2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_43

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题
（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填涂到答题卡上）
1.若集合，且，则集合B可能是( )
A. B. R C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过集合，且，说明集合是集合的子集，对照选项即可求出结果．
【详解】解：因为集合集合，且，所以集合是集合的子集，
当集合时，，不满足题意，
当集合时，，不满足题意，
当集合，满足题意，
当集合时，，不满足题意，
故选：．
【点睛】本题考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用，属于基础题．
2.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可看出，要使得有意义，则需满足，解出的范围即可．
【详解】解：要使有意义，则，解得，定义域为．
故选：．
【点睛】本题考查了函数定义域定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．
3.三个数之间的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,，故选B.
4.函数的图象（）
A. 关于点（－，0）对称
B. 关于原点对称
C. 关于y 轴对称
D. 关于直线x=对称
【答案】A
【解析】
【详解】关于点（－，0）对称，选A.
5.函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是( )
A. (0,1)
B. (1,10)
C. (10,100)
D. (100，＋∞)
【答案】B
【解析】
函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，∵，
∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，
故选B
点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
6.已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．
【详解】设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r
则2r+2r＝8，r=2，
∴扇形的面积为r=
故选A
【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．
7.已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件利用诱导公式求得，再利用二倍角的余弦公式求得的值．
【详解】解：
故选：
【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
8.已知函数在闭区间有最大值3，最小值2，则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数图象，数形结合即可得解.
【详解】解：
，作出函数的图象，如图所示，
当时，取得最小值，，且
因为函数在闭区间上有最大值，最小值，则实数的取值范围是．
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．
9.曲线，曲线，下列说法正确的是（）
A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到
B. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到
C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到
D. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到
【答案】B
【解析】
由于，故首先横坐标缩小到原来得到
，再向左平移个单位得到.故选.
10.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．
考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．
11.函数，则是( )
A. 奇函数，且在上单调递减
B. 奇函数，且在上单调递增
C. 偶函数，且在上单调递减
D. 偶函数，且在上单调递增
【答案】D
【解析】
,所以为偶函数,
设,则在单调递增,
在单调递增,
所以在单调递增,故选B
12.已知函数是R上的奇函数，且当时，，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数为上的奇函数，则，且函数的图象关于原点对称，由函数有三个零点，则只需研究函数在时的零点，求出参数的取值范围.
【详解】因为为上的奇函数，则，且函数的图
象关于原点对称.
因为函数恰有三个零点，且当时，，
故当时，函数有个零点，则函数图象如图所示：
，解得，
故
故选：
【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，属于基础题.
13.已知函数，实数，满足不等式
，则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意得，故函数为奇函数．又，故函数在R上单调递减．∵，
∴，
∴，
∴．选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在答题卡上）
14.函数（且）图象所过的定点坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】
令指数为，即可求出函数恒过的定点.
【详解】解：因（且）
令解得，则
故函数恒过点
故答案为：
【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，属于基础题.
15.，则__________．
【答案】
【解析】
，，故原式.
16.已知，则的值是______.
【答案】1
【解析】
【分析】
首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用平方关系将化成齐次式，最后代入求值.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 17.已知幂函数，若，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由幂函数在上单调递增可得，从而解得．
【详解】解：幂函数在上单调递增，
又，
，
，即
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．18.已知函数，若，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的单调性求解．
【详解】易知函数是定义域内的单调递减函数，根据题意可得解得据此可得a的取值范围是
.
故答案为：．
【点睛】本题考查幂函数的单调性，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.已知集合．（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先求得，由此求得的值.（2），由于，故，解得.
【详解】解：，
（1）；
（2）∵，∴，
∵，∴，∴．
20.计算
【答案】（1）.（2）44.
【解析】
【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.试题解析：
考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算. 21.已知函数的零点是-3和2
(1)求函数的解析式.
(2)当函数的定义域是时求函数的值域.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】（1） ,
（2）因为开口向下，对称轴 ,在单调递减，
所以
所以函数的值域为
【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．
22.已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．
【解析】
试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用
正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数
，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小
值．
由已知，有
的最小正周期．
（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间
上的最大值为，最小值为．
考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．
23.某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形的圆心角，半径为200米，现欲修建的花园为平行四边形
，其中，分别在，上，在上．设，平行四边形的面积为.
（1）将表示为关于的函数；
（2）求的最大值及相应的值．
【答案】（1），
（2）当时，取得最大值平方
【解析】
【分析】
（1）分别过作于，过作于，利用三角函数，求出和长度，即可求出关于的函数.
