2020年天津市河北区中考数学一模试卷及答案

2020年天津市河北区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算2)4
(-的结果等于
A. 16
B. 8
C. -16
D. -4
2. 计算2cos45°的值等于
A.
4
2
B.
2
2
C. 2
D.2
2
3. 3月7日，中国政府决定向世卫组织捐款20 000 000美元，支持世卫组织开展抗击新冠肺炎疫情国际合作，帮助发展中国家提升应对疫情的能力，公共卫生体系建设. 20 000 000用科学记数法表示为
A. 2×107
B. 2×103
C. 2×106
D.2000×104
4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
5. 如图，是由5个相同的正方形组成的立体图形，从上面观察这个立体图形，得到的平面图形是
A. B. C. D.
6. 估计13
2+的值（）
A. 在2和3之间
B. 在4和5之间
C. 在5和6之间
D. 在6和7之间
7. 化简
1
2
1
1
2-
-
-a
a
的结果是
A.
1
-
a
a
B.
1
+
a
a
C.
1
1
+
a
D.
a
a1
+
8. 二元一次方程组
⎩
⎨
⎧
=
+
=
-
6
3
2
y
x
y
x
的解是
A.
⎩
⎨
⎧
=
=
5
1
y
x
B.
⎩
⎨
⎧
=
=
3
y
x
C.
⎩
⎨
⎧
=
=
2
4
y
x
D.
⎩
⎨
⎧
=
=
1
5
y
x . .
9. 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于点H ，则DH 的长为（ ） A. 4.8cm B. 5cm C. 9.6cm D. 10cm
第9题 第11题
10. 若点A （1x ，1）、B （2x ，-2）、C （3x ，-3）在反比例函数x
k y 1
2+-=的图象上，则321x x x 、、是
A. 321x x x <<
B. 231x x x <<
C. 213x x x <<
D. 3
12x x x <<
11. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为15，E 、F 分别是CD 、AD 边上的点，连接AE ，把正方形纸片沿BF 折叠，使点A 落在AE 上的一点G ，若CE ＝7，则GE 的长为 A. 3 B.
1749 C. 4 D. 15
37 12. 已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴交于点（−2，0），（1x ，0），且1＜1x ＜2，与y 轴正半轴的交点在 （0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；①024>++c b a ；①c a +2＞0；①2a−b ＋1＞0．其中正确的结论是 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算：=÷3
6
28a a . 14. 化简)223)(223(-+= .
15. 小敏微信支付密码是六位数（每一位可能是0~9），由于她忘记了她密码的末位数字，则小敏能一次支付成功的概率是 .
16. 将直线x y 3=先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到的直线是 . 17. 如图，△ABC 是等边三角形，AD ＝
3
1
AB ，点E 、F 分别为边AC 、BC 上的动点， 当△DEF 的周长最小时，∠FDE 的度数是 .
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均在格点上. （1）△ABC
的面积为 ；
（2）点P 是△ABC 内切圆与AB 的切点，请在如图所示的网格中，用无刻 度的直尺画出点P ，并简要说明P 的位置是如何找到的（不要求证明）
..
三、解答题（本大题共7小题，共66分。

