2020年函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

函数对称性、周期性和奇偶性规律
一、
同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、周期性：对于函数
)(x f y
，如果存在一个不为零的常数
T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
)()
(x f T x f 都成立，那么就把函数)(x f y
叫做周期函数，不为零的常数
T 叫做这个函数的周
期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、对称性定义（略），请用图形来理解。

3、对称性：
我们知道：偶函数关于
y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式
)()(x f x f 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式
)
()(x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y
关于a x 对称
)()(x a f x a f )()
(x a
f x a f 也可以写成
)2()
(x a
f x f 或)
2()
(
x a
f x f 简证：设点),(11y x 在)(x f y 上，
通过)2()(x a
f x f 可知，)2()
(111x a
f x f y ，
即点)(),2(11x f y
y x a
也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a
关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()
(x b
f x a f ，函数)(x f y
关于直线22)
()(b
a x b
x a
x 对称
（2）函数)(x f y
关于点),(b a 对称
b x a
f x a
f 2)()
(b x f x a f 2)()2(上述关系也可以写成
或
b x f x a
f 2)()
2(简证：设点),(11y x 在)(x f y
上，即
)(11
x f y ，通过b x f x a
f 2)
()
2(可知，
b x f x a f 2)
()2(11，所以1112)
(2)
2(y b
x f b
x a
f ，所以点
)2,2(11y b
x a
也在)(x f y 上，而点)2,2(11y b x a 与),(11y x 关于),(b a 对称。

得
证。

若写成：
c x b f x a f )
()(，函数)(x f y 关于点)2
,
2
(
c b
a 对称
（3）函数)(x f y 关于点b y 对称:假设函数关于b y 对称，即关于任一个
x 值，都有两个
y
值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y 对称。

但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于
b y
对称，比如圆04
)
,(2
2
y
x
y x c 它会关于y=0对称。

4、周期性：
（1）函数)(x f y
满足如下关系系，则T
x f 2)(的周期为
A 、)()(x f T x f
B 、)
(1)
()
(1)
(x f T x
f x f T x
f 或 C
、)
(1
)(1)
2
(x f x f T x
f 或)
(1
)(1)
2
(x f x f T x
f （等式右边加负号亦成立）
D 、其他情形（2）函数)(x f y
满足)()(x a f x a f 且)()(x b f x b
f ，则可推出)](2[)]
2([)]
2([)
2()
(a b
x
f b x
a
b
f b x
a
b
f x a f x f 即可
以得到)(x f y
的周期为2(b-a)，
即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，
则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足)()
(x f T x
f 则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为
kT T x
22
)(z k ，根据)2()
(T x f x f 可以找出其对称中心为
)0(kT ，)(z k
（以
上0T
）
如果偶函数满足)()
(x f T x
f 则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为
)0,22
(
kT T )(z k ，
根据)2()(T x
f x f 可以推出对称轴为
kT T
x
2)(z k
（以
上0T
）
（4）如果奇函数
)(x f y
满足)()(x T
f x T
f （0T ），则函数)(x f y 是以4T 为周
期的周期性函数。

如果偶函数)(x f y
满足)()
(x T
f x T f （0T
），则函数)
(x f y
是以2T 为周期的周期性函数。

定理3：若函数
x f 在R 上满足x a f x a
f )(，且x b f x b f )(（其中
b a
），则函数x f y 以b a
2为周期.
定理4：若函数
x f 在R 上满足x a f x a
f )(，且x b f x b f )(（其中
b a
），则函数x f y 以b a
2为周期.
定理5：若函数x f 在R 上满足x a f x a f )(，且x b
f x b f )(（其中b a
），
则函数x f y 以b a
4为周期.
二、
两个函数的图象对称性1、
)(x f y
与)(x f y 关于X 轴对称。

