江西省都昌蔡岭慈济中学2019-2020学年高三下学期5月月考数学(文)试题 Word版含解析

2019-2020学年下学期高三5月月考测试卷
（文科）数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U 是实数集R ，{
2M x x =<-或}2x >，{}
2
430N x x x =-+<，则
()U C M N ⋂=（ ）
A. {}
21x x -≤<
B. {}
22x x -≤≤
C. {}
12x x <≤
D.
{}2x x <
【答案】C 【解析】 【分析】
：首先解一元二次不等式，求得集合N ，应用补集的定义求得集合M ，再结合交集定义求得
(){}|12U C M N x x ⋂=<≤，从而求得结果．
【详解】：
由于{}
|22M x x x =-或，所以{}|22U C M x x =-≤≤，{}|13N x x =<<，所以
(){}|12U C M N x x ⋂=<≤，故选C ．
【点睛】：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，
注意对应集合中元素的特征，从而求得结果． 2.以下说法错误的是（ ）
A. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”
B. “2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件
C. 若命题:P 存在0x R ∈，使得2
0010x x -+<，则p ⌝:对任意x R ∈，都有210x x -+≥
D. 若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题 【答案】D 【解析】 【分析】
根据逆否命题定义、命题否定的定义分别判断出,A C 正确；解方程得到解集和2x =的包含关系，结合充要条件的判定可知B 正确；根据复合命题的真假性可知D 错误，由此可得结果. 【详解】A 选项：根据逆否命题的定义可知：原命题的逆否命题为“若1x ≠，则
2320x x -+≠”，可知A 正确；
B 选项：由2320x x -+=，解得1,2x =，因此“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必
要，可知B 正确；
C 选项：根据命题的否定可知:p ⌝对任意x ∈R ，都有210x x -+≥，可知C 正确；
D 选项：由p 且q 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题，因此D 不正确.
本题正确选项：D
【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
3.函数()21
1
x x f x x +-=-的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
将函数()y f x =的解析式变形为()1
131
f x x x =-+
+-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象.
【详解】()22111111
11131111
x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，
故该图象是由函数1
y x x
=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，
由于函数1
y x x
=+
在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在
()2,+∞上单调递增.
()01f =，故函数()21
1
x x f x x +-=-的图象大致为D 项.
故选：D.
【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题.
4.已知,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 33a b >
B.
11a b
< C. 22a b >
D.
||a b b >+
【答案】D
【解析】 【分析】
：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A 项是充要条件，B,C 是既不充分也不必要条件，只有D 项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果. 【详解】对于A ，根据函数3
y x =的单调性可知，33a b a b >⇔>，是充要条件； 对于B ，11a b <
时，可以得到0a b
ab
->，对应的结果为当0ab >时，a b >；当0ab <时，a b <，
所以其为既不充分也不必要条件；
对于C ，由22a b >，可以得到a b >，对于,a b 的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；
故排除A,B,C ，经分析，当a b b >+时，得到,a b b b a b >+≥∴>,充分性成立，当a b >时，
a b b >+不一定成立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.
点睛：该题主要考查必要、充分条件的判定问题，其中涉及到不等式的性质的有关问题，属于综合性问题，对概念的理解要求比较高.
5.己知函数()f x 的定义域是R ，对任意的x ∈R ，有()()20f x f x +-=.当[)1,1x ∈-时，
()f x x =.给出下列四个关于函数()f x 的命题：
①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 是周期函数；
③函数()f x 的全部零点为2x k =，k Z ∈； ④当算[
)3,3x ∈-时，函数()1
g x x
=的图象与函数()f x 的图象有且只有4个公共点. 其中，真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
由周期函数的定义得到②正确；()()111f f =-=-，可以得到函数()f x 不是奇函数，故①
错误；()00f =，又()f x 是周期为2的函数，可得③正确；求出()()1
f x
g x x
==的根即可判断④错误，从而得解.
【详解】∵对任意的x ∈R ，有()()20f x f x +-=，∴对任意的x ∈R ，()()2f x f x +=， ∴()f x 是周期为2的函数， ∴()()()1121f f f =-=-，
又∵当[)1,1x ∈-时，()f x x =，∴()()111f f =-=-，∴函数()f x 不是奇函数，故①错误，②正确.