（2）利用二倍角和辅助角公式化简函数解析式，通过的范围求出的最大值及相应的值.
【详解】（1）如图，
过作于，过作于，
∵，
∴，，
∴，
∴，
（2）
，
∵，∴，
∴当，即时，取得最大值，且最大值为
平方米.
【点睛】本题第一问考查三角函数在解决实际问题的应用.第二问考查三角函数的化简，最值问题，考查学生的计算能力和转化思想的应用，属于中档题.
24.已知.
(1)求函数的定义域；
(2)求证：为偶函数；
(3)指出方程的实数根个数，并说明理由.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析.【解析】
【分析】
（1）根据对数函数的真数大于，列出不等式组求出的取值范围即可；
（2）根据奇偶性的定义即可证明函数是定义域上的偶函数．
（3）将方程变形为，即，设
（），再根据零点存在性定理即可判断.【详解】解：（1）
，解得，即函数的定义域为；
（2）证明：∵对定义域中的任意，
都有
∴函数为偶函数；
（3）方程有两个实数根，
理由如下：
易知方程的根在内，
方程可同解变形为，即
设（）.
当时，为增函数，且，
则在内，函数有唯一零点，方程有唯一实根，又因为偶函数，在内，函数也有唯一零点，方程
有唯一实根，
所以原方程有两个实数根.
【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题．
25.已知函数对任意实数，都满足，且
，，当时，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)判断函数在上单调性，并给出证明；
(3)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)为奇函数；(2)在上单调递减，证明见解析；(3).
【解析】
【分析】
（1）令，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当时，，再利用已知和单调函数的定义，证明函数在上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数在上的单调性；
（3）先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可
【详解】解：（1）令，则.
∵，∴
∴函数为奇函数；
(2)函数在上单调递减.
证明如下：
由函数为奇函数得
当时，，，
所以当时，，
设，则，∴，
于是，
所以函数在上单调递减.
∵函数为奇函数，∴函数在上单调递减.
(3)∵，且，∴
又∵函数为奇函数，∴
∵，∴，函数在上单调递减.
又当时，.
∴，即，
故的取值范围为.
【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题
（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填涂到答题卡上）
1.若集合，且，则集合B可能是( )
A. B. R C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过集合，且，说明集合是集合的子集，对照选项即可求出结果．
【详解】解：因为集合集合，且，所以集合是集合的子集，
当集合时，，不满足题意，
当集合时，，不满足题意，
当集合，满足题意，
当集合时，，不满足题意，
故选：．
【点睛】本题考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用，属于基础题．
2.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可看出，要使得有意义，则需满足，解出的范围即可．
【详解】解：要使有意义，则，解得，
定义域为．
故选：．
【点睛】本题考查了函数定义域定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．
3.三个数之间的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,，故选B.
4.函数的图象（）
A. 关于点（－，0）对称
B. 关于原点对称
C. 关于y轴对称
D. 关于直线x=对称
【答案】A
【解析】
【详解】关于点（－，0）对称，选A.
5.函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是( )
A. (0,1)
B. (1,10)
C. (10,100)
D. (100，＋∞)
【答案】B
【解析】
函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，
∵，
∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，
故选B
点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．6.已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．
【详解】设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r
则2r+2r＝8，r=2，
∴扇形的面积为r=
故选A
【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．
7.已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件利用诱导公式求得，再利用二倍角的余弦公式求得的值．
【详解】解：
故选：
【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
8.已知函数在闭区间有最大值3，最小值2，则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
作出函数图象，数形结合即可得解.
【详解】解：
，作出函数的图象，如图所示，
当时，取得最小值，，且
因为函数在闭区间上有最大值，最小值，
则实数的取值范围是．
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．
9.曲线，曲线，下列说法正确的是（）
A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，
得到 B. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移
个单位，得到
C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，
得到 D. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到
【答案】B
由于，故首先横坐标缩小到原来得到，再向左平移个单位得到.故选.
10.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．
考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．
11.函数，则是( )
A. 奇函数，且在上单调递减
B. 奇函数，且在上单调递增
C. 偶函数，且在上单调递减
D. 偶函数，且在上单调递增
【解析】
,所以为偶函数,
设,则在单调递增,
在单调递增,
所以在单调递增,故选B
12.已知函数是R上的奇函数，且当时，，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数为上的奇函数，则，且函数的图象关于原点对称，由函数有三个零点，则只需研究函数在时的零点，求出参数的取值范围.
