高一数学下学期期末考试联考试题含解析 试题

2021～2021学年度高一年级第二学期期末考试
数学试卷
本套试卷分第一卷〔1~2页，选择题〕和第二卷〔3~8页，非选择题〕两局部．一共150分，考试用时120分钟．
第一卷〔选择题，一共60分〕
考前须知：
1．答第一卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、试卷科目需要用2B 铅笔涂写在答题卡上．
2．每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案，不能答在试卷上．
3．在在考试完毕之后以后，监考人员将本套试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
1.集合{
}
2
50A x x x =-<，{
}
2
40B x x =+>，那么A B =〔 〕
A. ()0,5
B. ()2,5-
C. ()2,5
D. ()
(),25,-∞-+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，可得出集合A B .
【详解】{}
()2500,5A x x x =-<=，{}
240B x x R =+>=，因此，()0,5A B =，
应选：A.
【点睛】此题考察集合的交集运算，解题的关键在于解出两个集合，考察计算才能，属于中等题.
2.以下说法正确的选项是〔 〕 A. 假设a b >，那么ac bc >
B. 假设a b >，c d >，那么ac bd >
C. 假设a b >，那么22a b >
D. 假设a b >，c d >，那么
a c
b d +>+
【答案】D 【解析】 【分析】
利用不等式的性质或者举反例的方法来判断各选项里面不等式的正误. 【详解】对于A 选项，假设0c <且a b >，那么ac bc <，该选项错误；
对于B 选项，取2a =，1b =-，1c =-，2d =-，那么a b >，c d >均满足，但ac bd <，B 选项错误；
对于C 选项，取1a =，2b =-，那么a b >满足，但22a b <，C 选项错误； 对于D 选项，由不等式的性质可知该选项正确，应选：D.
【点睛】此题考察不等式正误的判断，常用不等式的性质以及举反例的方法来进展验证，考察推理才能，属于根底题.
3.在等比数列{}n a 中，21
2
a =，68a =，那么4a =〔 〕 A. 4 B. 2 C. 4± D. 2±
【答案】B 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的定义知4a 与2a 同号，再利用等比中项的性质可求出4a 的值.
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，那么24
2
0a q a =>，21
02
a =
>，40a ∴>. 由等比中项的性质可得2
4261
842
a a a ==
⨯=，因此，42a =，应选：B. 【点睛】此题考察等比中项性质的应用，同时也要利用等比数列的定义判断出项的符号，考察运算求解才能，属于中等题.
4.在ABC ∆中，3AB =，3
C π
=，O 为ABC ∆的外接圆的圆心，那么CO =〔 〕
A. 3
B. 23
C. 3
D. 6
【答案】A 【解析】 【分析】
利用正弦定理可求出ABC ∆的外接圆半径CO .
【详解】由正弦定理可得
3
223
sin 3
2
AB CO C =
==，因此，3CO =，应选：A. 【点睛】此题考察利用正弦定理求三角形外接圆的半径，考察计算才能，属于根底题.
5.七巧板是古代中国劳动人民的创造，到了明代根本定型．清陆以湉在?冷庐杂识?中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，那么该点取自图中阴影局部的概率是〔 〕
A.
116
B.
18 C. 38
D. 316
【答案】B 【解析】 【分析】
设阴影局部正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】如下图，设阴影局部正方形的边长为a ，那么七巧板所在正方形的边长为22a ， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，那么该点取自图中阴影局
部的概率
()
2
2
1
8
a =，应选：B. 【点睛】此题考察几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考察分析问题和计算才能，属于中等题.
6.某型号汽车使用年限x 与年维修费y 〔单位：万元〕的统计数据如下表，由最小二乘法求得回归方程0.10.2y x =+．现发现表中有一个数据看不清，推测该数据的值是〔 〕
A. 0.4
B. 0.5
C. 0.6
D. 0.7
【答案】C 【解析】 【分析】
设所求数据为a ，计算出x 和y ，然后将点()
,x y 代入回归直线方程可求出a 的值. 【详解】设所求数据为
a
，那么
12345
35
x ++++=
=，
0.20.50.40.8 1.9
55
a a y +++++=
=，
由于回归直线0.10.2y x =+过样本的中心点 1.93,
5a +⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，那么有1.9
30.120.55
a +=⨯+=， 解得0.6a =，应选：C.
