重庆市实验 2021-2022学年高二下学期期末复习数学试卷

2021-2022学年重庆实验中学高二（下）数学期末复习试题（一）
一．选择题（共8小题）
1．设f（x）为可导函数，且，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为（）A．2 B．﹣1 C．1 D．
2．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，，则＝（）
A．3 B．C．D．
3．如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（）
A．B．2 C．D．
4．重庆第八中学招聘了8名教师，平均分配给沙坪坝和渝北两个校区，其中2名语文教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（）
A．18种B．24种C．36种D．48种
5．已知随机变量X～N（2，1），其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（）附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9973
A．0.1359 B．0.7282 C．0.8641 D．0.93205
6．某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F等6位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A要在B之前，D和F的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（）
A．240种B．180种C．120种D．150种
7．（x2﹣3x+2）5的展开式中，x2项的系数为（）
A．400 B．480 C．720 D．800
8．若定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f（x），f（2022）＝e2022，则不等式的解集为（）
A．（0，e6066）B．（0，e2022）C．（e2022，+∞）D．（e6066，+∞）
二．多选题（共4小题）
9．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，点A（2，0），过点A的直线与圆C交于两点P，Q，且AP＜AQ．则（）A．直线PQ的斜率k≥1 B．AQ的最小值为2
C．AP的最小值为D．•＝4
10．已知数列{a n}满足a1＝1，，前n项和为S n，则（）
A．a n＞1 B．
C．D．S n≤n
11．下列说法正确的有（）
A．已知一组数据x1，x2，x3，⋯，x10的方差为3，则x1+2，x2+2，x3+2，⋯，x10+2的方差也为3
B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是4
C．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X＞﹣1）+P（X≥5）＝1，则μ＝2
D．已知随机变量X服从二项分布，若E（3X+1）＝6，则n＝6
12．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A、B存在如下关系，P（A|B）＝．某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6，如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
三．填空题（共4小题）
13．已知A（2，0）、B（8，0）、C（4，2），且动点P满足，则2|PC|+|PB|取得最小值时，点P的坐标是．14．曲线f（x）＝x i（i≥2，i∈N）在x＝2处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为S i，则S i＝，＝．15．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，则双曲线C的离心率是．
16．已知甲口袋中有3个白球，2个黑球，乙口袋中有1个白球，3个黑球，分别从两个口袋中各取两个球，X表示从甲口袋中取出的白球数，Y表示从乙口袋中取出的黑球数，ξ表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数，则E（X+Y）＝；
D（ξ）＝．
四．解答题（共6小题）
17．已知公差大于1的等差数列{a n}中，a2＝3，且a1+1，a3﹣1，a6﹣3成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为S n，求证：≤S n＜．
18．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（1，+∞）上有零点x0，求a的取值范围；
19．已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示．
（1）若CE⊥BG，求证：FG⊥BG；
（2）若AB＝2，∠DAB＝60°，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角A﹣EC﹣B的余弦值．
20．由于新冠疫情的影响，处于封控区的学校无法正常上课，某校决定采用教育网络平台和老师钉钉教学相结合的方式进行授课，并制定了网络学习规章制度．学生居家学习一段时间后，教务处对学生能否遵守学校安排完成居家学习的情况开展调研，从高一年级随机抽取了A、B两个班级，并得到如表数据：
A班B班合计
