10结构力学——结构的稳定计算资料

哈工大 土木工程学院

25 / 85
16 结构的稳定计算
多自由度体系失稳的基本特点：
1 多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；
2 具有n个自由度体系的失稳时共有n个特征对，即有n 个可能失稳形态；
3 对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称 或反对称的；
4 真实的临界荷载是n个特征值中的最小者，其它特征 值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征 值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。

哈工大 土木工程学院
6 / 85
16 结构的稳定计算
第二类失稳的基本特征
是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。 失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点， 该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。
FP

非完善体系
l
FP O
初始缺陷使得开始加载杆件
便处于微弯状态，挠度引起
分析结论
• 结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。
• 当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷 载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。
• 非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。 实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说 失稳都属于第二类失稳。
• 第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到 一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比
状态的两重性出发列平衡方程。
A EI= B EI= C EI= D
k
k
FP
l
l
l
y1
y2
FxA=FP
k
k
FP
FyA=FPy1/l FRB=ky1
FRC=ky2
哈工大 土木工程学院
FyD=FPy2/l

23 / 85
16 结构的稳定计算
MC 0
左
MB 0
右
(kl 2FP ) y1 FP y2 0 FP y1 (kl 2FP ) y2 0
如小球受到干 扰后失去回到 原先的平衡位 置的可能性， 则称该状态为
不稳定平衡
3 / 85
16 结构的稳定计算
结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不 稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的 情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。
结构的失稳类型
第一类失稳（分支点失稳） 第二类失稳（极值点失稳）
关于广义坐标的总势能驻值条件：
δEP

EP a1
δa1

EP a2
δa2

EP an
δan

0
由广义坐标变分的任意性
EP 0 ai
关于广义坐标
(i 1, 2, n) ai 的齐次方程
广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是
临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。
16 结构的稳定计算
一、静力法
在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程， 并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。
1、单自由度完善体系的分支点失稳
FP B
k
FR
FP
B
k
x
MO 0
FP lsinθ FR lcosθ 0
EI1= l
FR kΔ klsinθ
哈工大 土木工程学院

10 / 85
16 结构的稳定计算
§16.2 有限自由度体系的临界荷载
确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目 称为体系失稳的自由度。
FP
FP
FP
EI= k

EI=
EI=
k
EI=
DOF = 1
DOF = 2
哈工大 土木工程学院
DOF =

11 / 85
C
2FP
2k B
A
ky1 k
C
FP
mB 0
y1
FP ( y1 y2 ) kly1 0
2ky2 2k
B
2F 2FP y2 2kly1 2kly2 0
FP kl FP 2kl

FP 2FP
2kl


第一类失稳仍有其重要地位
哈工大 土木工程学院

19 / 85
16 结构的稳定计算
例题：用静力法求图示结构的临界荷载FPcr
解：从临界平衡状态的两重性出发
D FP
EI1=

D
FP


D
FP

h
B EI A EI C B A
l
l
C
3EI
l
A
3EI
l
mA 0
(FPh
6EI l
)

哈工大 土木工程学院

4 / 85
16 结构的稳定计算
第一类失稳的基本特征
结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支
点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，
称分支点失稳。
FP
FP
FP < FPcr时，杆件仅产生压
缩变形。轻微侧扰，杆件微
II 不稳定
弯；干扰撤消，状态复原
FPcr
16 结构的稳定计算
主要计算方法：
静力法——根据临界状态的静力特征（即平衡形式 的二重性），寻找平衡路径交叉的分支 点，可精确得到理论上的临界荷载值。
能量法——依据能量特征来确定体系失稳时临界荷 载。体系取得平衡的充要条件是任意可 能位移和变形均使势能取得驻值。
哈工大 土木工程学院

12 / 85
A
O
Ay
FP

klcos θ

ε

1


sinε
sin θ

ε



哈工大 土木工程学院
15 / 85
16 结构的稳定计算
(1) 大挠度理论
FP kl

cosθ ε1

sinε
sinθ

ε
求极值点处的临界荷载
FP/kl
d FP 0
d
1.00
0.695 0.536

哈工大 土木工程学院
28 / 85
16 结构的稳定计算
例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr
9 / 85
16 结构的稳定计算
稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变 形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平 衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析 过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类 稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都 必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超 过临界状态之后的后屈曲平衡状态。
16 结构的稳定计算
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
结构力学
土木工程学院
工程力学学科组 李强
哈工大 土木工程学院
1 / 85
16 结构的稳定计算
§16.1 两类稳定问题概述
结构中的某些受压杆件， 当荷载逐渐增大时，除 了可能发生强度破坏外， 还可能在材料抗力未得 到充分发挥之前就因变 形的迅速发展而丧失承 载能力，这种现象称失 稳破坏，其相应的荷载 称为结构的临界荷载。 压杆的实际承载能力应 为上述两种平衡荷载中 的最小者。
y1 y2