当[)1,1x ∈-时，()f x x =，∴()00f =，又∵()f x 是周期为2的函数，∴函数()f x 的全部零点为2x k =，k Z ∈，故③正确.
∵当[)1,1x ∈-时，()f x x =，令()()1
f x
g x x
==，解得1x =（舍）或1x =-； 当[)1,3x ∈时，()()22f x f x x =-=-，令()()f x g x =，则1
2x x
-=，解得12
x =+或12x =；
当[)3,1x ∈--时，()()22f x f x x =+=+，令()()f x g x =，则1
2x x
+=
，解得12x =-12x =-+， ∴共有3个公共点，故④错误. 因此真命题的个数为2个. 故选：B
【点睛】本题主要考查函数性质的综合运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积25S C =，且
1,5a b ==，则c =（ ）
15171921
【答案】B 【解析】
由题意得，三角形的面积1
sin 252
S ab C C =
=，所以tan 2C =， 所以5cos 5
C =
， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c = B. 7.当01x <<时，()ln x
f x x
=，则下列大小关系正确的是（ ） A. ()()
()2
2f
x f x f x <<
B. ()()()2
2
f x f x f x <<
C. ()()()2
2
f x f x f x <<
D. ()()()2
2
f x
f x f x <<
【答案】D 【解析】 【分析】
由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2
f x
的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，
可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2
f x 的大小，利
用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2
f x 的大小，从而求
得最后的结果.
【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()2
1ln 'x
f x x -=
， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->， 从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()2
10f x
f x f <<=，
而()2
2
2ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，所以有()()()22f x f x f x <<.
故选D.
【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
8.已知22log a
a =，1
212b
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，n 1si c c =+，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. b a c << B. a b c << C. c b a <<
D. a c b <<
【答案】B 【解析】 【分析】
分别构造新函数()22log x
f x x =-，()1
21()2
x
g x x =-，()sin 1h x x x =--，结合零点的
存在定理，求得,,a b c 的范围，即可求解.
【详解】由题意，设()22log x
f x x =-，可得()1
21312,(2)2124
f f ---==
-=-=-， 所以()1(2)0f f -⋅-<，根据零点的存在定理，可得(2,1)a ∈--，
设()1
21()2
x
g x x =-，可得11(0)1,(1)122g g ==-=-，所以(0)(1)0g g ⋅<，
根据零点的存在定理，可得(0,1)b ∈，
令()sin 1h x x x =--，可得()11sin11sin10,()sin 110h h ππππ=--=-<=--=->， 所以()1()0h h π⋅<，可得(1,)c π∈， 综上可得a b c <<. 故选：B .
【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在定理的应用，其中解答中根据题意设出新函数，结合零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 9.已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，
()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上所有实数解之和为（ ）
A. 1
B. 3
C. 6
D. 7
【答案】D 【解析】 【分析】
由()()11f x f x =+-可知()f x 为周期函数，再根据()f x 为偶函数可得()f x 在15,22
⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
的图像，再根据()cos g x x π=在15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图像得到所有的()()f x g x =的实根之和.
【详解】因为()()11f x f x =+-，则()()2f x f x =-，所以()f x 的最小正周期为2，又由()()()111f x f x f x +=-=-得()f x 的图像关于直线1x =对称. 令()cos g x x π=，则()g x 的图像如图所示，
由图像可得，()y f x =与()cos g x x π=的图像在15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
有7个交点且实数解的和为
2317⨯+=,故选D.