【点睛】此题考察利用回归直线计算原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点
(),x y 〞这一结论的应用，考察运算求解才能，属于根底题.
7.设x 、y 满足约束条件20x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，那么2z x y =+的最大值为〔 〕
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线2z x y =+在x 轴上的截距最大时对应的最优解，再将最优解代入目的函数可得出结果.
【详解】作出不等式组20x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
所表示的可行域如以下图中的阴影局部区域表示：
联立2x y y x
+=⎧⎨=⎩，得1x y ==，可得点A 的坐标为()1,1.
平移直线2z x y =+，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线2z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 2113z =⨯+=，应选：C.
【点睛】此题考察简单线性规划问题，一般作出可行域，利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值来获得，考察数形结合思想的应用，属于中等题.
8.执行如下的程序框图，那么输出的S 是〔 〕
A. 36
B. 45
C. 36-
D. 45-
【答案】A 【解析】 【分析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.
【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()1
20111S =+-⨯=-，112i =+=；
28i =≤成立，执行第二次循环，()2
21123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()3
23136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4
261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值是36，应选：A.
【点睛】此题考察算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考察分析问题和计算才能，属于中等题.
9.在ABC ∆中，根据以下条件解三角形，其中有一解的是〔 〕
A. 7a =，3b =，30B =
B. 6b =，c =45B =
C. 10a =，15b =，120A =
D. 6b =，c =60C = 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形解的个数的判断条件得出各选项里面对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项.
【详解】对于A 选项，17
sin 722
a B =⨯
=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解；
对于B 选项，sin 52
c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =，那么A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，
60C =，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.应选：D.
【点睛】此题考察三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考察推理才能，属于中等题.
10.数列{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 是等比数列，110=>a b ，440a b =>，那么以下说法正确的选项是〔 〕 A. 2323a a b b +>+ B. 2323a a b b +<+
C. 2323a a b b +=+
D. 23a a +与23b b +的大小不确定
【答案】A 【解析】 【分析】
设等比数列{}n b 的公比为q ，结合题中条件得出0q >且1q ≠，将1b 、2b 、3b 、4b 用1b 与
q 表示，利用因式分解思想以及根本不等式可得出23b b +与14b b +的不等关系，并结合等
差数列下标和性质可得出23a a +与23b b +的大小关系.
【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由于等差数列{}n a 是公差不为零，那么14a a ≠，从而1q ≠，
且34
1
0b q b =
>，得0q >，()2231111b b b q b q b q q +=+=+，
()
()()()()
33214111111111b b b b q b q b q q q b q q
+=+=+=+-+>+()11b q q =+，即1423b b b b +>+，
另一方面，由等差数列的性质可得141423b b a a a a +=+=+，因此，2323a a b b +>+， 应选：A.
【点睛】此题考察等差数列和等比数列性质的应用，解题的关键在于将等比中的项利用首项和公比表示，并进展因式分解，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.
11.以下有四个说法：
①假设A 、B 为互斥事件，那么()()1P A P B +<； ②在ABC ∆中，a b >，那么cos cos A B <； ③98和189的最大公约数是7；
④周长为P 的扇形，其面积的最大值为28
P ；
其中说法正确的个数是〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C 【解析】 【分析】
设A 、B 为对立事件可得出命题①的正误；利用大边对大角定理和余弦函数在()0,π上的单调性可判断出命题②的正误；列出98和189各自的约数，可找出两个数的最大公约数，从而可判断出命题③的正误；设扇形的半径为r ，再利用根本不等式可得出扇形面积的最大
值，从而判断出命题④的正误.
【详解】对于命题①，假设A 、B 为对立事件，那么A 、B 互斥，那么()()1P A P B +=，命题①错误；
对于命题②，由大边对大角定理知，A B >，且0B A π<<<，函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以，cos cos A B <，命题②正确；
对于命题③，98的约数有1、2、7、14、49、98，189的约数有1、3、7、9、21、
27、63、189，那么98和189的最大公约数是7，命题③正确；
对于命题④，设扇形的半径为r ，那么扇形的弧长为2P r -，
扇形的面积为()1222P S r P r r r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由根本不等式得2
22216P r r P S ⎛⎫+- ⎪≤= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当2P r r =-，即当4P r =时，等号成立，所以，扇形面积的最大值为2
16
P ，命题④
错误.应选：C.
