2-，
2.设复数12 z z ，在复平面内的对应点关于虚轴对称，若112z i =-，i 是虚数单位，则
2
1
z z 的虚部为（ ） A.4
5
-
B.
45
C.3
5
-
D.35
3.下列四个结论：
①若0x >，则sin x x >恒成立；
②命题“若sin 0x x -=，则0x =”的逆否命题为“若0x ≠，则sin 0x x -≠”； ③“命题p q ∧为真”是“命题p q ∨为真”的充分不必要条件； ④命题“ ln 0x R x x ∀∈->，
”的否定是“000 ln 0x x x ∃∈-<，”. 其中正确结论的个数是（ ） A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.《孙子算经》中有道算术题：“今有百鹿人城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；再每3户共分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如下，则输出的值是（ ）
A.74
B.75
C.76
D.77
2
5.某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A.13π
B.16π
C.25π
D.27π
6.已知2sin 1cos θθ=-，则tan θ=（ ）
A.4
3
-或0
B.
4
3
或0
C.4
3
-
D.
43
7.已知双曲线2
2
13y x -=的左、右焦点分别为12 F F ，
，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使21
12
sin sin PF F e PF F ∠=∠，则221F P F F ⋅ 的值为（ ）
A.3
B.2
C.3-
D.2-
8.函数22
ln x x y x
=的图象大致是（ ）
A
B
C
D
9.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使APB △的最大边是AB ”发生的概率恰好为3
5，则
AD
AB
=（ ） A.15
B.
25
C.35
D.
45
10.已知()
()()()()
()2017
2
2016
2017
01220162017121111x a a x a x a x a x x R -=+-+-++-+-∈…，则
12342016201723420162017a a a a a a -+-+-+=…（ ）
3
A.2017
B.4034
C.4034-
D.0
11.如图，矩形ABCD 中，24AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻转成1A DE △，构成四棱锥1A BCDE -，若M 为线段1A C 的中点，在翻转过程中有如下4个命题：①M B ∥平面1A DE ；②存在某个位置，使1DE AC ⊥；③存在某个位置，使1A D CE ⊥；④点1A 在半径为2的圆周上运动，其中正确的命题个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.已知函数()()()()22
1128122x x x f x e x x x -⎧--≤⎪=⎨-+->⎪⎩
，如在区间()1 +∞，上存在()2n n ≥个不同的数123 n x x x x ，，，…，，使得比值
()()()121
2
n n
f x f x f x x x x =
=…=
成立，则n 的取值集合是（ ）
A.{}2 3 4 5，，，
B.{}2 3，
C.{}2 3 5，，
D.{}2 3 4，，
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知两个平面向量 a b ，
满足1a = ，221a b -=
，且a 与b 的夹角为120︒，则b = ． 14.当实数 x y ，满足不等式组：0
22x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩时，恒有3ax y +≤成立，则实数a 的取值范围是 ． 15.如图，在ABC △中，1
cos 3
ABC ∠=，2AB =，点D 在线段AC 上，且2A D D C =，433BD =，则ABC
△的面积为 ．
4
16.设0a <，()
()220172016x a x b ++在() a b ，上恒成立，则b a -的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.数列{}n a 中，12a =，()*11
2n n n a a n N n
++=
∈. （1）证明数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）设4n
n n
a b n a =-，若数列{}n b 的前n 项和是n T ，求证：2n T <.
18.在如图所示的几何体中，平面ADNM ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，3
DAB π
∠=
，
2AB =，1AM =，E 是AB 中点
.
（1）求证：平面D EM ⊥平面ABM ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为4
π
？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由.
19.已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA 来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验.
（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.
（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？
20.如图，圆C 与x 轴相切于点()2 0T ，，与y 轴正半轴相交于两点 M N ，（点M 在点N 的下方），且
3MN =.
5
（1）求圆C 的方程；
（2）过点M 任作一条直线与椭圆22
184
x y +=相交于两点 A B ，
，连接AN 、BN ，求证：ANM BNM ∠=∠. 21.已知函数()()2ln 2
a
f x x x x a R =-∈.