【点睛】一般地，方程()()f x g x =的解的性质的讨论，可以通过构建新函数
()()()F x f x g x =-来讨论，也可以通过考虑()y f x =和()y g x =的图像的交点性质来讨
论. 10.若5P a a =+23Q a a =++0a ≥）
，则P ，Q 的大小关系是（ ） A. P Q <
B. P Q =
C. P Q >
D. P ，Q 的
大小由a 的取值确定 【答案】A 【解析】 ∵
()()()22222525[252
232556P Q a a a a a a a a a a -=+++++++=+++（
）
且22556a a a a +<++ ，
∴22
P Q <，又,0P Q >，∴P Q <，故选C. 11.条件p ：“0a ≤或4a ≥”是条件q ：“()32
11132
f x ax ax x =
+++有极值点”成立的
( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
32211
“()1?“()1?32
f x ax ax x f x ax ax 有极值点有两个不同的零点=+++⇔=++'⇔
“04?a a 或⇒“04?a a ≤≥或，
故选B ．
12.已知函数22
2,0
()ln ,0
x kx k x f x x x ⎧++⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的不等式()f x k 的解集为
[,][,]m n a b ⋃，且n a <，127
232
mn ab k +-<，则实数k 的取值范围为（ ）
A. 54,167⎛⎫
⎪⎝
⎭ B. 14,87⎛⎫
⎪⎝⎭
C. 15,88⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
易知0k >，由表达式画出函数图像，再分类讨论y k =与函数图像的位置关系，结合不等关系即可求解
【详解】易知当0k >，0x 时，2
2
2
27()224k f x x kx k x k ⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭，
()f x 的图象如图所示.
当直线y k =在图中1l 的位置时，
22724k k k <<，得14
27
k <<， ,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根，
即2220x kx k k ++-=的两根， 故22mn k k =-； 而1ab =
则2211327212122232
mn ab k k k k k k +-
=-+-=-+<， 即2644850k k -+<，解得1588k <<，所以14
27
k <<；
当直线y k =在图中2l 的位置时，22k k 且0k >，得1
02
k <；此时0n = 则112712232mn ab k k +-
=-<，得51162
k <≤. 所以，k 的取值范围是54,167⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：A
【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知全集为R ，集合{}
2log (1)A x y x ==-，{
}
21B y y x ==+
-，则
(
)A
B =R
___________.
【答案】()1,2 【解析】 【分析】
求解对数函数的定义域以及函数的值域，解得集合,A B ，再由集合的运算即可求得结果. 【详解】因为{
}2log (1)A x y x ==-{}
1x x =；
{}
21B y y x ==-{|2}y y =≥；
故可得(
)A
B =R
()1,2.
故答案为：()1,2.
【点睛】本题考查对数型函数的定义域，函数值域的求解，集合的交运算和补运算，属综合基础题.
14.如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min 分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1h ，1个这种细菌可以分裂成_____________个. 【答案】64 【解析】 【分析】
一个小时分裂6次，根据分裂规则，即可求解.
【详解】由题：细菌每10 min 分裂1次（1个分裂成2个）， 经过1h 可分裂6次，可分裂成6264=（个）. 故答案为：64
【点睛】此题考查利用指数幂的知识解决实际应用问题，关键在于合理地将实际问题转化为纯数学问题.
15.已知函数2
()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =≤，集合5B |(())4x f f x ⎧⎫=≤
⎨⎬⎩⎭
，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】[5,5] 【解析】 【分析】 由题意，求得54
b =
，集合B 化为2
255()()044x ax x ax a +++++≤，运用判别式，列出不等
式组，即可求解.
【详解】由题意，函数2()f x x ax b =++，则集合2
{|()0}{|}0A x f x x x ax b =++≤≤=，
又由2
55B |(()){|()()0}44
x f f x x f x af x b ⎧
⎫=≤
=++-≤⎨⎬⎩
⎭， 由A B =，令2
5
()()()[()]4
f x af x b f x f x m ++-=+， 即2
25()()()()4f x af x b f x mf x ++-
=+，解得5,4m a b ==， 所以2
225()()()[()]455()()044
f x af x b f x f x a x ax x ax a =++++++-=+≤+
要使得A B =≠∅，则满足2
1225404
54()0
4a a a ⎧∆=-⨯≥⎪⎪⎨⎪∆=-⨯+≤⎪⎩
，解得5515a a a ⎧≥≤⎪⎨-≤≤⎪⎩或
55a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[5,5]. 故答案为：[5,5].
【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及一元二次不等式的解法等知识点的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.
16.奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21x
f x =-，则
()2log 11f =______.
【答案】511
- 【解析】 【分析】
易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得
222111616log log log 161111f f f
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭，再由01x 时，()21x
f x =-即可求解
【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=， 则()()222
11log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
， 又2
22111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，[]2
16log 0,111∈， 则216log 11
2165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
故答案为：5
11
-
【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数()
1log 3(0x a
y a +=->且1a ≠）的图象恒过定点P ，二次函数()y f x =的图象经过点P ，且()f x ＞0的解集为（1，3） （1）求()f x 的解析式 （2）求函数()2sin ,0,
3y f x x π⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
的最值.
