【精准解析】辽宁省沈阳市第一七〇中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷

沈阳市第一七〇中学2019-2020学年高一联合体期末考试
数学 第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知a 是第一象限角，那么2
a
是（） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角
【答案】D 【解析】 【分析】 根据象限角写出
2a 的取值范围，讨论即可知2
a
在第一或第三象限角 【详解】依题意得22()2
k a k k Z π
ππ<<+∈，
则()24
a k k k Z π
ππ<
<+∈， 当2k n n Z =∈， 时，2a
是第一象限角
当2+1k n n Z =∈， 时，2
a
是第三象限角
【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题． 2.复数2
12i i
-=+（ ） A. i B. i -
C. 4355
i -
- D. 4355
i -
+ 【答案】A 【解析】
2(2)(12)512(12)(12)5
i i i i
i i i i ---===++-，故选A 3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A. 2 B.
2sin1
C. 2sin1
D. sin 2
【答案】B 【解析】
先由已知条件求出扇形的半径为
1
sin1
，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，
由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1
sin1R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是2
2sin1
R =，
故选：B.
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题. 4.若在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
根据2cos B sin A ＝sin C ()sin A B =+，由两角和与差的三角函数化简求解. 【详解】∵在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ， ∴2cos B sin A ＝sin C ＝sin （A +B ）， ∴2cos B sin A ＝sin A cos B +cos A sin B ， ∴sin A cos B ﹣cos A sin B ＝0， ∴sin（A ﹣B ）＝0，
A B ππ-<-<，
∴A ﹣B ＝0，即A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5.如果
4
2
π
π
α<<
，那么下列不等式成立的是（ ）
A. sin cos tan ααα<<
B. tan sin cos ααα<<
C. cos sin tan ααα<<
D. cos tan sin ααα<<
【答案】C
【分析】
分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.
【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
6.已知向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，则a 在b 方向上的投影为( ) A. 2- B. 1
C. 1-
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量的模的公式，化简得2
14416b a b +-⋅=，2
1444b a b ++⋅=，求得32
b =
，3
2
a b ⋅=-，再结合向量的投影的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=， 可得()
2
222
24414416a b
a b a b b a b -=+-⋅=+-⋅= (1)
(
)
2
2
2
2
244144=4a b
a b a b b a b +=++⋅=++⋅ (2)
联立(1)(2)解得3
2b =
，32
a b ⋅=-， 所以a 在b 方向上的投影为
1a b b ⋅=-.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及熟练应用向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（
2
π，32π）内的图象是( )
A. B. C.
D.
【答案】D 【解析】
解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x
x x x
<≥
分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．
8.对一切R θ∈，2
1
3sin cos 2
m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是（） A. 11,
32⎛⎫
- ⎪⎝⎭ B. 121,,3⎛
⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
C. 11,23⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D. 11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】B
【分析】
先求得sin cos θθ的取值范围，根据恒成立问题的求解策略，将原不等式转化为
211
322
m m ->，再解一元二次不等式求得m 的取值范围.
【详解】解：对一切θ∈R ，213sin cos 2m m θθ->恒成立，转化为：
213sin cos 2m m
θθ->的最大值，又θ∈R 知111sin cos sin 2,222θθθ⎡⎤=
∈-⎢⎥⎣⎦
，sin cos θθ的最大值为1
2；所以
211322m m ->，解得13m <-或1
2
m >.
故选B.
【点睛】本小题主要考查恒成立问题的求解策略，考查三角函数求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．
A. 38z =
B. z
C. z 的共轭复数为1
D. 24z =
【答案】AB 【解析】 【分析】
利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.
【详解】解：
z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±
复数z a =+在复平面内对应点位于第二象限1a ∴=-
选项A: 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=
选项B: 1z =-
选项C: 1z =-的共轭复数为1z =--
选项D: 222(1)(1)+2(2-+=--=-- 故选：AB ．
【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:
复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．
10.设向量(),2a k =，()1,1b =-，则下列叙述错误的是( ) A. 若2k <-时，则a 与b 的夹角为钝角 B. a 的最小值为2
C. 与b 共线的单位向量只有一个为22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
D. 若2a b =，则k =- 【答案】CD 【解析】 【分析】
根据a 与b 的夹角为钝角，得出0a b ⋅<且a 与b 不共线，求出k 的取值范围，可判断A 选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B 选项的正误；根据与b 共线的单位向量为b b
±
可判断C 选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D 选项的正误.
