《独立性检验的基本思想及其初步应用(第2课时)》教学设计

3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（第2课时）(谷杨华)
一、教学目标
1.核心素养:
通过学习独立性检验的基本思想及其初步应用，初步形成基本的数据分析能力，培养数学运算能力.
2.学习目标
（1）1.1.1.1 温习利用等高条形图、列联表、独立性检验的基本思想判断分类变量的关系
（3）1.1.1.2 理解独立性检验基本思想，区分反证法与独立性检验
（3）1.1.1.2 熟练运用独立性检验的基本思想判断分类变量的关系
3.学习重点
理解独立性检验基本思想，熟练运用独立性检验的基本思想判断分类变量的关系
4.学习难点
理解独立性检验的基本思想
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
任务1
阅读教材P12－P14，思考独立性检验与反证法有何区别？
任务2
独立性检验的基本思想是什么？
2．预习自测
1.经过对K2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当K2的观测值k>3.841时，我们()
A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B有关
B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B无关
C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下可认为A与B有关
D.没有充分理由说明事件A与B有关系
解： A
2.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的22⨯列联表：
计算得到2K 的观测值约为7.822.下列说法正确的是（ ）
A .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解：C 由随机变量2K 的值,查表知7.8226.6357.879<<,有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故本题答案选C. （二）课堂设计 1.知识回顾
（1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量成为分类变量. （2）列出两个分类变量的频数表，称为列联表.
（3）等高条形图是用来分析两个分类变量之间是否具有相关关系，可以形象、直观地反映两个分类变量之间的总体状态和差异大小，进而判断它们之间是否具有相关关系的图形. 2.问题探究
问题探究一 我们主要从几个方面来研究两个分类变量之间有无关系？
●活动一 回归旧知，忆分类变量间关系的判断
例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？
【知识点：分类变量，独立性检验，变量间的关系】
详解：根据题中所给数据列出列联表
相应的等高条形图如图所示：
比较来说，秃顶的病人中患心脏病的比例大一些，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”.
●活动二对比学习，提炼优缺点
根据数据有多大把握判断秃顶与患心脏病是否有关系？
在假设的前提下，，所以有99％
的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.
这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广.
点拨：（1）列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有关联关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有关联关系.
（2）独立性检验能精确判断可靠程度，而等高条形图的优点是直观，但只可以粗略判断两个分类变量是否有关系，一般在通过图表判断后还需要用独立性检验来确认.
问题探究二 什么是独立性检验？利用独立性检验判断两个分类变量的是否有关
系的一般过程是什么？ ●活动一 理论学习，提升高度
1.定义：利用随机变量2K 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. ●活动二 对比学习，提炼方法
通过反思例1的解答过程中，你能总结出利用独立性检验判断两个分类变量的是否有关系的一般过程吗？
一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{}21,x x 和{}21,y y ，其2×2列联表为下表：
我们构造一个变量：
)
)()()(()(22
d b c a d c b a bd ac n K ++++-=，其中d c b a n +++=.
利用随机变量2K 来确定在多大程度上可以认为两个分类变量有关系：
利用上述公式求出2K 的观测值为
)
)()()(()(2
d b c a d c b a bd ac n k ++++-=，其中d c b a n +++=.
再得出X 与Y 有关系的程度：
①如果k >10.828,就有99.9%的把握认为X 与Y 有关系； ②如果k >7.879,就有99.5%的把握认为X 与Y 有关系； ③如果k >6.635,就有99%的把握认为X 与Y 有关系； ④如果k >5.024,就有97.5%的把握认为X 与Y 有关系；
⑤如果k >3.841,就有95%的把握认为X 与Y 有关系； ⑥如果k >2.706,就有90%的把握认为X 与Y 有关系； ⑦如果k ≤2.706,就认为没有充分的证据证明X 与Y 有关系.
问题探究三 独立性检验的基本思想是什么？ ●活动一 深层思考，得出基本思想
通过上述问题，我们可以利用独立性检验来说明两个分类变量是否有关系，相关性有多强.那么为什么可以用独立性检验来判断两个分类变量的相关性呢？其基本思想是什么？
独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即：
0H ：两个分类变量没有关系
成立，在该假设下我们构造的随机变量2K 应该很小，如果由观测数据计算得到2K 的观测值k 很大，则在一定程度上说明假设不合理，即断言0H 不成立，即认为“两个分类变量有关系”；如果观测值k 很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝0H .