【点睛】此题考察命题真假的判断，涉及互斥事件的概率、三角形边角关系、公约数以及扇形面积的最值，判断时要结合这些知识点的根本概念来理解，考察推理才能，属于中等题.
12.一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，那么该三角形的最小角的余弦值是〔 〕 A.
45
B.
34
C.
18
D.
7
【答案】B 【解析】 【分析】
设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，由二倍角公式sin sin 22sin cos B C C C ==，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于a 的方程，求出a 的值，可得出cos C 的值.
【详解】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-， 由题意得出2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，所以，2cos b c C =，
即2cos b C c =，即222b a b c c ab
+-=， 将1b a =+，1c a =-代入222b a b c c ab
+-=得14
11a a a a ++=-+，解得5a =，6b ∴=，4c =， 那么63
cos 284
b C
c =
==，应选：B. 【点睛】此题考察利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进展转化是解此题的关键，综合性较强.
第二卷〔非选择题，一共90分〕
考前须知：
1.第二卷一共6页，用钢笔或者圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂.
2.答卷前将密封线内的工程填写上清楚.
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填写上在题中横线上〕
〔2〕
化为十进制数是______．
【答案】15. 【解析】 【分析】
由二进制数的定义可将()21111化为十进制数.
【详解】由二进制数的定义可得()3210
211111212121215=⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：
15. 【点睛】此题考察二进制数化十进制数，考察二进制数的定义，考察计算才能，属于根底题.
14.某公司当月购进A 、B 、C 三种产品，数量分别为2000、3000、5000，现用分层抽样的方法从A 、B 、C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，假设样本中A 型产品有20件，那么n 的值是_______． 【答案】100. 【解析】
【分析】
利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出n 的值.
【详解】在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，那么有
202000200030005000
n
=++， 解得100n =，故答案为：100.
【点睛】此题考察分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考察运算求解才能，属于根底题.
15.正数x 、y 满足21x y +=，那么()()
12x y xy
++的最小值是________．
【答案】25. 【解析】 【分析】
利用等式21x y +=得
()()1236
1x y xy
x
y
++=++，将代数式36
x y +与代数式2x y +相乘，
利用根本不等式求出
36x y +的最小值，由此可得出()()12x y xy
++的最小值.
【详
解
】
21
x y +=，所以
()()()122222236
11x y x y x y xy x y xy
xy
xy
x
y
++++++++==+=++，
由根本不等式可得
()()()12223636112x y xy x y x y xy
xy
x
y
x
y ++⎛⎫
+++==++=+++
⎪⎝⎭
312131325y x x y =+
+≥+=， 当且仅当1
y 22
x ==
时，等号成立，因此，()()12x y xy ++的最小值是25，故答案为：25.
【点睛】此题考察利用根本不等式求最值，解题时要对代数式进展合理配凑，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.
16.在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，1n n a a n --=．那么数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和是_____. 【答案】
21
n
n + 【解析】 【分析】
先利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，然后将数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的通项裂开，
利用裂项求和法求出数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
【详解】当2n ≥时，1n n a a n --=．
所以，212a a -=，323a a -=，434a a -=，，1n n a a n --=.
上述等式全部相加得1234n a a n -=+++
+，()
112342
n n n a n +∴=++++
+=
. ()122211
n a n n n n ∴
==-++， 因此， 数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为
22222
222122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
21n n =+，故答案为：21n n +. 【点睛】此题考察累加法求数列通项和裂项法求和，解题时要注意累加法求通项和裂项法求和对数列递推公式和通项公式的要求，考察运算求解才能，属于中等题.
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17.某校进展学业程度模拟测试，随机抽取了100名学生的数学成绩〔满分是100分〕，绘制频率分布直方图，成绩不．
低于80分的评定为“优秀〞．
〔1〕从该校随机选取一名学生，其数学成绩评定为“优秀〞的概率； 〔2〕估计该校数学平均分〔同一组数据用该组区间的中点值作代表〕． 【答案】〔1〕0.35；〔2〕该校数学平均分为76.5. 【解析】 【分析】
〔1〕计算后两个矩形的面积之和，可得出结果；
〔2〕将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，再将这些积相加可得出该校数学平均分. 【详解】〔1〕从该校随机选取一名学生，成绩不．
低于80分的评定为“优秀〞的频率为()0.0250.010100.35+⨯=，
所以，数学成绩评定为“优秀〞的概率为0.35； 〔2〕估计该校数学平均分
()550.005650.020750.040850.025950.011076.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．
【点睛】此题考察频率分布直方图频率和平均数的计算，解题时要熟悉频率和平均数的计算原那么，考察计算才能，属于根底题.