【详解】对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则0a b ⋅<且a 与b 不共线，则
20
2
a b k k ⎧⋅=-<⎨
-≠⎩， 解得2k <且2k ≠-，A 选项中的命题正确；
对于B 选项，242a k =
+≥=，当且仅当0k =时，等号成立，B 选项中的命题正确；
对于C 选项，2b =，与b 共线的单位向量为b
b ±
，即与b
共线的单位向量为⎝⎭
或22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，C 选项中的命题错误； 对于D 选项，222a b =
=，即=2k =±，D 选项中的命题错误.
故选：CD.
【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及向量的夹角、模长以及单位向量等相关知识，考查推理能力，属于中等题.
11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A. sin :sin :sin 4:5:6A B C =
B. ABC ∆是钝角三角形
C. ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍
D. 若6c =，则ABC ∆外接圆半径为
7
【答案】ACD 【解析】 【
分析】
由已知可设91011a b x a c x b c x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
，求得4,5,6a x b x c x ===，利用正弦定理可得A 正确；利用余弦
定理可得cos 0C >，三角形中的最大C 角为锐角，可得B 错误；利用余弦定理可得3
cos 4
A =
，利用二倍角的余弦公式可得：cos2cos A C =，即可判断C 正确，利用正弦定理即可判断D
正确；问题得解.
【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=
所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===
所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，
又()()()222
2224561
cos 022458
x x x a b c C ab x x +-+-===>⨯⨯，所以C 角为锐角，所以B 错误；
由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，
又()()()222
2226543
cos 22654
x x x c b a A cb x x +-+-===⨯⨯，
所以2
1
cos22cos 18
A A =-=
,所以cos2cos A C = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =
，又sin C ==
所以
2R =
7
R =，所以D 正确； 故选ACD
【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，还考查了二倍角的余弦公式及计算能力，考查方程思想及转化能力，属于中档题． 12.已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+
- ⎪⎝
⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，则n m -的值不可能是( )
A.
5π
12
B.
7π12
C.
34
π D.
11π
12
【答案】CD 【解析】 【分析】
先化简()f x 的解析式，作出()f x 的图象，容易得出n m -的取值范围，则可得答案. 【详解】()π1sin sin 34
f x x x ⎛⎫=⋅+
- ⎪⎝
⎭
131=sin sin cos
224
x x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭ 2131=sin sin cos 224x x x +- ()
131
=
1cos 2sin 2444
x x -+- 131sin 2cos 222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
1π=sin 226x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
作出函数()f x 的图象如图所示,在一个周期内考虑问题，
易得π,2
5π7π66m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或π5π,267π6m n ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
满足题意，
所以n m -的值可能为区间π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，内的任意实数.
所以A,B 可能，C,D 不可能. 故选CD.
【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象与性质.解题的一般思路是先把解析式化成sin()y A x ωϕ=+的形式，再结合图象研究性质.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分.共20分. 13.求值：sin28cos73sin62cos17︒︒︒︒-=_________．
【答案】-【解析】 【分析】
利用诱导公式和两角差的正弦公式进行化简求值.
【详解】依题意原式()()sin 28cos73sin 9028cos 9073
=---
()()2sin 28cos 73cos 28sin 73sin 2873sin 452
=-=-=-=-
.
故答案为：2
-
【点睛】本小题主要考查诱导公式、两角差的正弦公式，属于基础题.
14.在AOB 中，已知1OA =，OB =2
AOB π
∠=
.若点C ，D 满足
971616OC OA OB =-
+，()
1
2CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________. 【答案】15
64
【解析】 【分析】
以,OA OB 为基底向量表示CD CO ，，再由数量积的运算律、定义计算即可．
【详解】∵1
()2
CD CO CB =
+，∴D 为OB 的中点，从而12OD OB =，
∴97191
161621616
CD CO OD OA OB OB OA OB =+=-+=+
∵1OA =，OB =2
AOB π
∠=
，∴0OA OB ⋅=
∴9197
()()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅-
221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯15
64
=. 故答案为：15
64
．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解．属于中档题.
15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()22
14
S a c =+，
若2sin sin B A C =，则角B 的值为______.
【答案】
512
π 【解析】 【分析】
根据面积公式得到和余弦定理得到22sin 2cos ac B b ac B =+，结合2sin B A =
sin C 得到1sin 42B π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，化简得到答案.
【详解】因为1
sin 2S ac B =
，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42
a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a c
b a
c B +=+ 所以22sin 2cos ac B b ac B =+
由2sin sin B A C =
结合正弦定理，得2b =
所以2sin 2cos ac B ac B =
+)sin cos 1B B -=，所以1sin 42
B π⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭， 因为()0,B π∈，所以得4
6
B π
π
-=
，或54
6
B π
π-
=
（舍去），所以512B π∠=.