严格遵守36 56
不能严格遵守
合计50 50
（1）补全2×2列联表，并且根据调研结果，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否判断“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；
（2）网络授课结束后，高一年级800名学生进行了测试，学生的数学成绩近似服从正态分布N（100，52），若90分以下都算不及格，问高一年级不及格的学生有多少人？（人数四舍五入）
P（K2≥k0）0.010 0.005 0.001
k0 6.635 7.879 10.828 附1：参考公式：；
附2：若随机变量X服从正态分布X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．
21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）．
（1）求函数f（x）在区间[]上的最大值；
（2）证明：．
22．冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起．其中20km 男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈4km），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜．
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和．假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响．
（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由．
2021-2022学年重庆实验中学高二（下）数学期末复习试题（一）
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：因为f（x）为可导函数，且，
则×2＝2f′（1）＝﹣1，
所以f′（1）＝﹣，即为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率，
故选：D．
2．解：由，当n为奇数时，可得a n+2﹣a n＝2，
所以a1，a3，a5，⋯是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，故a19＝1+（10﹣1）×2＝19，
当n为偶数时，可得a n+2+a n＝2，
由a2＝2，可得a4＝0，a6＝2，a8＝0，⋯，可得a18＝2，
所以＝．
故选：D．
3．解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝
由平面几何知识可得|OQ|＝，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3；
|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝2﹣＝．
故选：A．
4．解：由题意知，先将2名语文老师分到两个校区，有2种方法，
第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，然后再分到两个校区，共有种方法，第三步只需将其他3人分成2组，一组1人另一组2人，由于每个校区各4人，故分组后两人所去的校区就已确定，共有种方法．
根据分步乘法计数原理共有2＝36种．
故选：C．
5．解：∵随机变量X～N（2，1），
∴图中阴影部分的面积为P（0＜X＜1）＝＝．故选：A．
6．解：6位同学参加接力赛跑，先考虑D和F的顺序不能相邻，其他四人的顺序数为种，D和F进行插空共有•种，在所有符合条件的排序中，A要安排在B之前与A要安排在B之后的数量一样多，所以，符合要求的顺序有•＝240种．
故选：A．
7．解：多项式（x2﹣3x+2）5展开式的通项公式为，
令r＝4，则T5＝，则此时x2系数，
令r＝5，则T6＝，此时x2系数，
∴x2系数为80+720＝800，
故选：D．
8．解：设g（x）＝，∵f'（x）＞f（x），
∴g'（x）＝＞0，
∴函数g（x）在R上是增函数，①
∵f（2022）＝e2022，＝＝，
∴⇔＜1＝，
即g（lnx）＜g（2022），
由①得lnx＜2022，解得0＜x＜e6066，
∴不等式的解集为（0，e6066）．
故选：A．
二．多选题（共4小题）
9．解：依题意圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1的圆心坐标为C（3，2），半径r＝1，
显然直线AP的斜率存在，设斜率为k，则直线AP：y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，
所以，解得，故A错误；
因为，所以，故C正确；
当直线与圆相切时，AP＝AQ，又AP＜AQ，所以AQ不存在最小值，只存在最大值且，故B错误；
设P（x1，y1），Q（x2，y2），由（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1与y＝k（x﹣2），
消去y整理得（1+k2）x2﹣（6+4k2+4k）x+4k2+8k+12＝0，
所以，
所以
＝（1+k2）[x1x2﹣2（x1+x2）+4]
＝，故D正确；
故选：CD．
10．解：∵a1＝1，∴A选项错；
∵，a1＝1＞0，∴a n＞0，
∴，∴a n＞a n+1，
数列{a n}单调递减，
当n＝1时，S1＝1；
当≥2时，S n＝a1+a2+⋅⋅⋅+a n＜a1+a1+⋅⋅⋅+a1＝n，∴D选项正确；