换种说法：)(x f y 与)(x g y 若满足)()
(x g x f ，即它们关于0y
对称。

2、
)(x f y
与)(
x f y 关于Y 轴对称。

换种说法：)(x f y 与)(x g y 若满足)(
)(x g x f ，即它们关于0x
对称。

3、
)(x f y
与)2(x a f y
关于直线a x
对称。

换种说法：)(x f y 与)(x g y 若满足)2()
(x a
g x f ，即它们关于a x
对称。

4、
)(x f y 与)(2x f a
y 关于直线a y 对称。

换种说法：)(x f y 与)(x g y 若满足a x g x f 2)
()
(，即它们关于a y 对称。

5、
)2(2)(x a f b y x f y 与关于点(a,b)对称。

换种说法：)(x f y 与)(x g y 若满足b x a g x f 2)
2()(，即它们关于点(a,b)对称。

6、
)(x a
f y 与)(b x
y
关于直线2
b a
x
对称。

7、函数的轴对称：
定理1：如果函数x f y 满足x b f x a f ，则函数x f y
的图象关于直线2
b a x
对
称.
推论1：如果函数
x f y 满足x a f x a f ，则函数x f y 的图象关于直线a x 对称.
推论2：如果函数x f y 满足x f x f ，则函数x f y
的图象关于直线0x （y 轴）对称.
特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理
1的简化.
8、函数的点对称：
定理2：如果函数x f y 满足b x a f x a f 2，则函数x f y 的图象关于点b a,对
称.
推论3：如果函数
x f y 满足0x a f x a f ，则函数x f y 的图象关于点0,a 对称.
推论4：如果函数
x f y 满足0x f x f ，则函数x f y 的图象关于原点0,0对称.特别地，
推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.
三、总规律：定义在Ｒ上的函数x f y ，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条
一定存在。

四、试题1．已知定义为
R 的函数
x f 满足4x f x f ，且函数x f 在区间,
2上单调递增.如果
21
2
x x ，且42
1x x ，则21x f x f 的值（A ）.
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负.
分析：4x f x f 形似周期函数4x f x f ，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通
过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用2x
代替x ，使4x f x f
变形为
22
x f x f .它的特征就是推论
3.因此图象关于点
0,2对称.x f 在区间,
2上单调递增，在
区间
2,上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位
.
12
4
2
x x ，且函数在
,
2上单调递增，所以
124x f x f ，又由4x f x f ，
有11
1
1444
)
4
(x f
x f x f
x f ，
21x f x f 11
4
x f x f 01
1x f x f .选A.
当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为
A.
2：在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且
()f x (2
)f x .若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( B )
A.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
B.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[2,1]上是减函数，在区间
[3,4]
上是增函数
分析：由()
(2
)f x f x 可知()f x 图象关于x
1对称，即推论1
的应用.又因为()f x 为偶函数图象关于0x
对称，可得到()f x 为周期函
数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上是减函数，可得如右
()
f x 草图.故选B
3.定义在R 上的函数
)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期
.若将方程
0)
(x f 在闭区间
T T ,上的根的个数记为
n ，则n 可能为（ D ）
A.0
B.1
C.3
D.5
分析：()
()0f T f T ，(
)(
)(
)(
)2
2
2
2
T T T T f f f T f ，
∴()
()
022T T f f ，则n 可能为5，选 D.
4．已知函数
x f 的图象关于直线2x
和4x
都对称，且当10
x
时，x x f
.求5.19f 的
值.
分析：由推论
1可知，x f
的图象关于直线2x
对称，即x f x f 22
，
同样，x f 满足x f x f 4
4
，现由上述的定理
3知x f
是以4为周期的函数.
5.34
45.19f f 5.3f 5.05
.04
f
f ，同时还知x f 是偶函数，所以
5.05
.05
.0f f
.
5．39821583214f x f x f x f x ，则0f ，1f ，2f ，,，999f 中
最多有（ B ）个不同的值.
A.165
B.177
C.183
D.199
分析：由已知
39821583214f x f x f x f x 1056
f x 1760704352f x f x f x .
又有39821583214f x f x f x f x 1056
f x 21581056f x
11021102105646f x f x f x ，
于是)(x f 有周期352，于是0,1,,999
f f f 能在
0,1,,351
f f f 中找到.
又)(x f 的图像关于直线
23x 对称，故这些值可以在
23,24,,351
f f f 中找到.又)(x f 的
图像关于直线
199x 对称，故这些值可以在
23,24,,199
f f f 中找到.共有177个.选B.
6：已知11
3x f
x
x
，1
f
x f f x
，2
1f
x f
f x
，,，
1
n
n f x f
f x
，则
2004
2
f （ A ）.
A.
17
B.
17 C.
35
D.3
分析：由
1
1
3x f x x
，知1
131
x f x
x
，2
131x f x f
x x
，3f x
f
x .
)(x f 为迭代周期函数，故
3n f x f x ，2004f x f x ，2004
12
2
7
f f .
选A.
7：函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且02005f ，1g x f x 是奇函数，则
2005
f 的值为 .
解：1
1g x f x g x f x ，11f x f x
，令1y
x
，则
2f
y
f
y ，即有2
0f
x
f
x
，令n
a f
x ，则2
0n
n
a a ，其中02005a ，
1
0a ，20052
n
n
n
a i
i ，2005
2005
f
a 2005
2005
20052
i
i
0. 或有2f x f x ，得2005200320011999
f f f f 1
0f .
8．设函数
))((R x
x f 为奇函数，
),2()
()2(,21)
1(f x f x
f f 则)
5(f （
c
）
A ．0
B ．1
C ．2
5D ．5
分析：答案为B 。

