2016_2017学年10月北京大兴区大兴区第一中学高二上学期月考数学试卷(详解)

．
【答案】
【解析】 设
关于直线
则 与 的中点
对称点
，
在直线
上，
即：
，且直线 ，
斜率为 ，
所以解得
，
，为
．
12. 如果
表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是
．
【答案】
【解析】 椭圆的标准方程
．
故答案为：
．
，因为焦点在 轴上，所以
，解得
13. 椭圆
的焦点为 ， ，点 在椭圆上，若
的大小为
．
【答案】 ;
，
；
圆
，圆心为
，
．
当动圆与圆 相外切时，有
，①
当动圆与圆 相内切时，有
，②
将①式与②式相加后得
．
∴动圆圆心
到点
和点
距离和是常数 ，
所以点 的轨迹是焦点，为点
，
,
长轴长等于 的椭圆轨迹方程为
．
21. 已知点
，圆
．
1 ）求经过点 与圆 相切的直线方程．
2 ）若点 是圆 上的动点，求
的取值范围．
【答案】（ 1 ）
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 满足条件
∵当
，
当
，
当
，
当
，
当
，
∴满足条件
为，
故
．
的点
构成的平面区域为一个圆，其面积为 ．
时，满足条件
；
时满足条件
；
时满足条件；
时满足条件；
时，满足条件．
的点
构成的平面区域是 个边长为 的正方形，面积
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
11. 点
关于直线
对称点
所以可设
．
因为直线 的斜率为 ，且
，所以直线 的斜率存在，
设直线 的方程为
．
所以
，消元得到
．
所以
又
所以
所以 （ 2 ）因为
所以 所以直线
，所以 的方程为
令
，得
因为点
在直线
代入得到 的横坐标为
．
，
．
，而直线 ， 垂直，
， ．
， 上，所以 ，所以直线
， 与 轴垂直．
的一条对称轴为
，则直线
B.
C.
【答案】 D
【解析】 函数
的一条对称轴为
∴
，即
．
∴直线
的斜率
，
∴直线的倾斜角为 ．
的倾斜角为（ D. ，
10. 已知满足条件
的点
构成平面区域的面积为 ，满足条件
的点
构成的平面区域的面积为 ，其中 ， 分别表示不大于 ， 的最大整数，如：
，
，则 与 的关系是（ ）．
A.
，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线 的方程．
【答案】
或
或
．
【解析】 ①若截距都不为 时，设直线方程为：
，
∵
，∴当
时，方程变为
，
代入点
得
．此时直线方程为
．
当
时，方程变为
，
代入点
得
，此时直线方程为
．
②若截距都为 ，则设直线方程为
，
代入点
得
，此时直线方程为
．
18. 已知三个点
，
，
，圆 为
的外接圆．
此最小值即为圆心
到直线的距离 ，
由点到直线的距离公式得
，
由勾股定理求得切线长的最小值为
．
16. 设变量 ， 满足约束条件
，则
的最大值为
．
【答案】
【解析】
，
作出线性区域如图所示：
表示
与
之间的斜率，
有图易知，当目标函数在
此时
，
所以
最大值为
处时，斜率最大， ．
三、解答题（共6小题，共80分）
17. 已知直线 经过
与 的斜率之积． 与 轴交于点 ，求证：
与 轴垂直．
【答案】（ 1 ） ． （ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）法一：设点
，
，
因为
， 所以
，
所以
，所以 的横坐标互为相反数，
所以可设
．
因为直线 的斜率为 ，且
，
而
，
，
所以 因为点 ， 都在椭圆上，所以
，
，
所以
． 法二：设点 因为
，
，
， 所以
所以
，所以 ， 的横坐标互为相反数，
4. 已知命题
，
，则 是（ ）．
A.
， B.
， C.
， D.
