青岛市届高三第二次模拟考试

青岛市2015届高三第二次模拟考试
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知
11a
bi i
=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D
【答案】
D
【解析】由11a
bi i =-+，整理得(1)(1)a b b i =++-，所以
1,
01,a b b =+⎧⎨
=-⎩即2,
1.a b =⎧⎨=⎩
所以
|||2|a bi i -=-=．
【考点】复数的运算．
2.已知集合2{|20}M x x x =->，22
{|1}N x x y =+=，则M N =I A ．[1,2)- B ．(0,1) C ．(0,1] D ．∅ 【答案】C
【解析】由题意可知{}|02M x x =<<，{}|11N x x =-≤≤， 所以{}(]|010,1M N x x =<≤=I ． 【考点】集合的交集运算．
3.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校
学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为
A ．84
B ．78
C ．81
D ．96 【答案】B
【解析】设该校高三学生共有n 人，则480(30)1290n n +++=，解得390n =．又因为本调查采取分层抽样，故设样本中高三学生人数为x ，则96480390
x
=，解得78x =． 【考点】分层抽样．
4.函数y =
A ．[0,)+∞
B ．(0,1)
C ．[0,1)
D ．[0,1] 【答案】C
【解析】由题意可知101()12
x
≤-<，所以该函数的值域为[)0,1．
【考点】函数的值域；指数函数的性质．
5.已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m ，其结果为n 除以m 的余数，例如
(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图，当
输入的值为25时，则输出的结果为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B
【解析】当25n =时，5i =时才保证余数为0． 【考点】程序框图．
6.已知圆2
2
:440C x y x y +--=与x 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 A ．
6π B ．3π C ．2π D ．23
π 【答案】C
【解析】圆C 方程可整理为2
2
(2)(2)8x y -+-=，当0y =时，0x =或4，所以在△ABC 中，
22CA CB ==4AB =，∴222AB CA CB =+，即2
C π
=
，所以弦AB 所对的圆心角大小
为
2
π． 【考点】直线与圆的位置关系．
7.“01m ≤≤”是“函数()sin 1f x x m =+-有零点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数()sin 1f x x m =+-有零点，即sin 10x m +-=有解，即两函数()sin g x x =，
()1h x m =-的图象有公共点，故111m -≤-≤，解得02m ≤≤．所以“01m ≤≤”是“函数()sin 1f x x m =+-有零点”的充分不必要条件．
【考点】函数的零点；充分必要条件． 8.已知函数()2sin(2)(||)2
f x x π
ϕϕ=+<的图象过点3)，则()f x 的图象的一个对称中心
是 A ．(,0)3
π
-
B ．(,0)6π
-
C ．(,0)6π
D ．(,0)4
π
【答案】B
【解析】根据题意函数()2sin(2)(||)2
f x x π
ϕϕ=+<
的图象过点3)，可知2sin 3ϕ=，
即3sin ϕ=，因为||2πϕ<，所以3πϕ=，故()2sin(2)3f x x π=+．由23
x k π
π+=（k Z ∈），解得26k x ππ=
-（k Z ∈），故()f x 的图象的对称中心为(,0)26
k ππ
-（k Z ∈）
，当0k =时，对称中心为(,0)6
π
-
．
【考点】正弦型函数的图象与性质．
9.设,x y 满足约束条件2
311x x y y x ≥⎧⎪
-≥⎨⎪≥+⎩
，则下列不等式恒
成立的是 A ．
3x ≥
B ．
4y ≥
C ．280x y +-≥
D ．210x y -+≥
【答案】C
【解析】作出可行域如图所示，依次作出四个选项中的直线，可以看出满足题意的只有C ． 【考点】线性规划．
10.如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()
f x y x
=
在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”，若函数213
()22
f x x x =-+是
区间I 上的“缓增函数”，则其“缓增区间”I 为
A ．[1)+∞， B
． C ．[0]1， D
． 【答案】D
【解析】函数213()22f x x x =
-+的增区间为[)1,+∞．设()
()f x g x x
=
，则()13
()122f x g x x x x ==-+
，则222133'()222x g x x x -=-=，由'()0g x ≤，可得x
∈)⎡
⎣(
U
．故缓增区间为⎡⎣．
【考点】二次函数的性质，利用导数求函数的单调区间．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.已知不共线的平面向量a r ，b r
满足(2,2)a =-r ，()()a b a b +⊥-r r r r ，那么||b =r ．
【答案】【解析】因为()()a b a b +⊥-r r r r ，所以()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即220a b -=r r ，
所以||||b a ==r r
．
【考点】向量的数量积；向量的模．
12.已知函数22,0,
()|log |,0,
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则((1))f f -= ．
【答案】1
【解析】根据函数解析式可得11
2((1))(2)|log 2|1f f f ---===．
【考点】分段函数求值．
13.已知实数,x y 满足221x y +=，则x y +的最大值是 ． 【答案】2-
【解析】由221x y
+=，可得12222x y x y +=+≥得2x y +≤-，即x y +的最大值为2-． 【考点】均值不等式．
14.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ． 【答案】32
【解析】作出直观图，如图所示，可知平面ABD ⊥平面BCD ，故该三棱锥的体积为11
8643232
V =
⨯⨯⨯⨯=． 【考点】三视图．
15.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐
近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为22
8
a b +，则该双曲线的离
心率为 ． 【答案】
103
【解析】过点F 且斜率为1-的直线方程为()y x c =--，由,
(),b y x a
y x c ⎧
=⎪⎨⎪=--⎩
解得bc y a b =+，所以22128ABC
bc a b S c a b ∆+=⋅⋅=+，整理得1
3
b a =，故该双曲线的离心率为110193e =+=．
【考点】双曲线的离心率．
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）
某区工商局、消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；
（Ⅱ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率.
