高考理科数学高考题模拟题讲解练习-基础巩固练(二)

基础巩固练(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·z＝()
A. 3
B. 5 C．3 D．5
答案 D
解析解法一：∵z＝2＋i，∴z＝2－i，
∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.
解法二：∵z＝2＋i，∴z·z＝|z|2＝5.故选D.
2．(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝()
A．{－1} B．{0,1}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}
答案 A
解析∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴∁U A＝{－1，3}．又∵B＝{－1,0,1}，∴(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.
3．(2019·湛江二模)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()
答案 B
解析由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．
4．(2019·内蒙古呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为()
A．9 B．27 C．54 D．81
答案 B
解析根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2＝3a1＋a3，变形可得4a1q＝3a1＋a1q2，即q2－4q＋3＝0，解得q＝1或3；又a2－a1＝2，即a1(q－1)＝2，则q＝3，a1＝1，则a n＝3n－1，则有a4＝33＝27.故选B.
5．(2019·绍兴市适应性试卷)函数f(x)＝(x3－x)ln |x|的图象是()
答案 C
解析因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝－(x3－x)ln |x|＝－f(x)，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，函数的定义域为{x|x≠0}，由f(x)＝0，得(x3－x)ln |x|＝0，即(x2－1)ln |x|＝0，即x＝±1，即函数f(x)有两个零点，排除D，f(2)＝6ln 2>0，排除A.故选C.
6．(2019·四川省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S＝110，则判断框处为()
A ．k <10?
B ．k ≥11?
C ．k ≤10?
D ．k >11? 答案 C
解析 由程序框图可知，该程序是计算S ＝2＋4＋…＋2k ＝
k (2＋2k )
2
＝k (k ＋1)，由S ＝k (k ＋1)＝110，得k ＝10，则当k ＝10时，k ＝k ＋1＝10＋1＝11不满足条件，所以条件为“k ≤10？”．故选C.
7．(2019·九江二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )
A.2π－33
2(π－3)
B.
3
2(π－3)
C.
3
2(π＋3)
D.
2π－33
2(π＋3)
答案 B
解析 如题图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为π×226＝2π
3，又∵△ABC 的面积为12×3
2×2×2＝3，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2
个正三角形的面积，即为2π
3×3－23＝2π－23，故在勒洛三角形中随机取一点，此点取自等边三角形的概率为
32π－23＝3
2(π－3)
，故选B.
8．(2019·淄博一模)已知M (－4,0)，N (0,4)，点P (x ，y )的坐标x ，y 满足
⎩⎨⎧
x ≤0，y ≥0，
3x －4y ＋12≥0，
则MP →·NP →的最小值为( )
A.25
B.425 C ．－196
25 D ．－ 5 答案 C
解析
由点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧
x ≤0，
y ≥0，
3x －4y ＋12≥0，
作出可行域如图中阴影部分，
则MP →·NP →＝(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为点A (－2,2)到直线3x －4y ＋12＝0的距离的平方再减8，由d ＝|3×(－2)－4×2＋12|5＝25，可得(x ＋2)2＋(y －2)2－
8的最小值为－196
25.故选C.
9．(2019·临沂一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫B ＋π6，则b ＝( )
A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 答案 C
解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A
＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∴a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫B ＋π6＝cos B cos π6－sin B sin π6＝
32cos B －12sin B ，∴tan B ＝33，又B ∈(0，π)，∴B ＝π6.∵在△ABC 中，a ＝3，c ＝23，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋12－2×3×23×3
2＝ 3.
故选C.
10．(2019·山东济南高三3月模拟)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上
的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，1，则ω的最小值为( )
A.23
B.34
C.43
D.32 答案 A
解析 ∵0≤x ≤π，∴－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，而f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，1，发现
f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6＝－12，
∴π2≤ωπ－π6≤7π6，整理得23≤ω≤43.则ω的最小值为2
3.故选A.
11．(2019·石家庄模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且|BF 1|＝1
3|AF 2|，则该双曲线的离心率为( )
A. 2
B.655
C.35
5 D ．3 答案 B
解析 因|BF 1|＝1
3|AF 2|，设|AF 2|＝3t ， 则|BF 1|＝t ，t >0，
由双曲线的定义可得
|BF2|＝|BF1|＋2a＝t＋2a，|AF1|＝|AF2|＋2a＝3t＋2a，则|AB|＝|AF1|－|BF1|＝2t＋2a，
由AF2⊥BF2，可得(2a＋2t)2＝(3t)2＋(t＋2a)2，
解得t＝2
3a，则在直角三角形ABF2中，cos A＝
3t
2t＋2a
＝
2a
10
3a
＝
3
5，
在△AF1F2中，可得cos A＝(3t)2＋(3t＋2a)2－(2c)2 2·3t·(3t＋2a)
＝4a2＋16a2－4c2
16a2＝
3
5，化为c
2＝
13
5a
2，则e＝
c
a＝
13
5＝
65
5.故选B.
