江苏省扬州市2015年高三数学第四次模拟考试试卷

扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题
高 三 数 学 参 考 答 案
第一部分
1．已知集合{1,2,4},{2,3,4,5}A B ==，则A
B =
．{2，4}
2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．13i -
3．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 ．2,10x R x ∃∈+≤ 4．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．
45
5．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的 概率是 ．
910
6．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = －1
7．锐角ABC △中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4,5a b ==, ABC △的面积为53则c
．218．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 ．93π 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22
44a S a S =，则1
2015S S 等于 ．1 10．若函数()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3
P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等于 ．23
π
析：∵函数
()cos f x k x =⋅的图象经过点(,1)3
P π，∴()cos 123
3
f k k ππ==⇒=，
∴x x f cos 2)(=，()2sin f x x '=-，()2sin
33
3
k f ππ
'==-=-
11．若直线30x y m ++=截半圆225y x =-8，则m = ．310-12．平面内四点,,,O A B C 满足4,25,5,0OA OB OC OB OC ==⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．15
13．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F 3
，过原点O 且倾斜角为3π的直线l 与椭
圆E 相交于A 、B 两点，若△AFB 的周长为813
4，则椭圆方程为 ．2214x y += 析：由已知2a b =，椭圆方程可化为：2
2
2
4x y a +=，将:3l y x =代入得13
||A x =
，
D
B
由椭圆对称性，△AFB 的周长=2||24||A a AB a x +=+，可得2a =． 14．已知函数||()()x x f x x R e
=
∈，12
()421()x x g x a a a a R +=-+⋅++-∈， 若{|(g())}R A x f x e =>=， 则a 的取值范围是 ．[1,0]- 析：当0x ≥时，1'()x
x
f x e -=
，得()f x 在[)0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，当1x =时有极大值1e ； 当0x <时，1
'()0x x f x e
-=<恒成立，()f x 是减函数，且(1)f e -=．
设()g x t =，由()f t e >得1t <-，即()1g x <-对x R ∈恒成立，22()(2)21x g x a a a =--++-，
当0a >时，2()21g x a a ≤+-，而2
211a a +->-，不合题意；
当0a ≤时，2()(,1)g x a a ∈-∞+-，∴2
11a a +-≤-，得10a -≤≤． 15．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是ABC ∆的中心． ⑴若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；
⑵若AD 上存在点N ，使//MN 平面BCD ，求AN ND
的值．
证⑴连AM 并延长交BC 于E ，连DE
因为M 是等边ABC ∆的中心，所以E 是BC 的中点，AE BC ⊥ ……………2分
又因为DM BC ⊥，AE DM M =，,AE DM ⊂平面ADE ，
所以BC ⊥平面ADE ， ……………5分 因为AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥； ……………7分 ⑵,M AE AE ∈⊂平面ADE ，所以M ∈平面ADE ， 因为AD 上存在点N ，所以N ∈平面ADE ，
所以MN ⊂平面ADE ， ……………9分 又//MN 平面BCD ，平面ADE
平面BCD DE =，
所以//MN DE ， ……………12分 在ADE ∆中，因为12
AM ME =，所以12AN ND =． ……………14分
16．ABC ∆的内角,A B 满足2cos
sin 22A B A B a i j +-=+(单位向量,i j 互相垂直)，且6
||2
a =．
⑴求tan tan A B 的值； ⑵若sin A =
，边长2a =，求边长c ． 解⑴因为2
2
23
||2cos
sin 222
A B A B a +-=+=， 即1cos()3
1cos()22
A B A B --+++
=， ……………3分
所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02
A B A B
A B A B +--=，
化简整理，得
13tan tan 022
A B
-=，故tan tan A B =13.
