2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(天津卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（天津卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．（题文）已知函数f(x)=x 4+ax 3+2x 2+b （x ∈R ），其中a,b ∈R ．（1）当a =−103时，讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)仅在x =0处有极值，求a 的取值范围；（3）若对于任意的a ∈[−2,2]，不等式f (x )≤1在[−1,1]上恒成立，求b 的取值范围． 2．在数列{}n a 中，11a =，22a =，且()()111,2,0n n n a q a qa n q +-=+-≥≠； （1）设()*1,n n n b a a n N +=-∈，证明{}n b 是等比数列；（2）求数列{}na 的通项公式；（3）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项；3．如图，在四棱锥中，底面是矩形.已知.（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小.4．已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.5．（本小题满分12分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为． （Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．二、单选题6．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．5 7．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是A ．B ．C ．D ．8．设集合U ={x ∈N|0<x ≤8}，S ={1,2,4,5}，T ={3,5,7}，则S ∩(∁U T)=A ．{1,2,4}B ．{1,2,3,4,5,7}C ．{1,2}D ．{1,2,4,5,6,8}9．函数1y =+04x ≤≤）的反函数是 A ．()21y x =-（13x ≤≤） B ．()21y x =-（04x ≤≤）C ．21y x =-（13x ≤≤）D ．21y x =-（04x ≤≤）10．若等差数列{}n a 的前5项之和525S =，且23a =，则7a = （ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 11．设椭圆2222x y m n+=1(0,0)m n >>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为 A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 12．已知函数2,0(){2,0x x f x x x +≤=-+>，则不等式2()f x x ≥的解集是（ ）A ．[1,1]-B ．[2,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]- 13．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c << 14．设a >1，若对于任意的x ∈[a,2a]，都有y ∈[a,a 2]满足方程log a x +log a y =3，这时a 的取值集合为A ．{a|1<a ≤2}B ．{a|a ≥2}C ．{a|2≤a ≤3}D ．{2,3}三、填空题15．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．16．(x +2x)5的二项展开式中，x 3的系数是________________（用数字作答）． 17．若一个球的体积为，则它的表面积为________________． 18．已知平面向量(2,4)a =，(1,2)b =-．若()c a a b b =-⋅，则||c =_____________．19．已知圆C 的圆心与点P (2,1)-关于直线对称，直线与圆C 相交于A 、B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．20．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．参考答案1．（1）见解析；（2）[−83,83]；（3）(−∞,−4] 【解析】解：f ′(x)=4x 3+3ax 2+4x =x(4x 2+3ax +4)．当a =−103时，f ′(x)=x(4x 2−10x +4)=2x(2x −1)(x −2)． 令f ′(x)=0，解得x 1=0，x 2=12，x 3=2．当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0,12)，(2,+∞)内是增函数，在(−∞,0)，(12,2)内是减函数． （Ⅱ）解：f ′(x)=x(4x 2+3ax +4)，显然x =0不是方程4x 2+3ax +4=0的根． 为使f(x)仅在x =0处有极值，必须4x 2+3ax +4≥0成立，即有Δ=9a 2−64≤0． 解些不等式，得−83≤a ≤83．这时，f(0)=b 是唯一极值．因此满足条件的a 的取值范围是[−83,83]． （Ⅲ）解：由条件a ∈[−2,2]，可知Δ=9a 2−64<0，从而4x 2+3ax +4>0恒成立． 当x <0时，f ′(x)<0；当x >0时，f ′(x)>0．因此函数f(x)在[−1,1]上的最大值是f(1)与f(−1)两者中的较大者．为使对任意的a ∈[−2,2]，不等式f(x)≤1在[−1,1]上恒成立，当且仅当{f(1)≤1f(−1)≤1 ，即{b ≤−2−a b ≤−2+a，在a ∈[−2,2]上恒成立．所以b ≤−4，因此满足条件的b 的取值范围是(−∞,−4]．2．（1）略（2）111,1,{1,1.n nq q a q n q --+≠=-=（3）证明略【解析】 本题源自等差数列通项公式的推导．（1）证明：由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-（2n ≥），得11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，2n ≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．（2）由（1）211a a -=，32a a q -=，……21n n a a q --=，（2n ≥）．将以上各式相加，得211n n a a q q --=+++（2n ≥）．所以当2n ≥时，111,1,{1,1.n n q q a q n q --+≠=-=上式对1n =显然成立． （3）由（2），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠．由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ①整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是q = 另一方面，21133(1)11n n n n n q q q a a q q q+--+--==---， 15166(1)11n n n n n q q q a a q q q-+-+--==---． 