12．(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是()
A．①B．②C．①②D．①②③
答案 C
解析由x2＋y2＝1＋|x|y，当x＝0时，y＝±1；当y＝0时，x＝±1；当y＝1时，x＝0，±1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，D(1,1)，E(－1,0)，F(－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y>0时，x2＋y2＝1＋|x|y＝1
＋|xy|≤1＋x2＋y2
2，所以x
2＋y2≤2，所以x2＋y2≤2，故②正确．如图，
由①知长方形CDFE面积为2，三角形BCE面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·烟台一模)已知(a －x )(2＋x )5的展开式中x 3的系数为40，则实数a 的值为________．
答案 3
解析 ∵(a －x )(2＋x )5＝(a －x )(32＋80x ＋80x 2＋40x 3＋10x 4＋x 5)的展开式中x 3的系数为40a －80＝40，∴a ＝3.
14．(2019·揭阳一模)在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的所有切线中，
斜率为1的切线方程为________．
答案 x －y －1＝0
解析 由f (x )＝sin x －cos x ，得f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4，
由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4＝22，
∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，∴x ＋π4∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4，3π4，
∴x ＋π4＝π
4，即x ＝0.∴切点为(0，－1)，切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0.
15．(2019·唐山一模)在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为________．
答案 2π
解析 如图，∵AB ＝BC ＝1，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AD ⊥CD ，∴AC 的中点即为外接球的球心，外接球的半径为22，
∴S 球＝4π×1
2＝2π.
16．(2019·河南省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y ＝f (x )的图象存在经过原点的对称轴，则称y ＝f (x )为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有________．(填写所有正确结论的序号)
①y ＝⎩
⎨⎧
e x
(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ln 1＋x 1－x ；③y ＝ln (e 3x
＋1)．
答案 ①②
解析 对于①，y ＝e x (x ≤0)的反函数为y ＝ln x (0<x ≤1)，所以函数y ＝
⎩⎨⎧
e x
(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)
关于直线y ＝x 对称，故①是“旋转对称函数”． 对于②，令y ＝f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln
1＋x 1－x ，则f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1－x 1＋x ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－ln 1＋x 1－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln
1＋x 1－x ＝f (x )，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ln 1＋x 1－x 是偶函数，它的图象关于y 轴对称，故②是“旋转对称函数”．
对于③，y ＝ln (e 3x ＋1)>ln e 3x
＝3x ，当x →＋∞时，y →3x ，则函数
y ＝ln (e
3x ＋1)的图象只可能关于直线y ＝3x 对称，又y ＝ln (e 3x ＋1)>ln 1
＝0，当x →－∞时，y →0，这与函数y ＝ln (e 3x
＋1)的图象关于直线y ＝3x
对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·四川攀枝花高三第二次统考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
1
4a n －1
，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，由于a n －a n －1＝2n －1，a 1＝1，
所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝
n2，
又a1＝1满足上式，故a n＝n2(n∈N*)．
(2)b n＝
1
4a n－1
＝
1
4n2－1
＝
1
(2n＋1)(2n－1)
＝1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2n－1
－
1
2n＋1.
所以T n＝b1＋b2＋…＋b n
＝1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1－
1
3＋
1
3－
1
5＋…＋
1
2n－1
－
1
2n＋1
＝1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
1
2n＋1＝
n
2n＋1
.
18．(本小题满分12分)(2019·石家庄质量检测)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，A1C＝BC.
(1)求证：A1B⊥平面AB1C；
(2)若∠ABB1＝60°，∠CBA＝∠CBB1，AC⊥B1C，求二面角B－AC－A1的余弦值．
解(1)证明：因为侧面ABB1A1为菱形，
所以A1B⊥AB1，记A1B∩AB1＝O，连接CO，
因为A1C＝BC，BO＝A1O，
所以A1B⊥CO，又AB1∩CO＝O，
所以A1B⊥平面AB1C.