如何判断2K 的观测值k 的大小？确定一个正数0k ，当0k k ≥时认为2K 的观测值k 大.此时相应于0k 的判断规则为：如果0k k ≥，则认为“两个分类变量有关系”；否则认为“两个分类变量没有关系”.我们称这样的0k 为一个判断规则的临界值.
按照上述规则，把“两个分类变量没有关系”错误判断为“两个分类变量有关系”的概率为)(02k K P ≥
根据随机变量2K 的含义，可以通过)01.0635.6(2≈≥K P 来评价假设的不合理程度，又实际计算出635.6>k ，说明假设不合理的程度约为%99，级两个变量是由关系这一结论成立的可信度为%99. ●活动二 对比提升，区分不同
独立性检验的原理与反证法的原理是否一样呢？我们对比可以发现： （1）反证法原理是在假设0H 下，如果推出一个矛盾，就证明了0H 不成立.
（2）独立性检验原理是在假设0H 下，如果出现一个与0H 相矛盾的小概率事件，就推断0H 不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.
例 2 某高校为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校一年级200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“
课外体育达标”.请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
，其中n a b c d =+++.
参考数据：
【知识点：分类变量，独立性检验，变量间的关系】
详解：其列联表如下
故所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关； 点拨：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论.在分析问题时一定要注意这一点，不可对某个问题下确定性结论否则就可能对统计计算得结果作出错误的解释. 3.课堂总结
【知识梳理】
（1）利用随机变量2K 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. （2）独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量2K 应该很小，如果由观测数据计算得到2K 的观测值k 很大，则在一定程度上说明假设不合理.
（3）独立性检验的原理与反证法的原理比较：反证法原理是在假设0H 下，如果推出一个矛盾，就证明了0H 不成立；独立性检验原理是在假设0H 下，如果出现一个与0H 相矛盾的小概率事件，就推断0H 不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.
【重难点突破】
（1）独立性检验是对两个分类变量间是否有关系的一种案例分析方法，其分析方法有：等高条形图法和利用假设检验的思想方法，计算出来一个随机变量2K 的观测值来进行判断
（2）独立性检验的基本思想是：①假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.
②在此假设下随机变量2
K应该很能小,如果由观测数据计算得到2
K的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理.
③根据随机变量2
K的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99.9%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99.9%.
4.随堂检测
1.下列变量中不属于分类变量的是()
A.性别
B.吸烟
C.宗教信仰
D.国籍
【知识点：分类变量】
解：B“吸烟”不是分类变量，“是否吸烟”才是分类变量.
2.下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出()
A.性别与喜欢理科无关
B.女生中喜欢理科的比为80%
C.男生比女生喜欢理科的可能性大些
D.男生不喜欢理科的比为60%
【知识点：等高条形图】
解：C由等高条形图知：女生喜欢理科的比例为20%，男生不喜欢理科的比例为40%，因此，B、D不正确.从图形中，男生比女生喜欢理科的可能性大些. 3.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某区通过随机询问100名性别不同的居民是
否做到“光盘”行动，经计算：
2
2
()
3.03
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=≈
++++
参照附表，得到
的正确结论是（）
2
()
K k
≥0.100.050.025
A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关”
C.有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关”
D.有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关”
【知识点：独立性检验】
解：C
因为2.706＜3.030＜3.841所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.
4.若两个分类变量X和Y的22
⨯列联表为：
则认为“X与Y之间有关系”的把握可以达到（）
A.95%
B.5%
C.97.5%
D.2.5%
【知识点：独立性检验】
解：A 根据列联表可以得到有100个样本，且10,40,20,30a b c d ====，代入表达式，得到2 4.7K ≈，2 3.84()051.9P K ≥=.
5.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”.利用2×2列联表计算，得K 2＝3.918.经查对临界值表，知P (K 2≥3.814)＝0.05.给出下列结论：①有95%把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.其中正确结论的序号是( )
A .①③
B .②④
C .①
D .③ 【知识点：独立性检验】 解：C
6.独立性检验所采用的思路是：要研究X ，Y 两个分类变量彼此相关，首先假设这两个分类变量彼此________，在此假设下构造随机变量K 2.如果K 2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________. 【知识点：独立性检验】
解：无关系 不成立 （三）课后作业
基础型 自主突破
1.下列关于等高条形图的叙述正确的是( ).