【答案】（1）()2
43f x x x =-+-；（2）min 3y =-，max 0y =
【解析】 【分析】
(1)先根据对数函数性质得定点P ，再根据二次不等式解集设二次函数解析式
()()()13f x m x x =-- ，代入P 点坐标得m 值，(2) 令sin x t =，则得关于t 的二次函数，
根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法，即得结果.
【详解】（1）∵()log 13a y x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点()03P -，
， 由题意可设()()()13f x m x x =--，0m <，
∵()f x 的图象过点()03P -，
， ∴33m =-，∴1m =-，
∴()()()2
1343f x x x x x =---=-+-．
（2）令sin x t =，∵2π03x ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
， ∴01t ≤≤，
则()2
43y f t t t ==-+-，01t ≤≤．
∵()f t 在[]
01t ，
∈上是增函数， ∴当0t =，即0x =时，()min 03y f ==-； 当1t =，即π
2
x =
时，()max 10y f ==． 【点睛】本题考查三个二次关系以及二次函数最值，考查基本求解能力.
18.已知函数221,20()0,021,02x mx x f x x x x x ⎧+--<<⎪
==⎨⎪-++<<⎩
，是奇函数.
（1）求实数m 的值；
（2）画出函数()f x 的图象，并根据图象求解下列问题； ①写出函数()f x 的值域；
②若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2m =（2）作图见解析①值域为[2,1){0}(1,2]--②(1,3] 【解析】 【
分析】
（1）采用特殊值加检验的方法求解出m 的值； （2）先根据()f x 解析式作出()f x 的图象：
①直接根据图象写出()f x 的值域；②根据图象判断出()f x 的单调递增区间，由此得到关于
a 的不等式组，从而求解出a 的取值范围.
【详解】（1）因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)f f -=-，
即11(121)m --=--++. 解得2m =.
又易检验知：当2m =时，()f x 是奇函数.故所求实数m 的值为2.
（2）由（1）得2221,20
0,021,02x x x x x x x ⎧+--<<⎪
=⎨⎪-++<<⎩
，
如图，画出函数()f x 的图象.
①由图知，函数()f x 的值域为[2,1){0}(1,2]--. ②由图知，函数()f x 的单调递增区间为[1,1]-， 所以根据函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，
可知需满足21
21a a ->-⎧⎨-≤⎩
，解得13a .
故所求实数m 的取值范围为(1,3].
【点睛】本题考查根据分段函数奇偶性求解参数、函数图象的应用，难度一般.已知函数的奇偶性求解参数的问题，可以采用计算特殊值并检验的方法，也可以采用定义法去计算. 19.已知：函数2()1f x mx mx =-+，()m ∈R . （1）若()f x 的定义域为R ，求m 的取值范围；
（2）设函数()()g x f x x =-，若(ln )0g x ，对于任意2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立.求m 的取值范围.
