阶段拔尖专训4 绝对值的常见应用

【解】当 x ≥3时，原式＝( x －1)＋( x －3)＝2 x －4；
当1＜ x ＜3时，原式＝( x －1)＋(3－ x )＝2；
当 x ≤1时，原式＝(1－ x )＋(3－ x )＝4－2 x .
【点拨】
要去掉两个绝对值的符号，就要同时确定两个绝对值
里的式子的正负号，可以使用零点分段法，用分类讨论的

a ， b 为正， c 为负.
｜｜
＋1＋(－1)＋(－1)＝0；
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＋

｜｜
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＋
9

｜｜
10
＋

｜｜
＝1
阶段拔尖专训
(3)当 a ， b ， c 中，有一个正数，两个负数时，不妨设 a
为正， b ， c 为负.

｜｜
＋

｜｜
＋

｜｜
＋

｜｜
＝1
＋(－1)＋(－1)＋1＝0；
－3
2 之间的距离；｜ x ＋3｜表示 x 与
之间的距离；
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阶段拔尖专训
(3)当｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5时， x 可取整数 2(答案不
不唯一) .(写出一个符合条件的整数 x 即可)
⁠
【点拨】
因为｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5表示数轴上有理数 x 所
对应的点到2和－3所对应的点的距离之和为5，所以 x 在－
思想方法来解.
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阶段拔尖专训
8. [新考法分类讨论法]已知 a ， b ， c 均不为零，求


｜｜
＋

｜｜
＋

｜｜
＋
的值.
【解】(1)当 a ， b ， c 均为正数时，

｜｜

｜｜
＋

｜｜
＋

＋
＝1＋1＋1＋1＝4；
｜｜ ｜｜
(2)当 a ， b ， c 中，有两个正数，一个负数时，不妨设
当 a ＝2， b ＝－4时，因为点Р在数轴上且与点 A ，
−
点 B 的距离相等，所以点 P 表示的数为
＝－1；

当 a ＝－2， b ＝－4时，因为点Р在数轴上且与点
−−
A ，点 B 的距离相等，所以点 P 表示的数为
＝－3.

所以点 P 表示的数为－1或－3.
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阶段拔尖专训
5，则 x ＝
－8或2
.
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【点拨】
因为｜ x ＋3｜＝5，所以数轴上表示数 x 的点到表示
数－3的点的距离为5.所以 x 的值为－8或2.
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阶段拔尖专训
3. [2024济南市中区月考]已知在数轴上 A ， B 两点分别表示
的数是 a 和 b ，｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝4，｜ a － b ｜＝ a －
【点拨】
因为｜ x ＋4｜＋｜ x －6｜可理解为在数轴上表示 x 的
点到表示－4和6的点的距离之和，所以当 x 在－4与6之间
的线段上(即－4≤ x ≤6)时，｜ x ＋4｜＋｜ x －6｜的值有
最小值，最小值为10.
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阶段拔尖专训
(6)解决问题：一条笔直的公路边有三个代工厂 A ， B ， C
(4)当 a ， b ， c 均为负数时，


｜｜
＋

｜｜
＋
＝(－1)＋(－1)＋(－1)＋(－1)＝－4.
｜｜
综上，原式的值为－4或0或4.
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｜｜
＋
阶段拔尖专训
【点拨】