……………7分
(2)由(1)可知,A B 为锐角．因为sin A =
，所以2tan 3A =，1tan 2B =，
tan tan 7tan tan()1tan tan 4A B C A B
A B +=-+=-
=--，sin C =……………12分
因为正弦定理sin sin a c
A C
=
，所以
227c =
，所以边长c =． ……………14分 17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文
物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2 倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司 进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元． ⑴若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和； ⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？ 解⑴2
2
48000
500(2.550.6)230052.5⨯-+
=； ……………4分 ⑵保护罩的底面边长为x 米，底面积为S 平方米，体积为V 立方米，总费用为y 元，则 48000500(0.6)y V S =-+
=2248000500(20.6)x x x ⋅-+3
2
480001000300x x
=+-，（ 1.2x ≥）……9分 52
33
9600032'30003000x y x x x
-=-=，令'0y =得2x =， 当1.22x ≤<时'0y <，y 递减；当2x >时'0y >，y 递增∴当2x =时，y 有极小值即最小值．
答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米． ……………14分
18．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，
且F 是AT 的中点．
⑴求椭圆的离心率；
⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在
x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．
①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求
1
2
S S ； ②若原点O 到直线TMN 2041
解⑴因为F 是AT 的中点，所以2
2a a c c
-+=，即(2)()0a c a c -+=， 又a 、0c >，所以2a c =，所以1
2
c e a ==； ……………4分 ⑵
①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，
11
NF MF
e NN MM ==， 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴
1
2
MNF TNF S S ∆∆= 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴
121
2
S S =； ……………8分 解法二：∵2a c =，∴3b c =，椭圆方程为22
22143x y c c
+=，(,0)F c ，(4,0)T c
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c
+=上，即有22
211334y c x =-，
∴2
2
2
2
2
11113()()34
MF x c y x c c x =-+=-+-
22111111124|2|2422
x cx c x c c x =
-+=-=-
同理21
22
NF c x =-
， 又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴
1
2
MNF TNF S S ∆∆=， 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴
121
2
S S =； ……………8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为22
22143x y c c
+=，
由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，
又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪
⎨
⎪⎩
220022220022143(24)4143x y c c
x c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩
2200
2
222
0022143(2)1434
x y c c x c y c c +=-+= 两式相减得：2
20022
(2)3
444
x x c c c --=，解得074x c =， ……………10分
可得08y =，故直线MN
的斜率为87644
k c c ==-
-， ……………13分 直线MN
的方程为(4)6
y x c =-
-
60y +-= 原点O 到直线TMN
的距离为d =
=，
41=
c = 故椭圆方程为
2212015
x y +=． ……………16分
解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为22
22143x y c c
+=，
由①知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，
直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：
222
22(4)143x k x c c c
-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*） 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意：⎧
⎪
⎨
⎪⎩
2
122
222
1223243
641243
ck x x k k c c x x k +=+-=
+ 由⎧⎨⎩2
12212324324ck
x x k x x c +=+-=解得：⎧⎨⎩ 2122
2
21644316443
ck c x k ck c
x k +=+-=+ 所以22222222
1641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2
536k =
，即6
k =-． 直线MN
的方程为4)y x c =-
60y +-= 原点O 到直线TMN
的距离为d =
=
，
41=
，解得c = 故椭圆方程为
2212015
x y +=． ……………16分
19．设m 个正数m a a a ,...,,21()
*
4,m m N ≥∈依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,k k a a a a a -*(,)k m k N <∈
是公差为d 的等差数列，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． ⑴若12a d ==，8k =，求数列m a a a ,...,,21的所有项的和m S ； ⑵若12a d ==，2015m <，求m 的最大值； ⑶是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++
++=++++？若存在，求出k 值；
若不存在，请说明理由．
解⑴依题意16k a =，故数列m a a a ,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，
此时10m =，84m S =， ……………4分 ⑵由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是首项为2、公差为2的等差数列知，2k a k =， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是首项为2、公比为2的等比数列知，22m k k a +-=， 故有222
m k
k +-=，12
m k
k +-=，即k 必是2的整数次幂，
由1
22
k
m k +⋅=知，要使m 最大，k 必须最大，
又2015k m <<，故k 的最大值102，从而101024
122
2m +⋅=，m 的最大值是1033． ……………9分 ⑶由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m k k a a +-=⋅， 故1(1)a k d +-112m k a +-=⋅，11(1)(21)m k k d a +--=- 又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-++
+=++++，12m a a =
则11112(1)32212
m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(2
1)]32(21)2m k
m k ka k a a +--+-=⨯-， 则111
26(21)22
m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-， 显然6k ≠，则112182166m k k k k +-+==-+-- 所以6k <，将12345k =，
，，，一一代入验证知， 当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =，
综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． ……………16分
20．设函数1
()1f x x =-，()1
x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）． ⑴若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；
⑵若函数
(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值；
⑶若()()x
f e
g x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 解⑴由()()()0F x f x g x =
-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a
=-都不是此方程的根，
当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2
(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<， 故当(3,1]a ∈-时，函数()()()F x f x g x =
-没有零点； ……………3分
⑵21'()f x x
=，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ，
则有⎧
⎪⎨
⎪⎩
()()'()'()
P P P P P P y f x y g x f x g x ===即⎧⎨⎩
()()'()'()
P P P P f x g x f x g x ==也就是⎧⎪
⎨
⎪⎩22
1
1111()(1)P P P P P
x x ax x ax -=+=+
当1P P ax x +=时111P x -=，无解；当1P P ax x +=-时1
11P x -=-，12
P x =，3a =-；…………8分 ⑶由题得111x
x e ax -
≤+在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)x
e --∈， 所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01
x
ax ≥+在[0,)+∞上恒成立，
所以，0a ≥. ……………10分
解法一：不等式11
x x e ax --≤
+恒成立等价于(1)(1)0x
ax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立， 令1()(1)(1)1
x x
ax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1
'()1x ax a h x a e -+=+-， 再设()'()m x h x =，则21
'()x
ax a m x e
-+-=，同时，'(0)21m a =-，'(0)0h =，(0)0h =， ①当0a =时，1
'()0,x m x e
=-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴ '()'(0)=0h x h ≤，
∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴ ()(0)=0h x h ≤，即()()x
f e
g x ≤在[0,)+∞上恒成立，
②当1
02
a <≤
时，21
()
'()x
a a x a m x e ---
=，因为210a a
-->，所以'()0m x <，
则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴ ()h x 在[0,)+∞上单减， ∴()(0)=0h x h ≤，即()()x
f e
g x ≤在[0,)+∞上恒成立，
③当1
2
a >
时，21
()
'()x
a a x a m x e ---
=，210a a
->
若210a x a -<<
，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21
(0,)a a -上单调递增，所以'()'(0)0h x h >= 即()h x 在21
(0,)a a
-上也单调递增，∴()(0)=0h x h >，即()()x f e g x ≥，不满足条件.