18.如图，为了测量河对岸A 、B 两点的间隔 ，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B 、C ．并测量得到以下数据，105DCA ∠=，30ADC ∠=，90BCE ∠=，
60ACB CEB ∠=∠=，2002DC =1003CE =米．求A 、B 两点的间隔 ．
【答案】1007AB =米 【解析】 【分析】
在ACD ∆中，求出DAC ∠，利用正弦定理求出AC ，然后在Rt BCE ∆中利用锐角三角函数定义求出BC ，最后在ABC ∆中，利用余弦定理求出AB . 【详解】由题意可知，在ACD ∆中，45DAC ∠=，
由正弦定理得
sin sin AC DC
ADC DAC =∠∠，所以sin 200sin DC ADC AC DAC
⨯∠=
=∠米， 在Rt BCE ∆中，10033300BC ==米， 在ABC ∆中，由余弦定理得
222221
2cos602003002200300700002
AB AC BC AC BC =⨯⨯=⨯⨯⨯=+-+-，
所以，1007AB =米.
【点睛】此题考察利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合元素类型选择正弦、余弦定理解三角形，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.
19.在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥．
〔1〕求数列{}n a 的通项公式n a ；
〔2〕令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】〔1〕29n a n =-；〔2〕(
)228,4
832,5
n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【解析】 【分析】
〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，可得出45
0a a ≤⎧⎨
≥⎩，可得出d 的取值范围，结合d Z ∈，可求出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出n a ； 〔2〕将数列{}n b 的通项公式表示为分段形式，即(
),4
,5
n n n n a n b a n N a n *-≤⎧==∈⎨
≥⎩，于是得出(
)4,4
2,,5
n n n n S n T n N S S a n *-≤⎧=∈⎨-≥⎩可得出n T 的表达式. 【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，那么d Z ∈， 由题意知，{}n S 的最小值为4S ，那么45
0a a ≤⎧⎨
≥⎩， 17a =-，所以370470
d d -≤⎧⎨-≥⎩，解得77
43d ≤≤，
d Z ∈，2d ∴=，
因此，()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-； 〔2〕
29n n b a n ==-.
当4n ≤时，0n a <，那么n n n b a a ==-，()
272982
n n n n T S n n -+-∴=-=-=-+；
当5n ≥时，0n a >，那么n n n b a a ==，
()22428216832n n T S S n n n n ∴=-=--⨯-=-+. 综上所述：(
)228,4
832,5
n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【点睛】此题考察等差数列通项公式以及绝对值分段求和，解题的关键在于将n S 的最小值
转化为与项相关的不等式组进展求解，考察化归与转化数学思想，属于中等题.
20.2019年3月22日是第二十七届“世界水日〞，3月22~28日是第三十二届“中国水周〞．我国纪念2019年“世界水日〞和“中国水周〞活动的宣传主题为“坚持节水优先，强化水资源管理〞．某中学课题小组抽取A、B两个小区各20户家庭，记录他们4月份的用水量〔单位：t〕如下表：
〔1〕根据两组数据完成下面的茎叶图，从茎叶图看，哪个小区居民节水意识更好？
〔2〕从用水量不．少于30t的家庭中，A、B两个小区各随机抽取一户，求A小区家庭的用水量低．于B小区的概率．
【答案】〔1〕见解析〔2〕3 8
【解析】
【分析】
〔1〕根据表格中的数据绘制出茎叶图，并结合茎叶图中数据的分布可比拟出两个小区居民节水意识；
〔2〕列举出所有的根本领件，确定所有的根本领件数，然后确定事件“A 小区家庭的用水量低．于B 小区〞所包含的根本领件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件“A 小区家庭的用水量低．于B 小区〞的概率. 【详解】〔1〕绘制如下茎叶图：
6055689
855221122346789
987765433224567
5210312
A B
由以上茎叶图可以看出，A 小区月用水量有7
10
的叶集中在茎2、3上，而B 小区月用水量有
7
10
的叶集中在茎0、1上，由此可看出B 小区居民节水意识更好； 〔2〕从用水量不少于30t 的家庭中，A 、B 两个小区各随机抽取一户的结果：
()35,31、()35,32、()32,31、()32,32、()31,31、()31,32、()30,31、()30,32，一
共8个根本领件，
A 小区家庭的用水量低于
B 小区的的结果：()31,32、()30,31、()30,32，一共3个根本
领件．
所以，A 小区家庭的用水量低．于B 小区的概率是3
8
． 【点睛】此题考察茎叶图的绘制与应用，以及利用古典概型计算事件的概率，考察搜集数据与处理数据的才能，考察计算才能，属于中等题.