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，又，
∴，∴，，•••，，∴，∴，∴，
∴n≥2时，，
∴，B选项正确；
∴，C选项正确．
故选：BCD．
11．解：对于A，因为一组数据x1，x2，x3，⋯，x10的方差为3，
由方差的运算性质可知，所以x1+2，x2+2，x3+2，⋯，x10+2的方差也为3，
故选项A正确；
对于B，线性回归方程为，
因为样本点的中心为（m，2.8）在回归方程上，
所以2.8＝0.3m﹣m，解得m＝﹣4，
故选项B错误；
对于C，因为随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），
则其密度曲线关于X＝μ对称，
所以1﹣P（X＞﹣1）＝P（X≤﹣1），
又P（X＞﹣1）+P（X≥5）＝1，
所以P（X≥5）＝P（X≤﹣1），
则μ＝，
故选项C正确；
对于D，因为随机变量X服从二项分布，
所以E（X）＝，
则E（3X+1）＝3E（X）+1＝n+1，
因为E（3X+1）＝6，
则n+1＝6，
所以n＝5，
故选：AC．
12．解：设A1为第一天去甲餐厅，A2为第二天去甲餐厅，B1为第一天去乙餐厅，B2为第二天去乙餐厅，
所以P（A1）＝0.4，P（B1）＝0.6，P（A2|A1）＝0.6，P（A2|B1）＝0.5，
因为P（A2|A1）＝＝0.6，P（A2|B1）＝＝0.5，
所以，P（A2）P（A1|A2）＝0.24，P（A2）P（B1|A2）＝0.3，
所以有P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）＝0.4×0.6+0.6×0.5＝0.54，故选项A正确；
∵第二天去甲餐厅A1与第二天去乙餐厅B2为对立事件，∴P（B2）＝1﹣P（A2）＝0.46，故选项B不正确；
因为P（B1|A2）＝＝，故选项C正确；
P（A1|B2）＝＝＝＝，故选项D不正确，故选：AC．
三．填空题（共4小题）
13．解：已知A（2，0）、B（8，0）、C（4，2），且动点P满足，
设点P（x，y），
所以，整理得x2+y2＝16；
由于2|PC|+|PB|＝2|PC|+2|PA|＝2（|PC|+|PA|）；
所以当A、P、C三点共线时，即点P在直线AC上时，2|PC|+|PB|取得最小值；
如图所示：
直线AC的方程为y＝x﹣2；
由，解得或，
由于点P在线段AC上，故点P．
故答案为：．
14．解：f（x）＝x i（i≥2）的导数为f′（x）＝ix i﹣1，
可得曲线f（x）在x＝2处的切线方程为y﹣2i＝i•2i﹣1（x﹣2），
当x＝0时，y＝2i（1﹣i），
当y＝0时，x＝2﹣，
则S i＝×2i（i﹣1）×＝•2i；
设S n＝12•22+22•23+32•24+...+n2•2n+1，2S n＝12•23+22•24+32•25+...+n2•2n+2，
上面两式相减可得﹣S n＝22+3•23+5•24+...+（2n﹣1）•2n+1﹣n2•2n+2，③
﹣2S n＝23+3•24+5•25+...+（2n﹣1）•2n+2﹣n2•2n+3，④
③﹣④可得S n＝22+24+25+...+2n+2﹣（2n﹣1）•2n+2+n2•2n+3﹣n2•2n+2
＝4++（n﹣1）2•2n+2＝（n2﹣2n+3）•2n+2﹣12．
故答案为：•2i；（n2﹣2n+3）•2n+2﹣12．
15．解：由，
由正弦定理有＝，设|NF2|＝2m，则|NF1|＝3m，又|NF1|﹣|NF2|＝2a，
∴m＝2a，
又（+）•（﹣）＝0，∴||2﹣||2＝0，故|MN|＝|NF2|＝4a，∴|MF1|＝2a，
又点M在左支上，故|MF1|﹣|MF2|＝﹣2a，∴|MF2|＝4a，
∴△MNF2是等边三角形，故∠F1NF2＝60°，
由余弦定理得4c2＝36a2+16a2﹣2×6a×4a×，
∴c2＝7a2，∴e＝．
故答案为：．
16．解：由题意可知X的可能取值为0，1，2，Y的可能取值为1，2；
P（X＝0）＝＝0.1，P（X＝1）＝＝0.6，P（X＝2）＝＝0.3；
P（Y＝1）＝＝0.5，P（Y＝2）＝＝0.5；
P（X+Y＝1）＝0.1×0.5＝0.05，
P（X+Y＝2）＝0.6×0.5+O.1×0.5＝0.35，
P（X+Y＝3）＝0.3×0.5+0.6×0.5＝0.45，
P（X+Y＝4）＝0.3×0.5＝0.15，
故X+Y的分布列：
X+Y 1 2 3 4
P0.05 0.35 0.45 0.15
∴E（X+Y）＝1×0.05+2×0.35+3×0.45+4×0.15＝2.7．
又从甲口袋中取出的黑球数为2﹣X，同理可得2﹣X分布列：
2﹣X0 1 2
P0.3 0.6 0.1
同理2﹣X+Y的分布列：
2﹣X+Y 1 2 3 4
P0.15 0.45 0.35 0.05
E（ξ）＝E（2﹣X+Y）＝1×0.15+2×0.45+3×0.35+4×0.05＝2.3，
D（ξ）＝（1﹣2.3）2×0.15+（2﹣2.3）2×0.45+（3﹣2.3）2×0.35+（4﹣2.3）2×0.05＝0.61．故答案为：2.7；0.61．
四．解答题（共6小题）
17．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d＞1，∵a2＝3，且a1+1，a3﹣1，a6﹣3成等比数列，
∴a1+d＝3，＝（a1+1）（a6﹣3），即＝（a1+1）（a1+5d﹣3），
解得a1＝1，d＝2．
∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（Ⅱ）证明：＝＝（﹣），
∴S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣），
∵S n+1﹣S n＝（﹣）＞0，