由①可得36n n n n a a a a ++-=-，*n N ∈．所以对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．3．（Ⅰ）证明见解析．（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）证明：在中，由题设可得于是.在矩形中，.又，所以平面.（Ⅱ）由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由余弦定理得由（Ⅰ）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为.（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE因为平面，平面，所以.又，因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，，从而是二面角的平面角．由题设可得，于是再中，所以二面角的大小为．4．（Ⅰ）22145x y -= （Ⅱ）55(,)((,)44-∞-⋃⋃⋃+∞ 【解析】试题分析：(1)因为中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1（一3,0)，一条渐近线的方程是，两个条件即可求出双曲线的方程.(2)依题意可得通过假设直线l 的方程，联立双曲线方程消去y ，即可得到一个关于x 的二次方程，运用韦达定理以及判别式要大于零，即可写出线段MN 的中垂线的直线方程，从而求出直线与两坐标轴的交点，即可表示出所求的三角形的面积，从而得到一个等式结合判别式的关系式，即可得到结论. 试题解析：（1）设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b，-=>>，由题设得229{a b b a +==，解得224{ 5.a b ==，，所以双曲线C 的方程为22145x y -=； （2）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组22 { 1. 45y kx m x y =+-=，①②，将①式代入②式，得22()145x kx m +-=， 整理得222(54)84200k x kmx m ----=，此方程有两个不等实根，于是2540k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>，整理得22540m k +->.③ 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足： 12024254x x km x k +==-，002554m y kx m k =+=-，从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，， 由题设可得2219981·254542km m k k =--，整理得222(54)k m k-=，0k ≠， 将上式代入③式得222(54)540k k k-+->，整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠，解得02k <<或54k >， 所以k 的取值范围是550044⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，． 考点：1.待定系数的应用.2.直线与圆锥曲线的位置关系.3.三角形的面积的表示方法.4.韦达定理.5.代数的运算能力.5．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）1132【解析】试题分析：（I ）利用相互独立事件同时发生的概率公式，乙两次都为命中的概率为(1−p)2=116，即可求解p 的值；（II ）可采用对立事件的概率求解，甲至少命中一次的概率为1−(12)2，即可计算结果；（III ）采用相互对立事件同时发生的概率及概率的加法公式，即可求解两人共命中2次的概率．试题解析：（I ）乙投球的命中率为34．（II ）甲投球2次至少命中1次的概率为34. （III ）甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为1132． 考点：相互独立事件的概率的计算．6．D【解析】如图，由图象可知目标函数过点(1,0)A 时z 取得最大值，max 5z =，选D ．7．C【解析】A 、B 、D 直线,a b 可能平行，选C ．8．A【解析】因为∁U T ={1,2,4,6,8}，所以S ∩(∁U T)={1,2,4}，选A ．9．A【解析】当04x ≤≤时， []11,3，解1y =+()()211f x x -=-，选A ． 视频10．B【解析】 试题分析：由题意得，155155()25102a a S a a +==⇒+=，又3152a a a =+，则35a =，又23a =，所以等差数列的公差为2d =，所以72535213a a d =+=+⨯=． 考点：等差数列的通项公式．11．B【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m 、n 和c 的关系求得n.【详解】∴抛物线28y x =,4p ∴=,焦点坐标为(2,0)∴椭圆的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同∴椭圆的半焦距2c =,即224m n -= 212e m ==，4m n ∴===，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=， 故选B.本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b 和c 的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而n =,因而椭圆方程确定.12．A【解析】依题意得2200{{10011122x x x x x x x x x ≤>⇒-≤≤<≤⇒-≤≤+≥-+≥或或，选A ．13．D【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以, 故选D.14．B【解析】易得y =a 3x ，在[a,2a]上单调递减，所以y ∈[a 22,a 2]，故{a 22≥a a >1 ⇒a ≥2，选B ．15．10【解析】 试题分析：因为超过岁的职工为人，占比例为，所以抽取的人中超过岁的职工为人.考点：分层抽样的方法与运算.16．10【解析】 T r+1=C 5r x 5−r ⋅(2x )r =2r C 5r x 5−2r ，r =1，所以系数为10．17．12π【解析】由4π3R 3=4√3π得R =√3，所以S =4πR 2=12π．18．【解析】因为(2,4)6(1,2)(8,8)c =--=-，所以||82c =．19． 【解析】设圆心坐标C(a ，b)∵圆心与P 关于直线y=x+1对称∴直线CP 与y=x+1垂直∵y=x+1的斜率为1∴直线CP 的斜率为-1∴化简得：a+b+1=0 ①∵CP 的中点在直线y=x+1上∴化简得：a-b-1=0 ②联立①②得到：a=0，b=-1∴圆心的坐标为：(0，-1)∵圆心C 到直线AB 的距离d=, ∴根据勾股定理得到半径=18∴圆的方程为.20．432【解析】数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2．所以共有44444442218432A A A +==种不同排法．。