21.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
cos c C -=．
〔1〕求角A 的大小； 〔2
〕假设a =
b 的最大值及相应的角B 的余弦值.
【答案】〔1〕4
A π
=〔2
〕b +
的最大值为
cos 5
B =
【解析】 【分析】
〔1〕由正弦定理边角互化思想结合内角和定理、诱导公式可得出cos A 的值，结合角A 的
取值范围可得出角A 的大小；
〔2〕由正弦定理得出2sin b B =，()2sin 2sin c C A B ==+，然后利用三角恒等变换思
想将b +转化为关于角B 的三角函数，可得出b 的值，并求出cos B 的值.
【详解】〔1sin cos B C A C -=，
()sin cos A C C A C +-=，
cos sin sin cos A C A C C A C +-=
，
sin sin 0A C C -=，由sin 0C >得cos A = 因为0A π<<，所以4A π
=
；
〔2〕由正弦定理可知，
2sin sin sin a b c
A B C
===， 那么有2sin b B =，2sin 2sin 4c C B π⎛⎫==+
⎪⎝⎭
，
2sin 2sin 422b B B B B B π⎫⎛⎫
=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
()
4sin 2cos B B B θ=+=+，其中sin cos θθ=
=
因为304B π<<
，所以34
B π
θθθ<+<
+，
所以当2
B π
θ+=
时，b +获得最大值
此时cos cos sin 25B πθθ⎛⎫
=-==
⎪⎝⎭
所以，b +的最大值为cos 5
B =
． 【点睛】此题考察正弦定理边角互化思想的应用，考察内角和定理、诱导公式，以及三角形中最值的求解，求解时常利用正弦定理将边转化为角的三角函数来求解，解题时要充分利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考察运算求解才能，属于中等题.
22.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，(
)2n n S a n n N *
=-∈．
〔1〕求证：数列{}1n a +是等比数列； 〔2〕求证：12
1111
122n n
a a a -
<+++
<． 【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析. 【解析】 【分析】
〔1〕令1n =，由11a S =求出1a 的值，再令2n ≥，由2n n S a n =-得()1121n n S a n --=--，将两式相减并整理得121n n a a -=+，计算出11
1
n n a a -++为非零常数可证明出数列{}1n a +为等
比数列；
〔2〕由〔1〕得出12n
n a +=，可得出121
n n a =-，利用放缩法得出111122n n n a -<≤，利用等比数列求和公式分别求出数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和112n -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，从而可证明出所证不等式成
立.
【详解】〔1〕当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a n =-得()1121n n S a n --=--，
上述两式相减得11221n n n n n a S S a a --=-=--，整理得121n n a a -=+.
那么
111122
211
n n n n a a a a ---++==++，且112a +=. 所以，数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列；
〔2〕由〔1〕可知11222n n
n a -+=⨯=，那么21n n a =-．
因为111212n n
n a =>-， 所以2
12
11
1111112222n n
n a a a +++
>+++
=-.
又因为()1
111111212222n n n n n a ---==≤--， 所以
11
12
111111
1222
22n n n a a a --+++
≤+++
=-<． 综上，12111
1
122n n
a a a -
<+++
<． 【点睛】此题考察利用前n 项和求数列通项，考察等比数列的定义以及放缩法证明数列不等式，解题时要根据数列递推公式或者通项公式的构造选择适宜的方法进展求解，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

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含泪播种的人一定能含笑收获。

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功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

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常说口里顺，常做手不笨。

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短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

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乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。