故答案
：
512
π
【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，意在考查学生对于三角公式的综合应用能力.
16.函数()3sin 2f x x x =-[]()
0,2x π∈的最大值为_________，所有零点之和为_________.
【答案】 (1). 2 (2). 143
π
【解析】 【分析】
（1）化简函数得()26f x x π⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
，可得()max 2f x =；
（2）令6
t x π
=-
，将函数()f x 的零点问题转化为sin y t =
与3
3
y =
的交点求解，作出两个函数的图象，根据图象可求解. 【详解】（1）
()3sin 3cos 2f x x x =--，()23sin 26f x x π⎛
⎫∴=-- ⎪⎝
⎭，
又[]0,2x π∈，11,666x π
ππ⎡⎤
∴-
∈-⎢⎥⎣⎦
，()max 232f x ∴=-； （2）令6
t x π
=-
，则()0f x =即可转化为311sin ,,66t t ππ⎡⎤
=
∈-⎢⎥⎣⎦
，作出sin y t =与3
3
y =
，
由图知：交点关于直线32
2
，x x π
π
=
=
对称，设函数()f x 的零点为1x ，2x ，3x ，4x 则有 126
6
x x π
π
π-
+-
=，3436
6
x x π
π
π-
+-
=
1234143
x x x x π
∴+++=
. 故答案为：(1). 232- (2).
143
π
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，函数零点问题的求解，考查了数形结合的数学思想，转化与化归的思想.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知()()()()()
3sin 3cos 2sin 2cos sin f ππαπαααπαπα⎛⎫
--- ⎪
⎝⎭=
---
（1）化简()f
α
（2）若α是第二象限角,且1cos 23απ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
,求()f
α的值.
【答案】（1）cos α（2
）3
- 【解析】 试题分析：
（1）根据诱导公式对()f
α进行化简即可．
（2）先由1
cos 23
πα⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
求得1 sin 3
α=，再根据（1）的结论及同角三角函数关系式求解． 试题解析：
（1）()()()()()()()3sin 3cos 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin f ππαπααααααα
παπααα
⎛⎫
--- ⎪
-⎝⎭===----． （2）
1cos sin 23παα⎛⎫
+=-=- ⎪⎝⎭
，
1
sin 3
α∴=
， ∵ α是第二象限角， ∴cos
α==， ()cos 3
f αα∴==-
． 18.求下列各式的值.
（1）
cos 20cos 40cos80︒︒︒； （24cos80︒︒+. 【答案】（1）1
8
（2）1 【解析】 【分析】
（1）利用二倍角的正弦公式化简即可；
（2）先切化弦，再利用两角差的正弦公式化简即可.
【详解】解：（1）原式1
sin160
sin 20cos20cos40cos8018sin 20sin 208
︒
︒
===
；
4sin10cos104sin10cos10cos10
︒︒︒︒︒
︒︒
++= （2
）原式()2sin 30102sin 20cos10cos10
︒︒︒︒︒︒︒
+-+== cos10cos10
︒
︒
= 1=
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，涉及了二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式，属于常考题.
19.已知向量()1,1a =，()3,4b =-. （1）求a b -的值 ；
（2）求向量a 与a b -夹角
的
余弦值. 【答案】（1）5；（2）10
【解析】 【分析】
（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可；
（2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值．
【详解】（1）向量a =（1，1），b =（﹣3，4）， 则a b -=（4，﹣3）， ∴|a b -|=
=5；
（2）由（1）向量a 与a b -夹角的余弦值为 cos a ＜，(
)10
25a a b
a b a a b
⋅--=
=
=⨯⨯-＞．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算与模长和夹角的计算问题，是基础题． 20.
已知函数()
()cos sin f x x x x =. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若角(0,)απ∈
，3()2
5=
αf 2sin(+)3πα的值. 【答案】（1）T π=；单调递增区间为51212k k k Z ππ
ππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦，，；（2
）23sin(+
)310
πα-=
【解析】 【分析】
（1）利用降幂公式结合辅助角公式进行三角恒等变换得到(
)sin(2)3
f x x π
=+
+
，由2222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得单调增区间；
（2
）根据3()2
5=
αf ，可得3sin()35πα+=，由2sin(+)sin()333πππαα=++结合两角和
的
正弦公式即可得解.