（1）若0x >，恒有()f x x ≤成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()g x f x x =-有两个极值点12 x x ，，求证：
12
11
2ln ln ae x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为
2cos 4sin 0ρθθ-=，P 点的极坐标为 3 2
π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，斜率为3. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于 A B ，
两点，求11
PA PB
+的值. 23.已知函数()()221f x x a x a R =-+-∈. （1）当1a =-时，求()2f x ≤的解集；
（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1 12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，，求实数a 的取值范围.
6
黄冈市2017年三月高三年级调研考试
数学(理科)参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A
A
C
B
C
A
B
D
C
C
C
B
13、 2 14、(,3]-∞ 15. 22 16. 2017．
17.【解析】(Ⅰ)由题设
1112n n a a n n +=⨯+，数列{}n a n
是首项为2，公比1
2q =的等比数列 ………………4分 所以1212()22n n n a n --=⨯=，242
2
n
n n n a n -=⨯= (Ⅱ) 4124421
42n n n n
n n
n a b n n a n ===---，注意对任意*n N ∈，1212n n --≥ 所以11
2
n n b -≤
所以23111111
12(1)222222
n n n T -≤+++++=-<
18.【解析】(Ⅰ)连结BD ，由四边形ABCD 是菱形，3
DAB π
∠=
，E 是AB 的中点. 所以DE AB ⊥，
因为四边形ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD 且交线为AD 所以MA ⊥平面ABCD ，又DE
平面ABCD ，所以DE AM ⊥
又AM AB A = ，所以DE ⊥平面ABM ；
又DE ⊂平面DEM ，所以平面DEM ⊥平面ABM ； (Ⅱ)方法1：由DE AB ⊥，//AB CD ，故DE CD ⊥，
因为四边形ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD 且交线为AD ，ND AD ⊥，所以ND ⊥平面
ABCD ；以D 为原点，DE 为x 轴建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)D ，(3,0,0)E ，(0,2,0)C ，
(0,0,1)N ，设(3,1,)P m -（01M ≤≤）
(3,2,0)EC =- ，(0,1,)EP m =- ，ND ⊥平面ABCD ，平面ECD 的法向量为(0,0,1)DN =
设平面PEC 的法向量为，(,,)n x y z = ，0n EC n EP ∙=∙= ，即3200
x y y mz ⎧-+=⎪
⎨-+=⎪⎩，
取1z =，2(,,1)3
m
n m = ，
7
假设在线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为
4
π． 则2
2121
cos ||47
||||
413
n DN
m n DN m m π∙==⇒=
∙++
，所以点P 在线段AM 上，符合题意的点P 存在，此时21
7
AP =
．
(Ⅱ) 方法2：如图所示，假设在线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为4
π． 延长,DA CE 交于点Q 则2AQ =,过A 作AH EQ ⊥于H ,连结PH ． 因为四边形ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，
所以MA ⊥平面ABCD ，又EQ 在平面ABCD 内，所以MA EQ ⊥．又MA AH A = , 所以PH EQ ⊥，PHA ∠是二面角P EC D --的平面角， 由题意4
PHA π
∠=
，在QAE ∆中，1,2AE AQ ==,
2222212212cos 7733
QAE QE QE ππ∠=
⇒=+-⨯⨯=⇒=. 由面积公式可得11212sin 223QAE S QE AH π∆=
⨯=⨯⨯，所以321
77
AH == 在Rt PAH ∆中，4
PHA π
∠=
，21
17
PA AH AM ==
<=， 所以点P 在线段AM 上，符合题意的点P 存在，此时21
7
AP =
．
8
19、【答案】（1）
13；（2）分布列见解析，77
3
；试题解析：（1）方案乙所需化验恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA ,再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概
率为35316311
6
C C C ⨯=,第二种,先化验一组，结果含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰第一个样品
含有病毒的概率为25316311
6
C C C ⨯=.