，
【答案】 C
【解析】 利用“全称命题的否定是特称命题”求解．
命题 的否定为“
，
”．
5. 若圆 ）． A. 第一象限
的圆心位于第三象限，那么直线
B. 第二象限
C. 第三象限
【答案】 D
【解析】 圆
的圆心为
其位于第三象限，则
，
．
直线
可变形为
【解析】 由椭圆第二定义可得
；
在
中，
∴
．
，则
，
，
14. 已知椭圆
的弦 的中点
，则直线 的方程
．
【答案】
【解析】 设
，
，由题意可得：
，
，
．
，两式相减，化简可得： ，
所以直线
的斜率为 ．
，直线方程由点斜式得：
15. 由直线
上一点向圆
引切线，则切线长的最小值为
．
【答案】
【解析】 要使切线长最小，必须直线
上的点到圆心的距离最小，
1 ）求圆 的方程．
2 ）设直线
与圆 交于 ， 两点，且
，求 的值．
【答案】（ 1 ）
．
（2）
．
【解析】（ 1 ）设圆 的方程为
因为点
，
，
， 在圆 上，则
解得
，
，
．
所以
外接圆的方程为
．
（ 2 ）由（Ⅰ）圆 的圆心为
，半径为 ．
又
，所以圆 的圆心到直线
的距离为
．
所以，
，
解得，
，
．
19. 在平面直角坐标系中，已知两点
元．该企业在一个生产周期内消耗 原料不超过 吨、 原料不超过 吨，那么该企业可获得
最大利润是（ ）．
A. 万元
B. 万元
C. 万元
D. 万元
【答案】 D
【解析】 设该企业生产甲产品为 吨，乙产品为 吨，
则该企业可获得利润为
，
且
，
联立 ∴，
（万元）．
9. 若函数 ）． A.
2016~2017学年10月北京大兴区大兴区第一中学高二上 学期月考数学试卷(详解)
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 直线
的倾斜角是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 直线斜率为 ，而
，则倾斜角为 ．
2. 已知圆 A.
，直线 B.
【答案】 C
【解析】 圆心 到 的距离
，
B.
的离心率是 ，则实数 的值是（ ）．
C.
D.
【答案】 A
【解析】 焦点在 轴上的椭圆
，
可知
，
，
，
椭圆 可得
的离心率是 ，
，解得
．
8. 某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用 原料 吨、 原料 吨；生产每吨乙产
品要用 原料 吨、 原料 吨．销售每吨甲产品可获得利润 万元、每吨乙产品可获得利润 万
则斜率
，纵截距
，
所以直线不经过第四象限． 故选 ．
， ，
一定不经过（ D. 第四象限
6. 若 A.
为过椭圆
中心的弦， 为椭圆的焦点，则
B.
C.
【答案】 B
【解析】 设 的坐标
，则根据对称性得
，则
的面积
，
∴当 最大时，
面积最大，
即
面积的最大值为
．
面积的最大值为（ ）． D.
7. 焦点在 轴上的椭圆
A.
原点），其中 ，
，且
，
，若点 满足
，求点 的轨迹．
【答案】
．
【解析】 设 点为
，则
，由题意知：
，且
，
，
即
，
，整理得，
，
，则
，
即化简后为
表示一条直线．
（为
20. 一动圆与圆
外切，同时与圆
的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
内切，求动圆圆心
【答案】
，轨迹为椭圆．
【解析】 设动圆圆心为
，半径为 ，
设已知圆
的圆心为
由勾股定理，弦长
，则直线 被圆 所截的弦长为（ ）．
C.
D.
．
3.
是直线
A. 充要条件
C. 必要不充分条件
和直线
垂直的（ ）． B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 ①当
时， 为
，为
，
，
，
．
即直线 与直线 垂直．
②若
垂直于直线
．
则，
，则
或
．
综上，
的直线 垂直 的充分不必要条件．
或
．
（2）
．
【解析】（ 1 ）由题意知直线的斜率必然存在，
所以设直线方程为
．
即
，
所以圆心到直线的距离为
解得
．
所以直线方程为
或
（ 2 ）设
，所以
，
，所以
又因为 在圆 上，所以
又因为
，所以
，
．
， ．
．
22. 如图，已知直线
与椭圆
垂直，且与椭圆 的另一个交点为 ．
交于 ， 两点．过点 的直线 与
1 ）求直线 2 ）若直线