A .从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B .从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C .从等高条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D .以上说法都不对 【知识点：独立性检验】
解：C 在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A 错.在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B 错.
2.如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据是（ ） A . 841.3>k
B . 841.3<k
C . 635.6>k
D . 635.6<k 【知识点：独立性检验】 解： A
3.下面关于2K 的说法正确的是（ ）
A . 2K 在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关
B . 2K 的值越大，两个事件的相关性就越大
C . 2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推定两个变量不相关
D . 2K 的观测值的计算公式是
)
)()()(()
(2d b c a d c b a bd ac n K ++++-=
【知识点：独立性检验】 解： B
4. 为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下，请判断有（ ）把握认为性别与喜欢数学课有关.
参考数据：()()()()()
2
2
n ad bc K a b a c c d b d -=
++++
A .0090
B .0095
C .0099
D .0099.9 【知识点：独立性检验】
解：D 2
2
300(401508030)11.1812070180230
K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯10.828>，因此有99.9%的把握认为
性别与喜欢数学课有关.
5.以下关于独立性检验的说法中，错误的是＿＿＿＿.（填序号） ①独立性检验依据小概率原理； ②独立性检验得到的结论一定正确；
③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；
④独立性检验不是判定两个分类变量是否相关的唯一方法. 【知识点：独立性检验】 解： ②
能力型 师生共研
6.有两个分类变量X 与Y 的一组数据，由其列联表计算得k ≈4.523，则认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为（ ）
A .95%
B .90%
C .5%
D .10% 【知识点：独立性检验】 解： C
7.某医疗所为了检查新开发的流感疫苗对甲型HINI 流感的预防作用，把1000名注射疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒记录作比较，提出假设
0:H “这种疫苗不能起到预防甲型HINI 流感的作用”，并计算()
2 6.6350.01P X ≥≈，
则下列说法正确的是（ ）
A .这种疫苗能起到预防甲型HINI 流感的有效率为
B .的可能性得甲型HINI
C .“这种疫苗能起到预防甲型HINI 流感的作用”
D .
“这种疫苗能起到预防甲型HINI 流感的作用” 【知识点：独立性检验】
解： C 因为()2 6.6350.01P X ≥≈，这说明假设不合理的程度为99%，即这种疫苗不能起到预防甲型HINI 流感的作用不合理的程度约为99%，所以有认为“这种疫苗能起到预防甲型HINI 流感的作用”，故选C.
8.某企业为研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了72
名员工进行调查，所得的数据如下表所示：
积极支持改革不太支持改革合计
工作积极28836
工作一般162036
合计442872
对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出的结论是（）
（参考公式与数据：
2
1
2
1
2
21
12
22
11
2
)
(
+
+
+
+
-
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
χ.当2 3.841
χ>时，有95%的把握说事件A与B有关;当2 6.635
χ>时，有99%的把握说事件A与B有关; 当2 3.841
χ<时认为事件A与B无关.）
A.有99%的把握说事件A与B有关
B.有95%的把握说事件A与B有关
C.有90%的把握说事件A与B有关
D.事件A与B无关
【知识点：独立性检验】
解：A因635
.6
41
.8
36
36
28
44
)
128
560
(
72
)
(2
2
1
2
1
2
21
12
22
11
2>
=
⨯
⨯
⨯
-
=
-
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
χ,故有的把握说事件A与B有关，所以应选A.
探究型多维突破
9.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：
（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关？
（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，从这5人中再随机抽取
3人赠送200元的护肤品套装，求这3人中“微信控”的人数为2的概率.
参考公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n =a +b +c +d .
参考数据：
【知识点：独立性检验,古典概型】 解:（1）由列联表可得
708.0649.050
504456)24302026(1002
2
<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K .
所以没有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关.