【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）
4
5
【解析】（Ⅰ）设第2组[30,40)的频率为2f ，
21(0.0050.010.020.03)100.35f =-+++⨯=； ………………………………………3分
第4组的频率为0.02100.2⨯=
所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为
1P =0.350.20.55+= ……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）设第1组[30,40)的频数1n ，则11200.005106n =⨯⨯= ……………………7分 记第1组中的男性为12,,x x ，女性为1234,,,y y y y ，
随机抽取3名群众的基本事件是：121(,,)x x y ，122(,,)x x y ，123(,,)x x y ，124(,,)x x y
121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ， 221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ， 123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共20种 ……………………10分
其中至少有两名女性的基本事件是：121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，
124(,,)x y y ，134(,,)x y y ，221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ，123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共16种
所以至少有两名女性的概率为2164
205
P ==………………………………………………12分
【考点】古典概型的概率求解． 17．（本小题满分12分）
已知向量2(sin ,cos )33x x a k =r ,(cos ,)3x b k =-r ,实数k 为大于零的常数，函数
()f x a b =⋅r r ,R x ∈,且函数()f x
的最大值为1
2
.
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若
2
A π
π<<，()0f A =,
且
b =
a =求AB AC ⋅u u u r u u u r
的值.
【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）8-
【解析】（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333
x x x f x a b k k =⋅=⋅-r r
221cos
12223sin cos cos sin (sin cos )3332322332x x x x x k x x k k k k k +=-=-=--
222)sin()332342
x x k x k π=-=-- ………………………5分
因为R x ∈，所以()f x
=，则1k = …………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21()sin()2342x f x π=
--
，所以21()sin()02342
A f A π=--=
化简得2sin(
)342
A π-=
因为
2A π
π<<，所以
25123412
A π
ππ
<
-<
则2344
A ππ-=，解得34A π=
……………………………………………………………8分 所以22222cos 22222b c a A bc c +-=-==
⨯ 化简得2
4320c c +-=，则4c =…………………………………………………………10分
所以
32cos 422()842
AB AC AB AC π⋅==⨯-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ……………………………12分 【考点】三角函数的最值；向量的数量积． 18．（本小题满分12分）
如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，11A B a =，2AB a =，12AA a =，E 、F 分别是AD 、AB 的中点.
（Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ；
（Ⅱ）求证：1
AC ⊥平面1BDC . 注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.
【答案】（Ⅰ）（略）；（Ⅱ）（略）
【解析】证明：（Ⅰ）连接11A C ，AC ，分别交
11,,B D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P ，
由题意，BD ∥11B D ，
因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………3分
又因为11,2A B a AB a ==，所以1111222
MC A C a =
=， 又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以12
4NP AC ==， 所以1MC NP =，
又因为AC ∥11A C ，所以1MC ∥NP ， 所以四边形1MC PN 为平行四边形， 所以1PC ∥MN ，
因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面
11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D ．
因为1PC BD P =I ，所以平面11EFB D ∥平面1BDC ． …………………………………6分 （Ⅱ）连接1A P ，因为11A C ∥PC ，11A C =2PC a =，
所以四边形11AC CP 为平行四边形．
因为112CC AA PC a ===，所以四边形11
AC CP 为菱形 所以11A C PC ⊥．………………………………………………………………………9分 因为MP ⊥平面ABCD ,MP ⊂平面11A C CA ， 所以平面11AC CA ⊥平面ABCD ，
因为BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A C CA ，
因为1
AC ⊂平面11A C CA ，所以1BD A C ⊥， 因为1PC BD P =I ，所以1
AC ⊥平面1BDC . ………………………………………12分 【考点】面面平行的证明；线面垂直的证明．
19．（本小题满分12分）
设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正整数的等比数列，且111a b ==，13250a b =，
82345a b a a +=++，*N n ∈．
（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n d 满足21
8log 11()2
n b n n d d +-++=（*
N n ∈），且116d =，试求{}n d 的通项公式及其
前2n 项和2n S ．
【答案】（Ⅰ）21n a n =-，12n n b -=；（Ⅱ）1
4848()2
n -⋅
【解析】解：（Ⅰ）设{}
a 的公差为d ，
b 的公比为q ，则依题意有0q >，
3分
从而1(1)21n a n d n =+-=-，2n b q ==． ……………………………………5分
（Ⅱ）Q 12n n b -=，∴21log n b n +=， ∴811()2