【详解】（1）2()sin cos f x x x x =+
1sin 222x x =
++
sin(2)3x π=++
T π∴=
令2222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，
解得51212
k x k k ππ
ππ-
+≤≤+∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
，，
（2）因为33
()+25=αf ，所以333sin()+35πα++= 故3sin()35
π
α+
= (0)απ∈，，4(
)3
3
3
π
ππ
α+
∈，
又3
sin()35
π
α+
=，4cos()35πα∴+=-
2sin(+)sin()333
πππ
αα∴=++
sin(+)cos cos()sin 3333
ππππ
αα=++ 3143343
525-=⨯-⨯=
即2343
sin(+
)310
πα-=
. 【点睛】此题考查三角函数综合应用，涉及三角恒等变换，求三角函数的最小正周期和单调区间，利用和差公式解决给值求值的问题，属于中档题.
21.西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE ，其中三角形区域ABE 为球类活动场所；四边形BCDE 为文艺活动场所，
,,,,AB BC CD DE EA ，为运动小道（不考虑宽度）0120BCD CDE ∠=∠=，060BAE ∠=，
226DE BC CD ===千米.
（1）求小道BE 的长度；
（2）求球类活动场所ABE ∆的面积最大值. 【答案】（1）372633
【解析】
【分析】
（
1）连接BD ，在△BCD 中由余弦定理得BD 的值，在Rt△BDE 中，求解BE 即可； （2）设∠ABE ＝α，在△ABE 中，由正弦定理求解AB ，AE ，表示S △ABE ，然后求解最大值． 【详解】如解图所示，连接BD ， （1）在三角形BCD 中，32
DE
BC CD ==
=千米，0120BCD ∠=， 由余弦定理得：2222?·cos 27BD BC CD BC CD BCD =+-∠=， 所以33BD =
∵BC CD =，0120BCD ∠=，∴030CDB CBD ∠=∠=
∵0120CDE ∠=，∴0001203090BDE CDE CDB ∠=∠-∠=-= 在Rt BDE ∆中，()
2
22
233637BE BD DE =
+=
+=（千米）
∴小道BE 的长度为37千米；
（2）如图所示，设ABE α∠=，∵060BAE ∠=， ∴000018018060120AEB BAE ααα∠=-∠-=--=-
在三角形ABE 中，由正弦定理可得：37
221
sin sin sin 3
AB AE BE AEB ABE BAE ====∠∠∠， ∴(
)
221sin 120AB α=-，221sin AE α=， ∴01
sin602
ABE S AB AE ∆=
⨯ ()
013221221120sin 2αα=
⨯-，
()()
00
1cos 120cos 1202αααα⎫⎡⎤=--+---⎬⎣⎦⎭
，
()
0120224
α=
-+
， ∵000120α<<，∴0001202120120α-<-<，
故当060α=时，ADE S ∆取得最大值，最大值为244
=
+=
.
∴球类活动场所ABE ∆的面积最大值为
4
平方千米. 【点睛】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22.已知向量(1,cos ),(sin ,3),(0)m x n x ωωω==> ，函数()=⋅f x m n ，且()f x 图象上一个最高点为π(
,2)12P 与P 最近的一个最低点的坐标为7π
(,2)12
- . (Ⅰ)求函数()f x 的解析式；
(Ⅱ)设a 为常数，判断方程()f x a =在区间π
[0,]2
上的解的个数； （Ⅲ）在锐角ABC ∆中，若π
cos()13B -=，求(A)f 的取值范围.
【答案】（1）()2sin(2)3
f x x π
=+ （2）见解析（3）(
【解析】
试题分析：（1）先根据向量数量积得()sin f x m n x x ωω=⋅=+，再根据配角公式得
()2sin 3f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.（2）根据自变量范围画出函数图像，根据正弦函数图像确定交点个
数（3）先根据条件求出锐角B ，再根据锐角三角形确定角A 范围为6
2
A π
π
<<
，最后根据正
弦函数性质确定()f A 的取值范围.
试题解析：(Ⅰ)()sin f x m n x x ωω=⋅= 12sin 2x x ωω⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
2sin 3x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
图象上一个最高点为P ，与P 最近的一个最低点的坐标为,
7212122T πππ∴
=-=，T π∴=，于是22T πω==. 所以()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
(Ⅱ)当x ∈ 0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤，由()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
图象可知： 当)
3,2a ⎡∈⎣时，()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有二解； 当)
3,3a ⎡∈-⎣或2a =时，()f x a =在区间0,2π⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上有一解； 当3a <-或2a >时，()f x a =在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上无解.
（Ⅲ）在锐角中，，
.
又
，故
，. 在锐角
中,
,,2
2
6
2
A
A B
A π
π
π
π
+∴
<<
.
242333A πππ<+<,33sin 2,3A π⎛⎫⎛
⎫∴+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()2sin 23f A A π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭ ()
3,3.∈- 即
的取值范围是(3,3.-
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．。