(2)解法一：因为∠CBA＝∠CBB1，AB＝BB1，BC＝BC，所以△CBA≌△CBB1，所以AC＝B1C.
又O是AB1的中点，所以CO⊥AB1，
又A1B⊥CO，A1B∩AB1＝O，
所以CO⊥平面ABB1A1.
令BB1＝2，因为∠ABB1＝60°，侧面ABB1A1为菱形，AC⊥B1C，O为AB1的中点，
所以CO ＝1.
如图，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OB 1所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系．
则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,0,1)，A 1(－3，0,0)， 所以AB →＝(3，1,0)，AC →＝(0,1,1)，AA 1→＝(－3，1,0)，A 1C →
＝(3，0,1)． 设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 1·AB →＝0，n 1
·AC →＝0，即⎩⎨⎧
3x ＋y ＝0，
y ＋z ＝0，
令x ＝1，则n 1＝(1，－3，3)，
同理可得平面A 1AC 的一个法向量为n 2＝(1，3，－3)， cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2
|n 1
||n 2
|＝－57，
由图知二面角B －AC －A 1为钝角， 所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－5
7.
解法二：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ， 所以△CBA ≌△CBB 1， 所以AC ＝B 1C .
设AB ＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，所以AA 1＝AB 1＝2，OA ＝OB 1＝1，OB ＝OA 1＝ 3.
又AC ⊥B 1C ，所以CO ＝1，AB ＝B 1C ＝2，
又A 1C ＝BC ，O 为A 1B 的中点，所以BC ＝A 1C ＝2，所以△ABC 为等腰三角形，△A 1AC 为等腰三角形．
如图，取AC 的中点M ，连接BM ，A 1M ，则∠BMA 1为二面角B －AC －A 1的平面角．
在△BMA 1中，可得BM ＝A 1M ＝14
2，A 1B ＝23， 所以cos ∠BMA 1＝BM 2＋A 1M 2－A 1B 22BM ·A 1M ＝－
5
7， 所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－5
7.
19．(本小题满分12分)(2019·拉萨一模)已知F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点，点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交直线x ＝4于点M .证明：直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列．
解 (1)因为点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴，所以c ＝2，设椭圆C 的左焦点为E ，连接EP ，则|EF |＝2c ＝4，|PF |＝2，在Rt △EFP 中，|PE |2＝|PF |2＋|EF |2＝18，所以|PE |＝3 2.
所以2a ＝|PE |＋|PF |＝42，a ＝22， 又b 2＝a 2－c 2＝4，
故椭圆C 的方程为x 28＋y 2
4＝1.
(2)证明：由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 令x ＝4，得M 的坐标为(4,2k )， 由⎩⎪⎨⎪⎧
x 28＋y 24＝1，y ＝k (x －2)
得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8(k 2－1)＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则有x 1＋x 2＝8k 2
2k 2＋1，x 1x 2＝8(k 2－1)2k 2＋1. ①
记直线P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 从而k 1＝
y 1－2x 1－2，k 2＝y 2－2x 2－2，k 3＝2k －24－2
＝k －2
2. 因为直线l 的方程为y ＝k (x －2)，所以y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－2x 1－2＋y 2－2
x 2－2
＝
y 1x 1－2＋y 2x 2－2－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 1－2＋1x 2－2 ＝2k －2·x 1＋x 2－4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4
. ②
①代入②，得k 1＋k 2＝2k －2·8k 2
2k 2＋1
－48(k 2－1)2k 2＋1－16k 2
2k 2＋1＋4
＝2k －2，
又k 3＝k －2
2，所以k 1＋k 2＝2k 3， 故直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列．
20．(本小题满分12分)(2019·武汉一模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积
极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：
(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.
解(1)x＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40.
(2)由题意，X～N(17.40,6.92)．
(ⅰ)∵P(x＞μ－σ)＝1
2＋
0.6827
2≈0.8414，
∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元．
(ⅱ)由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋0.9545
2≈0.9773，得每个农民年收
入不少于12.14千元的概率为0.9773，
记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B(1000，p)，其中p＝0.9773.
于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的概率是P(ξ＝k)＝C k1000p k(1－p)1000－k，
从而由
P(ξ＝k)
P(ξ＝k－1)
＝
(1001－k)×p
k(1－p)
＞1，得k＜1001p，
而1001p＝978.233，
∴当0≤k≤978时，P(ξ＝k－1)＜P(ξ＝k)，
当979≤k ≤1000时，P (ξ＝k －1)＞P (ξ＝k )．
由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.