先令f （1）= f （--1+2）=f （--1）+f （2）=1/2，根据奇函数的定义可求得f （--1）=--1/2，所以，
f （2）=1，f （5）=f （3）+f （2）=f （1）+f （2）+f （2）=5/2，所以，答案为c 。

9．设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线
x=3对称，则
下面正确的结论是
（ B ）
(A) 1.5 3.5
6.5f f f
； (B) 3.5
1.5 6.5f f f
；
(C) 6.5
3.5
1.5f f
f ； (D)
3.5 6.5
1.5
f
f
f 分析：答案为B 。

做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将f （x ）设成正弦或余弦函数，具体到本题，可将
f （x ）设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在（
0,3）内单调递减，根据图像，即可求出，答
案为B 。

10．设函数
()f x 与()g x 的定义域是
x
R 1
x
,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且
1()()1
f x
g x x
，则()f x 等于（C ）
A.
1
1
2
x
B.1
22
2
x
x C.
1
22
x
D.
1
22
x
x
分析：答案为 C. 本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为C
11：已知函数
f(x)在(－1，1)上有定义，f(
12
)=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有
f(x)+f(y)=f(
xy y
x
1
),试证明: (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.
证明: (1)由f(x)+f(y)=f(
xy
y x 1
)可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(
2
1
x
x
x )=f(0)=0. ∴f(x)=－f(－x). ∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0<x 1<x 2<1,则f(x 2)－f(x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(
2
112
1
x x x x )
∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴
1212
1
x x x x >0,
又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0，∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<2
1121
x x x x <1,由题意知f(211
21
x x x x )<0，
即
f(x 2)<f(x 1). ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又
f(x)为奇函数且f(0)=0
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
12. 已知函数y ＝f (x)是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数()(
1
1)y
f x x
是奇函数又知y ＝f (x)在[0,1]
上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值5.
①证明：(1)
(4)
0f f ；②求
(),[1,4]y f x x
的解析式；③求
()
y f x 在[4,9]上的解析式.
解：∵f (x)是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)
(1)f f f ，又∵()(
11)y f x x
是奇函数，∴
(1)
(1)
(4)f f f ，∴(1)
(4)0
f f ②当
[1,4]
x
时，由题意可设
2
()
(2)
5 (0)f x a x
a
，
由(1)(4)0f f 得2
2
(12)5(42)
5
0a a ，∴2a ，
∴2
()2(2)
5(1
4)
f x x
x
③∵()(11)y
f x x
是奇函数，∴
(0)
0f ，
又知y ＝f (x)在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x
，而2
(1)
2(12)
5
3f ，
∴3k ，∴当01x 时，f (x)=-3x ，
从而当10x 时，()
()
3f x f x x ，故
11x 时，f (x)= -3x ，.
∴当46x
时，有
151x ，∴0.
当6
9x
时，1
5
4x
，∴2
2
()
(5)2[(5)2]
52(7)
5
f x f x x x ∴2
315,46()
2(7)
5,
6
9
x
x f x x
x
13．设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ
ｘ１，ｘ２∈［０
2
1］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ
２
）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０．
(Ⅰ)求ｆ)4
1(
),2
1(
f ；
(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；（Ⅲ）记n a ＝ｆ（２ｎ＋
n
21），求n a ．
(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，2
1］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）,
所以
2
2
)]
41(
[)
4
1()
41()4
14
1
()
21()]
21
([)
21()21
()
212
1()1(]1,0[,0)2
(
)2
(
)2
2(
)(f f f f f f f f f f x x f x f x x f x f ｆ（１）＝ａ＞0，
∴4
1
2
1
)4
1(
,)2
1(
a
f a
f (Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称，故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R
又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ，∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ，
将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且
2是它的一个周期.
（Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］∵]
