北师大版(理科数学) 两角和、差及倍角公式 单元测试(含答案)

二十二
两角和、差及倍角公式
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2018·成都模拟)计算:sin 20°cos10°-cos 160°·sin 10°=
( )
A. B.- C.- D.
【解析】选D.原式=sin 20°cos10°+cos20°sin10°
=sin(20°+10°)=sin30°=.
2.已知sin=,则sin 2θ=( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.因为sin=,所以(sin θ+cos θ)=,两边平方得(1+
sin 2θ)=,解得sin 2θ=-.
3.(2018·大庆模拟)已知α,β都是锐角,且sin αcosβ=cosα(1+sinβ),则 ( )
A.3α-β=
B.2α-β=
C.3α+β=
D.2α+β=
【解析】选B.因为sin αcos β=cos α(1+sin β),
所以sin(α-β)=cos α=sin,
所以α-β=-α,即2α-β=.
4.已知sin α=,sin=-,α,β均为锐角,则cos 2β=
( )
A.-
B.-1
C.0
D.1
【解析】选C.由题意知:cos α==,
cos(α-β)==.
所以cos β=cos[α-(α-β)]
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=.
所以cos 2β=2cos2β-1=2×-1=0.
【变式备选】已知cos α=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,则cos β的值为( )
A.-
B.
C. D.-
【解析】选C.因为α∈,α+β∈,cos α=,cos(α+β)=-,所
以sin α==,sin(α+β)==,故cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.
5.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β= ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.tan β=tan[(α+β)-α]===.
6.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上有一点
A(3,-4),则sin(2θ+)的值为()
A. B.- C.-1 D.1
【解题指南】先根据任意角三角函数的定义求出sin θ及cos θ的值,再用诱导公式及倍角公式求解.
【解析】选B.由题意知sin θ=,cos θ=,故sin=cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-=-.
7.(2018·郑州模拟)已知sin α+cosα=,则sin2= ()
A. B. C. D.
【解析】选B.因为sin α+cos α=,
所以1+2sin αcos α=,
即2sin αcos α=-,
因此sin2=
=(1-2sin αcos α)=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2017·江苏高考)若tan=, 则tan α=__________ ____.
【解析】tan α=tan===.
答案:
9.(2018·长沙模拟)已知P,Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点,分别位于
第一象限和第四象限,且P点的纵坐标为,Q点的横坐标为,则cos∠POQ= __________.
【解题指南】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ 的值,利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP和sin∠xOQ,再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ )的值.
【解析】由题意可得,sin∠xOP=,cos∠xOQ=,
所以cos∠xOP=,sin∠xOQ=.
所以cos∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ)
=cos∠xOP·cos∠xOQ-sin∠xOP·sin∠xOQ
=×-×=-.
答案:-
10.(2018·青岛模拟)在锐角△ABC中,B>,sin=,cos=,则sin(A+B)=__________.
【解析】因为sin=,
所以cos=±,
因为cos=-<-=cosπ,
所以A+>⇒A>(舍),
所以cos=,
由cos=⇒sin=,
所以sin(A+B)=sin
=sin cos+
cos sin
=×+×
=.
答案:
1.(5分)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于( )
A.5
B.-1
C.6
D.
【解析】选A.因为sin(α+β)=,
所以sin αcos β+cos αsin β=.①
因为sin(α-β)=,
所以sin αcos β-cos αsin β=.②
①+②得sin αcos β=.
②-①得cos αsin β=.
==5.
2.(5分)化简:·=________.
【解析】原式=tan(90°-2
α)·=··=··=.
答案:
3.(5分)(2018·大连模拟)已知cos4α-sin4α=且α∈,则
cos=________.
【解析】因为cos4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α= cos 2α=,
又因为α∈,所以2α∈(0,π),
故sin 2α==,
所以原式=cos 2αcos -sin 2αsin =×-×=-.
答案:-
4.(12分)已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.
(1)求sin(α-β)的值.
(2)求cos β的值.
【解题指南】(1)根据α,β的范围,利用同角三角函数的基本关系求得sin(α-β)的值.
(2)由(1)可得cos(α-β)的值,根据已知求出cos α的值,再由cos β= cos[α-(α-β)],利用两角差的余弦公式求得结果.
【解析】(1)因为α,β∈,从而-<α-β<.
又因为tan(α-β)=-<0,
所以-<α-β<0.
利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且
=-,
解得sin(α-β)=-.
(2)由(1)可得,cos(α-β)=.
因为α为锐角,sin α=,所以cos α=.
所以cos β=cos[α-(α-β)]
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
=×+×=.
5.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=
,点B的纵坐标是.
(1)求cos(α-β)的值.
(2)求2α-β的值.
【解析】(1)由题意,OA=OM=1,
因为S△OAM=和α为锐角,
所以sin α=,cos α=.
又点B的纵坐标是.
所以sin β=,cos β=-,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.
(2)因为cos 2α=2cos2α-1=2×-1
=-,
sin 2α=2sin α·cos α=2××=,
所以2α∈.
因为β∈,
所以2α-β∈.
因为sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-, 所以2α-β=-.。