21．(本小题满分12分)(2019·长春三模)已知a ∈R ，函数f (x )＝2
x ＋a ln x . (1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)若x ＝2是f (x )的极值点，且曲线y ＝f (x )在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<6)处切线平行，在y 轴上的截距分别为b 1，b 2，求b 1－b 2的取值范围．
解 (1)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x 2，
①当a ≤0时，f ′(x )<0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减；
②当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 时，f ′(x )<0，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫
2a ，＋∞时，f ′(x )>0，即f (x )在
x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
2a ，＋∞上单调递增． (2)∵x ＝2是f (x )的极值点， ∴由(1)可知2
a ＝2，∴a ＝1.
设在P (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋ln x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2x 21＋1x 1(x －x 1)，在Q (x 2，
f (x 2))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋ln x 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－2x 22＋1x 2(x －x 2)，
∵这两条切线互相平行， ∴－2x 21
＋1x 1
＝－2x 22
＋1
x 2
，
∴1x 1
＋1x 2
＝12.
∵1x 2＝12－1
x 1
，且0<x 1<x 2<6， ∴16<12－1x 1
<1x 1
，∴14<1x 1
<1
3，∴x 1∈(3,4)．
令x ＝0，则b 1＝4
x 1
＋ln x 1－1，
同理，b 2＝4
x 2＋ln x 2－1.
解法一：∵1x 2
＝12－1
x 1
，
∴b 1－b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－12－ln 1x 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12－1x 1.
设g (x )＝8x －2－ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，13，
∴g ′(x )＝8－1x －1
12－x ＝16x 2－8x ＋12x 2－x ＝(4x －1)22x 2－x
<0，
∴g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，13上单调递减，
∴g (x )∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23－ln 2，0，
即b 1－b 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
23－ln 2，0.
解法二：∵x 2＝
2x 1
x 1－2
， ∴b 1－b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝8x 1－2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 12－1. 令g (x )＝8x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2－1－2，其中x ∈(3,4)，
∴g ′(x )＝－8x 2＋1
x －2＝x 2－8x ＋16x 2(x －2)＝(x －4)2x 2(x －2)>0，
∴函数g (x )在区间(3,4)上单调递增， ∴g (x )∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23－ln 2，0，
∴b 1－b 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
23－ln 2，0.
解法三：∵x 1x 2＝2(x 1＋x 2)，
∴b 1－b 2＝4x 1－4x 2＋ln x 1－ln x 2＝4(x 2－x 1)x 1x 2＋ln x 1x 2＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1
x 2＝
2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－x 1x 21＋x 1x
2
＋ln x 1x 2.
设g (x )＝
2(1－x )
1＋x
＋ln x ， 则g ′(x )＝－4(1＋x )2＋1x ＝(1－x )
2
x (1＋x )2
.
∵x 1x 2＝x 12－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1，∴g ′(x )>0，
∴函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1上单调递增，
∴g (x )∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23－ln 2，0，
∴b 1－b 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
23－ln 2，0.
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·陕西模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ
sin 2θ，直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧
x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)． (1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长． 解 (1)将曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ
sin 2θ化为ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，
故曲线C 是顶点为O (0,0)，焦点为F (1,0)的抛物线． (2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝t cos α，
y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．
若直线l 经过点(1,0)，则α＝3π
4，
∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos 3π4＝－2
2t ，
y ＝1＋t sin 3π4＝1＋2
2t
(t 为参数)．
将其代入y 2＝4x ，得t 2＋62t ＋2＝0.
设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝
(－62)2－4×2＝8.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·陕西模拟)已知函数f (x )＝ |x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R . (1)求实数m 的取值范围；
(2)若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b
＝n 时，求7a ＋4b 的最小值．
解 (1)∵函数的定义域为R ， ∴|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，
设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值， 又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， 即函数g (x )的最小值为4，∴m ≤4. (2)由(1)知n ＝4，
∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2
3a ＋b ＋1a ＋2b ＝ 14⎝ ⎛
⎭⎪⎫5＋2(3a ＋b )a ＋2b ＋2(a ＋2b )3a ＋b ≥
14⎝
⎛⎭⎪⎫5＋2×2
3a ＋b a ＋2b ·
a ＋2
b 3a ＋b ＝9
4
， 当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝3
10时取等号． ∴7a ＋4b 的最小值为9
4.。