∴数列{S n}单调递增，
∴S1≤S n＜，
即≤S n＜．
18．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
当a≤0时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，令f′（x）＞0，得，令f′（x）＜0，得，
∴函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；
综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，函数f（x）在上单调递增，在
上单调递减；
（2）若a≤0，由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递增，而f（1）＝0，故此时无零点，不合题意；
若a≥1，则，函数f（x）在上单调递减，则对任意x∈（1，+∞），都有f（x）＜f（1）＝0，不合题意；
若0＜a＜1，则，由（1）可知f（x）在上单调递增，在上单调递减，则，
又当x→+∞时，f（x）→﹣∞，由零点存在性定理可知，存在唯一，使得f（x0）＝0，符合题意．故实数a的取值范围为（0，1）．
19．（1）证明：连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
由直四棱柱得GD⊥底面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴GD⊥AC，
又BD⋂GD＝D，BD，GD⊂平面BDG，
∴AC⊥平面BDG，因为BG⊂平面BDG，
∴AC⊥BG，
已知CE⊥BG，又AC⋂CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，
∴BG⊥平面ACE，
因为AE⊂平面BDG，∴平面ABE∥平面CFGD，
平面AEFG⋂平面ABE＝AE，平面AEFG⋂平面CFGD＝GF，
∴FG∥AE，则FG⊥BG．
（2）解：已知AB＝2，∠DAB＝60°，可求BD＝2，，
由，则GD＝2，
在直四棱柱中，FC⊥底面ABCD，
所以∠FAC为直线AF与底面ABCD所成角，，则FC＝3，
在平面ACF内作Oz∥CF，可知Oz⊥底面ABCD，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则，B（0，1，0），，G（0，﹣1，2），，
，
则，
设平面BCE的法向量为，
则，
取x＝1，得，z＝0，得，
由（1）知BG⊥平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为，
则，
所以锐二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．
20．解：（1）补全2×2列联表，如下：
A班B班合计严格遵守36 20 56 不能严格遵守14 30 44 合计50 50 100
＝≈10.3896＞7.879，∴依据小概率值α＝0.005的独立性检验，
能判断“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系．
（2）学生的数学成绩近似服从正态分布N（100，52），
P（X＜90）＝P（X＜μ﹣2σ）＝＝0.02275，
800×0.02275≈18，
∴高一学生不及格的学生为18人．
21．解：（1）因为f（x）＝lnx﹣ax+1，x∈R，
所以f′（x）＝﹣a＝，
当a＝0时，f′（x）＝＞0，
所以f（x）在[]上单调递增，
所以f（x）max＝f（2）＝ln2+1，
当a＜0时，f′（x）＝﹣a＝＞0，
所以f（x）在[]上单调递增，
所以f（x）max＝f（2）＝ln2﹣2a+1，
当0＜a≤时，≥2，f′（x）＝＞0在[]上成立，
所以f（x）在[]上单调递增，
所以f（x）max＝f（2）＝ln2﹣2a+1，
当＜a≤2时，≤＜2，
当x∈[，）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；x∈[，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
所以f（x）max＝f（）＝﹣lna；
当a＞2时，＜，f′（x）＝＜0在[]上成立，
所以f（x）在[]上单调递减，
所以f（x）max＝f（）＝﹣ln2﹣a+1；
综上所述：f（x）max＝；
（2）证明：令g（x）＝（+1）x（x＞0），
则g'（x）＝﹣（+1）x ln（+1）＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以：（1+）（1+）•⋯•（1+）＜（1+）（1+）•⋯•（1+）＝（1+）n＝（1+）n．
当n＝1时，（1+）n有最大值2，
即：（1+）（1+）•⋯•（1+）≤2＜e．
22．解：（1）设第四圈甲命中n发，乙命中了m发，
在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，甲胜乙需要满足：60×（5﹣m）＞60（5﹣n）+36×5，化为n﹣m＞3．∵m，n∈N，0≤n，m≤5．
∴n＝5，m＝1时，P1＝××＝；
n＝5，m＝0时，P2＝×＝；
n＝4，m＝0时，P3＝×××＝．
∴甲胜乙的概率P＝P1+P2+P3＝++＝．
（2）设甲射击命中目标的次数为X，乙射击命中目标的次数为Y，则X～B（20，），Y～B（20，）E（X）＝20×＝16发，E（Y）＝20×＝15发，
∴甲平均罚时为4分钟，乙平均罚时为5分钟，
又甲滑雪每圈比乙慢36秒，
∴甲滑雪用时比乙多了36×5＝180秒＝3分钟，
∴4+3＞5，
∴乙的水平更高．。