当 a 为正数时，
＝ ＝1；当 a 为负数时，
｜｜
｜｜
＝

＝－1. b ， c 的情况类似.本题应根据 a ， b ， c 所有
【解】因为－
所以－

−


−



＝－7 ，－(－4)＝4，而－7 ＜4，


＜－(－4).
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阶段拔尖专训
绝对值在数轴中的应用
2. 我们知道，｜ x ｜表示 x 在数轴上对应的点到原点的距
离，｜ x ｜我们可以看成｜ x －0｜.所以｜ x － a ｜就表
示 x 与 a 在数轴上对应的两点之间的距离.若｜ x ＋3｜＝
和城区 O ，代工厂 A ， B ， C 分别位于城区左侧5 km，
右侧1 km，右侧3 km. A 代工厂需要芯片1 000个， B 代
工厂需要芯片2 000个， C 代工厂需要芯片3 000个.现需要
在该公路边建一个芯片研发实验室 P ，为这3个代工厂输
送芯片.若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验
(｜ x ＋5｜＋｜ x －3｜)＋2(｜ x －1｜＋｜ x －3｜)(元).
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阶段拔尖专训
(｜ x ＋5｜＋｜ x －3｜)＋2(｜ x －1｜＋｜ x －3｜)可表示
x 到－5的距离与 x 到3的距离之和，和 x 到1的距离与 x 到3
的距离之和的2倍的总和，则当1＜ x ＜3时，｜ x ＋5｜＋
−
可能出现的符号情况进行讨论.
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阶段拔尖专训
绝对值的几何意义在求字母值或最值中的应用
9. [母题·教材P73复习题T17] 绝对值不大于 a ( a ＞0，且 a 为
整数)的所有整数共有5个，则 a ＝
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2
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.
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阶段拔尖专训
10. [新视角学习探究题]同学们都知道，｜5－1｜表示5与1
求｜ x ＋ y ｜的值.
【解】因为｜ x －3｜＋｜ y ＋5｜＝0，｜ x －3｜
≥0，｜ y ＋5｜≥0，所以 x －3＝0， y ＋5＝0.所以
x ＝3， y ＝－5.
所以｜ x ＋ y ｜＝｜3＋(－5)｜＝2.
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阶段拔尖专训
绝对值在化简中的应用
7. [新考法零点分段法]化简：｜ x －1｜＋｜ x －3｜.
b ，点 P 在数轴上且与点 A ，点 B 的距离相等，则点 P 表
示的数为
－1或－3
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3
.
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阶段拔尖专训
【点拨】
因为｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝4，所以 a ＝±2， b ＝±4.
因为｜ a － b ｜＝ a － b ，所以 a － b ≥0.所以 a ≥ b .
所以 a ＝2， b ＝－4或 a ＝－2， b ＝－4.
绝对值的非负性在求字母值或取值范围中的应用
4. 若｜ a －1｜＝ a －1，则 a 的取值范围是(
A. a ≥1
B. a ≤1
C. a ＜1
D. a ＞1
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A
)
阶段拔尖专训
5. 如果｜ x －2｜＝2－ x ，那么 x 的取值范围是
x ≤2
.
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6. [2024天津和平区模拟]已知｜ x －3｜＋｜ y ＋5｜＝0，
3与2之间的线段上(即－3≤ x ≤2).所以 x 可取整数－3，－
2，－1，0，1，2.
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7Leabharlann 8910阶段拔尖专训
(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数 x ，｜ x ＋
4｜＋5的最小值为
5 .
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(5)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数 x ，｜ x ＋
4｜＋｜ x －6｜的最小值为 10 .
北师版 七年级上
阶段拔尖专训4
绝对值的常见应用
阶段拔尖专训
【高分秘籍】运用绝对值解决问题，在初中代数中具有重要
的意义，利用绝对值的知识一般可以将问题化归，结合分类
讨论思想、数形结合思想解决问题，从而达到化难为易、化
繁为简的目的.
阶段拔尖专训
绝对值在比较大小中的应用
1. 比较－

−

和－(－4)的大小.
2｜ x －1｜＋3｜ x －3｜取得最小值，
此时｜ x ＋5｜＋2｜ x －1｜＋3｜ x －3｜＝ x ＋5＋2( x －
1)－3( x －3)＝12.
所以实验室 P 建在 B 代工厂和 C 代工厂之间，才能使总
运输成本最低，最低成本是12元.
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的差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距
离；｜3－(－2)｜表示3与－2的差的绝对值，实际上也
可理解为3与－2在数轴上所对的两点之间的距离；自然
地，对｜3－(－2)｜进行变形得｜3＋2｜，同样可以表
示3与－2在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：
；
(1)｜3－(－2)｜＝ 5
⁠
(2)｜ x －2｜表示 x 与
室 P 建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？
(实验室不能建在代工厂及城区处)
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阶段拔尖专训
【解】以城区 O 为原点，原点右侧为正方向，1 km为1个单
位长度，建立数轴，
设实验室 P 所对应的数为 x .
根据题意可得， x ≠－5，0，1，3，
芯片的运输成本为｜ x ＋5｜＋2｜ x －1｜＋3｜ x －3｜＝