【答案】（1）[0,4]；（2）13,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）分类讨论，当参数0m =时，10≥恒成立，符合题意；当参数0m ≠时，满足0
0m >⎧⎨∆⎩
，
解不等式组即可；
（2）将不等式等价转化为222
(ln )ln 10(ln )ln 1(ln )
m x m x m x m x x ⎧-+⎨-+⎩在2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，令ln t x =，不等式组化为()()
222
101m t t m t t t
⎧-+⎪
⎨-+⎪⎩，[1,2]t ∈，再采用分离参数法，通过求解关于t 的函数最值，
进而求解参数m 范围
【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，即210mx mx -+在R 上恒成立， 当0m =时，10≥恒成立，符合题意
当0m ≠时，必有0
040
m m >⎧⇒<⎨∆⎩ 综上：m 的取值范围是[0,4] （2）
2()()1g x f x x mx mx x =-=-+
(ln )0g x ∴，对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立，
等价于22
0(ln )ln 1(ln )m x m x x -+在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立
即：222
(ln )ln 10(ln )ln 1(ln )
m x m x m x m x x ⎧-+⎨-+⎩(*)在2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立 设：ln t x =，因为2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，所以[1,2]t ∈，
不等式组(*)化
()()
222
10
1m t t m t t t
⎧-+⎪
⎨-+⎪⎩ [1,2]t ∈时，20t t -（当且仅当1t =时取等号）
1t =时，不等式组显然成立
当(1,2]t ∈时，()()
22222211011m m t t t t
t m t t t m
t t ⎧⎧-⎪-+⎪⎪⎪-⇒⎨⎨--+⎪⎪⎪⎪-⎩⎩
恒成立 2
211
1
211
24
t t t -
=-
-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，即1
2
m -
22
111
1t t t t t t
-+==+-在(1,2]上递减，所以11t +的最小值为32，32m 综上所述，m
取值范围是13,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦. 【点睛】本题考查由具体函数定义域范围求解参数范围，由不等式恒成立求解参数取值范围，分离参数法应用，转化与化归能力，计算能力，属于难题 20.计算下列各式的值：
（1）()
1
102
3
3
2710223π20.25927-
-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（2）()22
1log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-++++⋅． 【答案】（1）9512
；（2）3. 【解析】 【分析】
(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值. 【
详
解】
（
1
）原
式
1131
132
32
2
3
2
2
3
2
256415415395
111892743323412
--
--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=--+=--+=
--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（或写成11
7
12
）． （2）原式()()2log 3111113
lg522lg22lg55231322222
lg lg lg -=+
+⋅++=+++⨯=++=． 【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
21.已知函数33()log (1)log (1)f x x a x =-++()a ∈R ，且满足311log 42f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. （1）求函数()f x 的定义域及a 的值；
（2）若关于x 的方程()30f x x t --=()t ∈R 有两个不同的实数解，求t 的取值范围. 【答案】（1）定义域为(1,1)-；1a =（2）5,14⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）根据对数式的真数大于零列出关于x 的不等式组，从而定义域可求；再根据
311log 42f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
求解出a 的值； （2）通过化简将问题转化为二次函数2
()1g x x x t =+--在区间(1,1)-内有两个零点，根据二次函数的零点分布列出满足的不等式组，求解出t 的取值范围即可.
【详解】（1）由10
10x x ->⎧⎨+>⎩
，解得11x -<<.
所以函数()f x 的定义域为(1,1)-. 因为311log 42f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
， 所以3
3313
log log 1log 422
a +=-. 所以3333311log 1log 4log 1log 4222a ⎛⎫=--=-⨯ ⎪⎝
⎭. 又3
3
log 02
≠， 故化简得所求1a =.
（2）由（1）可知(
)2
333()log (1)log (1)log 1f x x x x
=-++=-，其中(1,1)x ∈-，
所以由题设得关于x 的方程210x x t +--=在(1,1)-内有两个不同的实数解.（*） 设函数2
()1g x x x t =+--，
则因为该函数图像的对称轴方程为1
2
x =-，
所以结合（*）知只需(1)1015024(1)10
g t g t g t -=-->⎧⎪
⎪⎛⎫
-=--<⎨ ⎪⎝⎭
⎪⎪=->⎩，
解得5
14
t -
<<-. 故所求实数t 的取值范围是5,14⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
. 【点睛】本题考查对数型函数与二次函数零点分布的综合应用，难度一般.解答有关二次函数的零点分布问题，对于对称轴2b
x a
=-、∆与0的关系、特殊点处函数值的分析是重要突破点. 22.
投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设()f n 表示前n 年的纯利润总
和（()f n =前n 年总收入-前n 年的总支出 -投资额72万元） （Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？
（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.
【答案】（I ）从第三年开始盈利；（II ）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元 【解析】
【详解】(Ⅰ)依题意()f n =前n 年总收入- 前n 年的总支出- 投资额72万元,可得
()21()5012472240722n n f n n n n n ⎡⎤-=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦
由()0f n >得2240720n n -+->,解得218n << 由于*n N ∈,所以从第3年开始盈利. (Ⅱ)年平均利润
()363624044016f n n n n n n ⎛
⎫=-++≤-⋅= ⎪⎝
⎭ 当且仅当36
n n
=
,即6n =时等号成立 即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元。