综上，()()x
f e
g x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2
. (16)
分
解法二：不等式11
x x e ax --≤
+恒成立等价于(1)(1)0x x
ax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立， 设()(1)(1)=(1)(1)x
x
x
h x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()x
h x e ax x a a =-+-， 再设()'()()x
m x h x e ax x a a ==-+-，则'()[(1)(21)]x
m x e a x a =-+- 同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，
①当1a ≥时，'(0)210m a =->，故函数'()h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=， 即()()x
f e
g x ≤，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，
②当102a ≤≤
时2101a a -≥-，21'()(1)()01
x a m x a e x a -=-+<-，故函数'()h x 是(0,)+∞上的减函数 所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=， 即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立，
③当
112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1
a x a -∈--时，'()0m x >， 故函数'()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21
(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=，
所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21
(0,)1
a x a -∈--时，()(0)0h x h >=，
即()()x
f e
g x ≥，与()()x
f e
g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，
综上可得，使()()x
f e
g x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2
．
第二部分
21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
，计算2M β． 解法一：矩阵M 的特征多项式为221
()4312
f λλλλλ- -=
=-+- -，令()0f λ=，
解得1,3λλ==，对应的一个特征向量分别为1211,11αα⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
， ……………5分 令12m n βαα=+，得1,4m n =-=，
22221212(4)()4()M M M M βαααα=-+=-+
22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
． ……………10分
解法二：因为2
21211212M 5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， ……………5分
所以2335537M β5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦
． ……………10分 21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线l
的参数方程是(1
2
x t y t m ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值． 解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以22
40x y y +-=，
即圆C 方程为2
2
(2)4x y +-= ……………4分
又由1
2
x y t m ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
，消t
得0x =， ……………8分 因为直线l 与圆C
2=
得2m =，
又0m >，所以
432m =． ……………10分 22．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直， 且11,//2AB BE AF BE AF ==
=，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为 DF 中点．
⑴求异面直线DA 与PE 所成的角；
⑵求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．
解：在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠=
=， 所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=
所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥
又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，
AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF
如图，建立空间直角坐标系{,,}AB AF AC ，则
13(0,0,0),(1,0,0),3),(3),(1,1,0),(0,2,0),(,1,22
A B C D E F P -- ⑴3
3(1,0,3),(,0,22
DA PE =-=- 设异面直线DA 与PE 所成的角为α，则3cos |||||||23DA PE DA PE α⋅===⨯⨯ 所以异面直线DA 与PE 所成的角为6
π； ……………5分 ⑵(0,2,0)AF =是平面ABCD 的一个法向量，
设平面DEF 的一个法向量(,,)n x y z =，(2,1,3),(1,2,3)DE DF =-=-
则(,,)(2,1,3)230(,,)(1,2,3)230
n DE x y z x y z n DF x y z x y z ⎧⋅=⋅-=+=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩， 得33z x y ==，取1x =，则1,3y z ==
故(1,1,3)n =是平面DEF 的一个法向量，
设平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β，
则2cos ||||5||||2AF n AF n β⋅===⨯⨯． ……………10分 23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,
,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，， 集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤++
+≤”的元素个数记为n m
S ． ⑴求22S 和42S 的值；
⑵当m n <时，求证：n m S 111322n m n +++<+-． 解⑴228S =，4232S =； ……………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．
若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，
故共有112n n C -种可能，即为112n C ，
同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，
故共有222n n C -种可能，即为222n C ，
……
若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，
故共有2n m m n C -种可能，即为2m m n C ，
所以1122222n m m m n n n S C C C =++⋅⋅⋅+，
因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k n C -≥
所以1122222n m m m n n n S C C C =+++
001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-+
+- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++
11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． ……………10分。