n
n n d d -++=，7121(
)
2
n
n n d d -+++=，
两式相除：
21
2
n n d d +=， 由116
d =，8
1
121
()1282
d d -+==可得：28d =，
135,,,d d d ∴L 是以116d =为首项，以
1
2
为公比的等比数列；246,,,d d d L 是以28d =为首项，以
1
2
为公比的等比数列， …………………………………………………………7分 ∴当n 为偶数时，1218()2n n
n d -=⨯=； 当n 为奇数时，112116()2n n n d +-=⨯=．
综上
,,2(),2n
n n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩
…………………………………………………………9分
∴21321242()()n
n n S d d d d d d -=+++++++L L
11
16[1()]8[1()]
1112232[1()]16[1()]4848()112221122
n n n n n ⨯-⨯-=
+=-+-=---………………12分 【考点】等差数列、等比数列的通项公式；数列的前n 项和．
20．（本小题满分13分）
已知抛物线1:C 2
2(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 2
29x y +=上． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；
（Ⅱ）已知椭圆2:C 22
22 1 (0)x y m n m n
+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，且离心率为
1
2
．直线:4l y kx =-交椭圆2C 于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2
8y x =；
（Ⅱ）132k -
<<-
或123
k << 【解析】（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知022
00200
3,29,2,
p x x y y px ⎧
+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩
………………………2分
解得：001,4,x y p ==±=
所以抛物线1C 的方程为：2
8y x = ………………………………………………………4分
n 为偶数 n 为奇数
（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C 的焦点(2,0)F ，
Q 椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，
∴椭圆2C 半焦距2
2
2
2, 4c m n c =-==，
Q 椭圆2C 的离心率为
12，21
42m m ∴=⇒=
，n =∴椭圆2C 的方程为：
22
11612
x y +=．…………………………………………………………6分 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，
由224,1,1612
y kx x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩得22(43)32160k x kx +-+=，
由韦达定理得：1223243k x x k +=+，122
16
43x x k =+， ………………………………8分 由0∆>22
(32)416(43)0k k ⇒--⨯+>
整理得12
k >或1
2k <- ………………①……………………………………………………10分
∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则0OA OB ⋅>u u u r u u u r
， ∴11221212(,)(,)OA OB x y x y y y x x ⋅=⋅=+u u u r u u u r
212121212(4)(4)(1)4()16kx kx x x k x x k x x =-⋅-+=+-++
2
221632(1)4164343
k
k k k k =+⨯-⨯+++2216(43)043k k -=
>+
整理得k <<………………② 由①、②得实数k
的范围是12k <<-
或12k << ………………………13分 【考点】抛物线方程的求解；直线与椭圆的位置关系． 21．（本小题满分14分）
已知函数()1ln a
f x x x
=-
-（R a ∈）
． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11
(,())22
f 处的切线方程；
（Ⅱ）当0a ≥时，记函数21()(12)1()2a
x ax a x f x x
Γ=+-+-+，试求()x Γ的单调递减区间；
（Ⅲ）设函数2
()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，求
()h a 的最大值．
【答案】（Ⅰ）2ln 220x y -+-=；（Ⅱ）2
max
98, 0834()0, 034868, 33h a λλλλλλ≥⎧≤⎪⎪
⎪
=<≤⎨⎪
⎪
-<<⎪⎩
或 【解析】（Ⅰ）当1a =时，1
()1ln f x x x
=-
-， 211()f x x x
'=
-， 则1()4222
f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-
∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1
(ln 21)2()2
y x --=-，
即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分
（Ⅱ）Q ()1ln a f x x x =--，2
1()(12)ln 2x ax a x x ∴Γ=+--(0)x >，
21(21)1
()(12)ax a x x ax a x x ---'Γ=+--=
①当0a =时，1
()x x x
-'Γ=
由1
()0x x x
-'Γ=≤及0x >可得：01x <≤，()x ∴Γ的单调递减区间为(0,1]………6分 ②当0a >时，2(21)1
()ax a x x x
---'Γ=
由2(21)10ax a x ---=可得：22
(21)4410a a a ∆=-+=+>
设其两根为12,x x ，因为121
0x x
=-<，所以12,x x 一正一负
设其正根为2x ，则2x =
由2(21)1
()0ax
a x x x
---'Γ=≤及0x >可得：0x <≤
()x ∴Γ
的单调递减区间为21(0,
2a a
-+…………………………………………8分 （Ⅲ）22
1()a a x
f x x x x -'=-=，由()0f x '=x a ⇒=
由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………10分对于
2()32h a a a λ=-，对称轴3
4
a λ=
当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==；
当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==；
当3124λ<<，即4833
λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-；
综上可知：2
max 98, 0834()0, 034868, 33h a λλλλλλ≥⎧≤⎪⎪
⎪
=<≤⎨⎪
⎪
-<<⎪⎩
或 ……………………………………………14分
【考点】导数的几何意义；利用导数求函数的单调区间；函数最值的求解．。