21)
1(21[
)21()2
1(
n
n n
f n
n
f f n
n
f n
f n
f n
f n
n
f n
f )]
21([)21()21()21(
]21)
1[()21(
2
1
)2
1(
a
f ∴n
a
n
f 21
)21(
∵ｆ（ｘ）的一个周期是
2
∴ｆ（２ｎ＋
n
21）=ｆ（
n
21）,因此a n =n
a
21
函数对称性与周期性几个重要结论赏析
湖南周友良黄爱民
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对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决
抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论
（一）函数图象本身的对称性（自身对称）
1、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。

2、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。

3、函数满足的充要条件是图象关于直线
对称。

4、如果函数满足且，（和是不相等的常数），则是以为为周期的周期函数。

5、如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。

6、如果偶函数满足（），则函数是以2T为周
期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、曲线与关于X轴对称。

2、曲线与关于Y轴对称。

3、曲线与关于直线对称。

4、曲线关于直线对称曲线为。

5、曲线关于直线对称曲线为。

6、曲线关于直线对称曲线为。

7、曲线关于点对称曲线为。

二、试试看，练练笔
1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,,则________。

2、已知函数满足，则图象关于__________对称。

3、函数与函数的图象关于关于__________对称。

4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。

5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。

图象关于__________对称。

6、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。

7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（）
A、5
B、10
C、15
D、18
8、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。

9、函数定义域为R，且恒满足和，当
时，，求解析式。

10、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在
上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根．
附参考答案：
：：：：y轴即：①y轴②
：①②：C ：②④
：
：方程的根为共9个根
抽象函数的对称性与周期性
一、抽象函数的对称性。

性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)。

（2）f(2a－x)＝f(x)。

（3）f(2a＋x)＝f(－x)。

性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。

（2）f(2a－x)＝－f(x)。

（3）f(2a＋x)＝－f(－x)。

注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。

y＝f(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。

二、复合函数的奇偶性。

性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。

复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。

性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；
复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。

性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。

复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。

三、函数的周期性。

性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a)，
②f(x＋a)＝－f(x)，
③f(x＋a)＝1/f(x)，
④f(x＋a)＝－1/f(x)。

四、函数的对称性与周期性。

性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。

性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。

性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。

五、复合函数的对称性。

性质1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b-x)关于直线x＝(b-a)/2轴对称。

性质2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中心对称。

推论1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称。

推论2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称。

六、巩固练习
1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝
f(6－x)的图象（）。

A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称
C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称
2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤１时，
f(x)＝x，则f(7.5)=（）。

A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5
3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，
f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（）。

A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。

参考答案：D，B，C，T＝2。