【详解】因为为上的奇函数，则，且函数的图象关于原点对称.
因为函数恰有三个零点，且当时，，
故当时，函数有个零点，则函数图象如图所示：
，解得，
故
故选：
【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，属于基础题.
13.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意得，故函数为奇函数．
又，故函数在R上单调递减．
∵，
∴，
∴，
∴．选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在答题卡上）
14.函数（且）图象所过的定点坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】
令指数为，即可求出函数恒过的定点.
【详解】解：因（且）
令解得，则
故函数恒过点
故答案为：
【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，属于基础题.
15.，则__________．
【答案】
【解析】
，，故原式.
16.已知，则的值是______.
【答案】1
【解析】
【分析】
首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用平方关系将化成齐次式，最后代入求值.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.
17.已知幂函数，若，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由幂函数在上单调递增可得，从而解得．
【详解】解：幂函数在上单调递增，
又，
，
，即
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．
18.已知函数，若，则a的取值范围是______.【答案】
【解析】
【分析】
由函数的单调性求解．
【详解】易知函数是定义域内的单调递减函数，根据题意可得
解得据此可得a的取值范围是.
故答案为：．
【点睛】本题考查幂函数的单调性，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.已知集合．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先求得，由此求得的值.（2），由于，故，解得.
【详解】解：，
（1）；
（2）∵，∴，
∵，∴，∴．
20.计算
【答案】（1）.（2）44.
【解析】
【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.
试题解析：
考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.
21.已知函数的零点是-3和2
(1)求函数的解析式.
(2)当函数的定义域是时求函数的值域.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】（1） ,
（2）因为开口向下，对称轴 ,在单调递减，
所以
所以函数的值域为
【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．
22.已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．
【解析】
试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式
，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间
上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．
由已知，有
的最小正周期．
（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，
，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．
23.某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如
图，已知扇形的圆心角，半径为200米，现欲修建的花园为平行四边形，其中，分别在，上，在上．设，平行四边形
的面积为.
（1）将表示为关于的函数；
（2）求的最大值及相应的值．
【答案】（1），
（2）当时，取得最大值平方
【解析】
【分析】
（1）分别过作于，过作于，利用三角函数，求出和长度，即可求出关于的函数.
（2）利用二倍角和辅助角公式化简函数解析式，通过的范围求出的最大值及相应的值.【详解】（1）如图，
过作于，过作于，
∵，
∴，，
∴，
∴，
（2）
，
∵，∴，
∴当，即时，取得最大值，且最大值为平方米.
【点睛】本题第一问考查三角函数在解决实际问题的应用.第二问考查三角函数的化简，最值问题，考查学生的计算能力和转化思想的应用，属于中档题.
24.已知.
(1)求函数的定义域；
(2)求证：为偶函数；
(3)指出方程的实数根个数，并说明理由.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据对数函数的真数大于，列出不等式组求出的取值范围即可；
（2）根据奇偶性的定义即可证明函数是定义域上的偶函数．
（3）将方程变形为，即，设
（），再根据零点存在性定理即可判断.
【详解】解：（1）
，解得，即函数的定义域为；
（2）证明：∵对定义域中的任意，
都有
∴函数为偶函数；
（3）方程有两个实数根，
理由如下：
易知方程的根在内，
方程可同解变形为，即
设（）.
当时，为增函数，且，
则在内，函数有唯一零点，方程有唯一实根，
又因为偶函数，在内，函数也有唯一零点，方程有唯一实根，
所以原方程有两个实数根.
【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题．
25.已知函数对任意实数，都满足，且，，当时，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)判断函数在上单调性，并给出证明；
(3)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)为奇函数；(2)在上单调递减，证明见解析；(3).
【解析】
【分析】
（1）令，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；
（2）先证明当时，，再利用已知和单调函数的定义，证明函数在
上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数在上的单调性；
（3）先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可
【详解】解：（1）令，则.
∵，∴
∴函数为奇函数；
(2)函数在上单调递减.
证明如下：
由函数为奇函数得
当时，，，
所以当时，，
设，则，∴，
于是，
所以函数在上单调递减.
∵函数为奇函数，∴函数在上单调递减.
(3)∵，且，∴
又∵函数为奇函数，∴
∵，∴，函数在上单调递减.
又当时，.
∴，即，
故的取值范围为.
【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法。