所以依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为
111
663
+=……………5分 （2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费用为η元,则
1(1)(10)6P P ξη====，511
(2)(18)656P P ξη====⨯=，
5411(3)(24)6546P P ξη====⨯⨯=，54311
(4)(30)65436P P ξη====⨯⨯⨯=，
54321
(5)(36)65433
P P ξη====⨯⨯⨯=
则其化验费用η的分布列为
所以11111771018243036666
633
E η=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 所以甲方案平均需要化验费77
3
元………12分
考点：1、离散型随机变量及其分布列；2、离散型随机变量的期望与方差． 20．（Ⅰ）设圆C 的半径为(0)r r >， 依题意，圆心坐标为(2,)r ． ∵||3MN =，∴2
223
()22
r =+，解得2
254
r =
．
9
圆C 的方程为2
2
5
25(2)()2
4
x y -+-=
． （Ⅱ）把0x =代入方程2
2525(2)()24
x y -+-=，解得1y =或4y =，
即点(0,1)M ，(0,4)N ．
（1）当AB x ⊥轴时，可知0ANM BNM ∠=∠=．
（2）当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为1y kx =+．
联立方程22
1
28
y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得，22(12)460k x kx ++-=． 设直线AB 交椭圆Γ于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则122
412k
x x k
-+=+，122
6
12x x k
-=
+． ∴12121212121212
443323()
AN BN y y kx kx kx x x x k k x x x x x x -----++=
+=+=
若0AN BN k k +=，即ANM BNM ∠=∠
∵121222
121223()01212k k
kx x x x k k
---+=
-=++，∴ANM BNM ∠=∠． 21. （1）由0x >，恒有()f x x ≤成立，即ln 12a x x -≤，
ln 12
x a
x -≤对任意0x >成立, 记ln 1()x H x x -=，2
2ln ()x
H x x -=，
当2'(0,),()0x e H x ∈>，()H x 单增；当2'(,),()0x e H x ∈+∞<，
()H x 单减；()H x 最大值为2
2
1
()H e e =， 所以
2212,2a a e e
≥≥ （2）函数()()g x f x x =-有两个相异的极值点12,x x ，即'()ln 0g x x ax =-=有两个不同的实数根． ①当0a ≤时， '()g x 单调递增， '
()0g x =不可能有两个不同的实根；
②当0a >时，设()ln h x x ax =-，'
1()ax
h x x
-=
， 当10x a
<<时，'
()0h x >，()h x 单调递增； 当1x a >
时，'
()0h x <，()h x 单调递减； ∴1()ln 10h a a =-->，∴10a e
<<，
不妨设210x x >>，∵''12()()0g x g x ==，
1
∴22ln 0x ax -=，11ln 0x ax -=，2121ln ln ()x x a x x -=-，
先证12112ln ln x x +>，即证21212112ln ln 2x x x x x x x x -+<-，即证2
222121
11212
1ln ()22x x x x x x x x x x -<=-，
令2
1
1x t x =
>，即证11ln ()2t t t <-，设11()ln ()2t t t t ϕ=--，
则22
'
22
21(1)()022t t t t t t
ϕ----==<，函数()t ϕ在(1,)+∞单调递减， ∴()(1)0t ϕϕ<=，∴
12
11
2ln ln x x +>，又10a e <<，∴1ae <，
∴
12
11
2ln ln ae x x +> 考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数的综合应用． 22. 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2
4x y =，
P 点的极坐标为：(3,)2
P π
，化为直角坐标为(0,3)P
直线l 的参数方程为cos 3
3sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即12332
x t y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)
（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得2
112234
t t =+， 整理得：2
83480t t --=，
显然有0∆>，则1248t t =-，1283t t +=，
1212||||||||||48PA PB t t t t ===，212121212||||||||||()486PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-=，
所以
11||||6
||||||||6
PA PB PA PB PA PB ++==
23.（1）当1a =-时，()|21||21|f x x x =++-，11
()2||||122
f x x x ≤⇒+
+-≤， 上述不等式化为数轴上点x 到两点12-，12距离之和小于等于1， 则11
22
x -≤≤，
1即原不等式的解集为11
[,]22
-
（2）∵()|21|f x x ≤+的解集包含1[,1]2
，∴当1[,1]2
x ∈时，不等式()|21|f x x ≤+恒成立， 即在1[,1]2
x ∈上恒成立，∴|2|2121x a x x -+-≤+， 即|2|2x a -≤，∴2222x a x -≤≤+在1[,1]2
x ∈上恒成立， ∴max min (22)(22)x a x -≤≤+，∴03a ≤≤.