0 0
A

哈工大 土木工程学院
21 / 85
16 结构的稳定计算
det

FP kl FP 2kl

FP 2FP
2kl

0
稳定方程
0.423kl FP1,2 1.577kl
FPcr min( FP1, FP2 ) 0.423 kl 临界荷载
δEP 0 &
δEP 0 &
δEP 0 &
δ2EP 0
稳定平衡
δ2EP 0
随遇平衡
哈工大 土木工程学院
δ2EP 0
不稳定平衡
27 / 85
16 结构的稳定计算
变形体系势能： EP U UP = 荷载势能 + 变形势能
EP EP (a1, a2 ,, an )
0 （平衡路径唯一）。
l

I 稳定
0
FP ≥FPcr时，杆件既可保持 原始的直线平衡状态，又可
进入弯曲平衡状态（平衡路
完善体系
O

径不唯一）。

哈工大 土木工程学院
5 / 85
16 结构的稳定计算
发生第一类失稳的还有：
q
FP
FP
他们的共同特点是从加载到失稳过
程中结构变形的性质发生突变，产 生了两种性质截然不同平衡路径。
0
平衡方程
FPh
6EI l

0
特征方程
哈工大 土木工程学院
6EI FPcr lh
特征根
20 / 85
16 结构的稳定计算
例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.
解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平
衡状态的两重性出发列平衡方程。
EI= l
EI= l
k FP
ε＝0
sin(

θ)

1
sin3

FPcr

(1
2
sin 3

3
)2
kl
FP/kl
0.695 0.536 0.415
ε＝ 0
0.38 0.42 1.37 1.47 1.57
θ
ε
O
0.1 0.2 0.3

哈工大 土木工程学院
16 / 85
16 结构的稳定计算
哈工大 土木工程学院
17 / 85
16 结构的稳定计算
kl 2FP

FP
kl
FP 2FP


y1 y2


0 0
kl 2FP FP
FP 0 kl 2FP
kl FP1 3
y1 1 y2
1
FP2 kl
y1 1 y2
1
kl
FPcr min(FP1, FP2 ) 3
哈工大 土木工程学院
屈曲时可确定 y1和 y2的比值
1
1
y2 y1

FP kl FP

1.36 0.367
(FP FP1) (FP FP2 )
哈工大 土木工程学院
1.36
位形图
0.367

22 / 85
16 结构的稳定计算
例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.
解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡
哈工大 土木工程学院

2 / 85
16 结构的稳定计算
所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。
如小球受到干 扰后仍能恢复 到原先的平衡 位置，则称该 状态为
稳定平衡
球在三个位置都能 处于平衡，但受到 干扰后表现不同：
如小球受到干 扰后可停留在 任何偏移后的 新位置上，则 称该状态为
随遇平衡
哈工大 土木工程学院
临界荷载：
FPcr kl
哈工大 土木工程学院

14 / 85
16 结构的稳定计算
2、单自由度非完善体系的极值点失稳
FP
B
FR
k
k
x
MO 0
FP
B FPlsin( θ) FRl cos( θ) 0
l
l


FR kl sin θ ε sin ε
哈工大 土木工程学院

26 / 85
16 结构的稳定计算
二、能量法
依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。
势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的 位移和变形均使得总势能 EP 取得驻值，即总势能的一阶变 分等于零（δEP =0）。
该驻值条件等价于平衡条件
保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要 考察体系总势能的二阶变分状态：
附加弯矩。随荷载增加侧移
和荷载呈非线性变化，且增
长速度越来越快。荷载达到
一定数值后，增量荷载作用
下的变形引起的截面弯矩的
FPcr
增量将无法再与外力矩增量
相平衡，杆件便丧失原承载

能力。

哈工大 土木工程学院
7 / 85
16 结构的稳定计算
发生第二类失稳的情况：
FP
FP
q
FP
FP
他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的 性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。
1
1

24 / 85
16 结构的稳定计算
计算步骤：
1 中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位 置的一个可能变形状态；
2 在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力 图；
3 建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析 的特征方程；
4 由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；
5 最小特征值即临界荷载。

FP klcosθlsinθ 0
A
OAy
第一解： θ 0
第二解： FP klcos
哈工大 土木工程学院
13 / 85
16 结构的稳定计算
FP
II 不稳定
FPcr
I 稳定
θ0
大、小挠度理论 临界荷载相同
FP kl
FP klcos

(2) 小挠度理论 (1) 大挠度理论
较复杂，但却是精确解。

哈工大 土木工程学院
18 / 85
16 结构的稳定计算
分析结论
• 第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算 较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观 的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。
• 第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值， 对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳 的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修 改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。
哈工大 土木工程学院

8 / 85
16 结构的稳定计算
扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征
当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构 翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值 点失稳（跳跃屈曲）。
FP
FP
Δ
f
FPcr
O

l
l
由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题
哈工大 土木工程学院