（2）记从（2）中抽取的5人中“微信控”的3人为321,,a a a ，“非微信控”的2人为21,b b ，从中随机抽取3人，所有可能结果：
),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(132211231131221121321b a a b b a b a a b a a b a a b a a a a a ， ),,(),,,(),,,(213212232b b a b b a b a a ，共10种；其中“微信控”的人数为2的结果有： ),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(232132211231131221121b a a b a a b b a b a a b a a b a a b a a ，共6种，
则所求概率为5
3
106==
P . 10.NBA 决赛期间，某高校对学生是否收看直播进行调查，将得到的数据绘成如下的2×2列联表，但部分字迹不清：
男生 女生 总计 收看 40 不收看 30 总计
60
110
将表格填写完整，试说明是否收看直播与性别是否有关？
附：)
)()()(()(22
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
P （K 2≥k ） 0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
【知识点：独立性检验,概率统计】
解析：
所以有99%的把握认为是否收看直播与性别有关，
（四）自助餐
1.利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定推断“X与Y有关系”的可信度，如果k＞5.024，那么就推断“X和Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过（）
A.0.25
B.0.75
C.0.025
D.0.975
【知识点：独立性检验】
答案 C
2. 关于独立性检验的说法中，错误的是（）
A．独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法
B.独立性检验得到的结论一定正确
C.样本不同，独立性检验的结论可能有差异
D.独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法
【知识点：独立性检验】
答案 B
3.在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲.下列说法正确的是（）
A.男、女人患色盲的频率分别为0.038,0.006
B.男、女人患色盲的概率分别为19
240
，
3
260
C.男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的
D.调查人数太少，不能说明色盲与性别有关
【知识点：独立性检验】
解：C
4.在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据（人数：）
数学成绩与物理成绩之间有把握有关？（）
A.90%
B.95%
C.97.5%
D.99%
【知识点：独立性检验】
解：D
5.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到22
⨯列联表，经计算得2 5.231
K=，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，22
( 3.841)0.05,( 6.635)0.01
P K P K
≥=≥=，则该研究所可以（）
A.有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”
B.有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”
C.有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”
D.有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”
【知识点：独立性检验】
解：A根据查对临界值表知22
( 3.841)0.05,( 6.635)0.01
P K P K
≥=≥=，故有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，即A正确；
6.为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关，随机调查了50名学生，得到如下2
2⨯列联表：
男 20 5 25 女 10 15 25 总计
30
20
50
那么，认为“高中学生的文理科选修与性别有关系”犯错误的概率不超过（ ） A .001.0 B .005.0 C .1.0 D .025.0 【知识点：独立性检验】
解： B 由公式；()
2
25020155108.3,30202525
k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 因为8.3>7.879，
所以我们认为“高中学生的文理科选修与性别有关系”犯错误的概率不超过005.0. 7.在对某小学的学生进行吃零食的调查中,得到如下表数据:
吃零食 不吃零食 总计 男学生 24 31 55 女学生 8 26 34 总计
32
57
89
根据上述数据分析,我们得出的K 2的观测值k 约为 . 【知识点：独立性检验】 解：3.689 由公式可计算得k =
≈3.689.
8.为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：
无效 有效 总计 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 总计
21
79
100
0K 2的观测值k ≈________(小数点后保留三位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________. 【知识点：独立性检验】 解： 4.882 5%
9.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考
查某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：
感染未感染总计
服用10 40 50
未服用20 30 50
总计30 70 100
附表：
参照附表，在犯错误的概率不超过（填百分比）的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”.
【知识点：独立性检验】
解：5％
()
841
.3
762
.4
50
50
70
30
40
20
30
10
1002
2>
≈
⨯
⨯
⨯
⨯
-
⨯
⨯
=
K，所以在犯错误不超过5％
的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” .
10.在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：
分数段29～4041～5051～6061～7071～8081～9091～100 午休考生
人数
23473021143114
不午休考
生人数
175167153017 3
及格人数不及格人数总计
午休
不午休
总计
(2)
复习有什么指导意义？ 【知识点：独立性检验】
解：(1)根据题表中数据可以得到列联表如下：
及格人数 不及格人数 总计 午休 80 100 180 不午休 65 135 200 总计
145
235
380
(2)计算可知，午休的考生及格率为P 1＝80180＝49，不午休的考生的及格率为P 2＝65
200＝1340，则P 1>P 2，同时由随机变量024.5728.5180200235145)1006513580(38022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K 因此，
我们有%5.97的把握可以判断午休与考生考试及格有关系，并且午休的及格率高，所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态.
11.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm )的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表： 甲厂：
乙厂：
（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
（2）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？
附：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
【知识点：独立性检验】
解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为
360
500
＝72%. 乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320
500
＝64%. (2)
K 2
的观测值k ＝()2
1000360180320140500500680320
⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈7.35>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.。