1
1
1
1
1
1黄冈市2017年三月高三年级调研考试
数学(理科)参考答案
题号 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 答案 A
A
C
B
C
A
B
D
C
C
C
B
13、 2 14、 15. 16. 2017．
17.【解析】(Ⅰ)由题设，数列是首项为，公比的等比数列 ………………4分
所以 ……………6分
(Ⅱ) ，注意对任意，
所以 ……………………………8分
所以 …………12分
18.【解析】(Ⅰ)连结BD ，由四边形是菱形，，是的中点. 所以DE ⊥
AB ， …………………………2分 因为四边形是矩形，平面⊥平面且交线为AD
所以
平面
，又DE
平面
，所以DE ⊥AM ………………………4分
又AM ∩AB=A ，所以DE ⊥平面ABM ；又DE
平面DEM ，所以平面DEM ⊥平面ABM ；……………………6分
(Ⅱ)方法1：由DE ⊥AB ，AB//CD ，故DE ⊥CD ，因为四边形是矩形，平面
⊥平面
且
交线为AD ，ND ⊥AD ，所以ND ⊥平面；以D 为原点，DE 为X 轴建立如图所示的坐标系，则D （0，0，
0），E （
，0，0），C （0，2，0），N （0，0，1），设P （
，-1，m ）（
）
，
,ND ⊥平面
，平面ECD 的法向量为
，。

8
分
1
设平面PEC 的法向量为，，，即，取
z=1,
,。

10分
假设在线段上存在点，使二面角的大小为
．则
所以点在线段上，符合题意的点存在，此
时． …………………………12分
(Ⅱ) 方法2：如图所示，假设在线段
上存在点
，使二面角
的大小为
．
延长交于点则,过作于,连结．
因为四边形是矩形，平面
⊥平面
，
所以平面
，又在平面内，所以．又,
所以
，
是二面角的平面角， ……………………………………8分
由题意，在中，,
1
.
由面积公式可得，所以.。

10分
在中，，,
所以点在线段上，符合题意的点存在，此时． …………………………12分
19、【答案】（1）；（2）分布列见解析，；试题解析：（1）方案乙所需化验恰好为次的事
件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒,再从另一组中任取一个样品进行化验，则
恰含有病毒的概率为
,第二种,先化验一组，结果含病毒
，再从中逐个化验，恰第一
个样品含有病毒的概率为.
所以依据方案乙所需化验恰好为次的概率为……………5分
（2）设方案甲化验的次数为，则可能的取值为,对应的化验费用为元,则
,
,
2
………………9分
则其化验费用的分布列为
所以（元）.
所以甲方案平均需要化验费元………12分
考点：1、离散型随机变量及其分布列；2、离散型随机变量的期望与方差．
20．（Ⅰ）设圆
的半径为
，
依题意，圆心坐标为
．
，解得．
圆的方程为．（4分）
（Ⅱ）把代入方程，解得或，
即点，．
（1）当 轴时，可知
．（5分）
（2）当
与x 轴不垂直时，可设直线
的方程为
．
联立方程，消去得，．
设直线交椭圆于、两点，则， ．（7分）
2
若，即（9分）
，．（12分）
21. （1）由x>0,恒有
成立，即对任意x>0成立，………1分 记H （x ）=, H /（x ）=，………………2分 当H(x)单增；当H(x)单减；H （x ）最大值为， 所以……………5分
（2）函数有两个相异的极值点，即有两个不同的实数根． ①当时，单调递增，不可能有两个不同的实根；……………6分 ②当时，设， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； ∴，∴，……………8分 不妨设，∵， ∴ 先证，即证，即证， 令，即证，设，…………9分
2
则，函数在单调递减，∴
，∴，又，∴， ∴……………12分
考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数的综合应用．
22. 解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，…………2分
点的极坐标为：，化为直角坐标为……………3分 直线的参数方程为，即 (为参数)……………5分 （Ⅱ）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得， 整理得：， 显然有，则，………………8分
，所以
………………10分
23.（1
）当
时，，上述不等式化为数轴上点x 到两点-21，21距离之和小于等于1， 则， 即原不等式的解集为 ……………5分
2（2）的解集包含当时，不等式恒成立， 即在上恒成立，，
即在上恒成立，
……………10分。