解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组⎩
⎨⎧≤->+，②，①
x x x 21303
请结合题意填空，完成本题的解答 （1）解不等式①，得 . （2）解不等式②，得 .
（3）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 .
20. 某校共有1200名学生，为了解学生的视力情况，随机调查了部分学生，根据他们的视力，绘制出如下的统计图①和图②. 请根据相关信息，解答下列问题：
图① 图② （1）图①中的m 的值为 ；
（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（3）若视力在5.0（含5.0）以上均为正常，根据样本数据，估计该校视力达到正常的学生人数. 5.0 32%
5.1 20% 4.8 m%
4.6
10%
5.2 10%
视力
人数
5
14
16
10
5
4.6 4.8
5.0 5.1 5.2 0
5 15 10 20
21.四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线.
（1）如图①，若∠BAD=70°，BC=CD，求∠CAD的大小；
（2）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB=BC，OC//AB，求∠ACO的大小.
图①图②
22.如图，小李欲测量一棵古树MN的高度，小李在古树前方B点处测得树顶M处的仰角为35°，他径直走了8m 后到达点A处，测得树顶M的仰角为23°，已知小李的眼睛距离地面的高度BD=AC=1.8m，求古树的高度MN和BN的长（结果取整数）.
参考数据：tan35°≈0.70，tan23°≈0.42
.
A
B
C D
O
.
A
B
C
D
O
23. 某商场为庆祝开业，特在开业当天推出了两种购物方案： 方案一：非会员购物所有商品价格可享9折优惠；
方案二：若额外缴纳50元会费成为该商场会员，则所有商品价格可享8折优惠. 设王女士在该商场开业当天的累计购物金额为x 元. （1）根据题意，填写下表： 累计购物金额
350
450 550 650 ... 方案一的付款金额（元） 315 405 ... 方案二的付款金额（元） 330
410
...
（2）分别写出王女士按方案一、方案二的付款金额1y 元、2y 元与累计购物金额x 元)0(>x 之间的函数关系式； （3）当200>x 时，王女士选择哪种购物方案更合算？并说明理由.
24. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A （0，4）、B （3，0）.
（1）把图中的△OAB 绕点O 逆时针旋转得到△OA ′B ′，旋转角为α，且︒<<︒1800α. ①如图①，在旋转过程中，当α=60°时，求点B ′的坐标； ②如图②，当点O 到AA ′的距离等于AO 的一半时，求α的度数；
（2）点D 是OA 的中点，将OD 绕点O 逆时针旋转，在旋转的过程中，点D 的对应点为M ，连接AM 、BM. S 为△ABM 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）
图① 图②
B
A B ′
A ′
O x
y
B
A
B ′
O
x
y
25. 在平面直角坐标系中，抛物线132
--=ax ax y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在B 的右侧），与y 轴交于点C. （1）当点（2
31-
，）在二次函数132
--=ax ax y 上时. ①求二次函数的解析式；
②P 为第四象限内的抛物线上的一动点，连接PA 、PC ，若△PAC 的面积最大时，求点P 的坐标；
（2）点M 、N 的坐标分别为（1，2）、（4，2），连接MN. 直接写出线段MN 与二次函数132
--=ax ax y 的图象只有一个交点时a 的取值范围.
2020年天津市河北区中考数学一模试卷答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

1. A
2. C
3. A
4. D
5. D
6. C
7. C
8. D
9. A 10. B 11. B 12. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

13. 3
4a 14. 1 15. 10
1
16. 113-=x y 17. 60° 18. （1）12
（2）方法一：如图，取格点E 、F 、G 、H ，分别连接 EF 、GH 交于点D ，取格点O ，连接OD 交AB 于P ， 点P 即为所求。

方法二：如图，取格点M 、N ，连接MN 交AB 于P ， 点P 即为所求。

三、解答题：本大题共7小题，共 66分。

19. （1）3->x （2）1≤x
（3）
（4）13≤<-x 20. 解：（1）28. （2）944.45
10161455
2.5101.5160.5148.456.4=++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
x
∴这组数据的平均数为4.944. ······4分
∵在这组数据中，5.0出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为5.0 ·····5分
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是5.0,
∴这组数据的中位数为5.0 ·····6分
（3）∵在统计的这组学生的视力情况的样本数据中，视力达到5.0(含5.0)的学生人数约占62%,
∴估计该校1200名学生中，视力达到5.0(含5.0)的学生人数约占62%,
1200×62%=744.
答：估计该校视力达到正常的学生为744人。

······ 8分
21.解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，
∴，∠BAC=∠CAD ······1分
∵∠BAD=70° ······2分
∴∠CAD=∠BAC=35°；······3分
（2）连接BD，如图，
∵AB=BC
∵OC//AB
∴∠BAC=∠OCA，······5分
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA ·····6分
∵∠ADB=∠ACB ······7分
∴∠BAC=∠CAO=∠ADB=∠ACO
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90° ······8分
∴∠ADB+∠BAD=90°，即3∠ACO=90°，······9分
∴∠ACO=30° ······10分
22. 解：如图，延长CD 交MN 于点E ， 则EN=BD=AC=1.8，CE=AN ， CD=AB=8，DE=BN. ······2分 设BN=x ，
在Rt △MDE 中，∵∠MDE=35°， ∴ME=x ·tan35°.······4分 在Rt △MCE 中，∵∠MCE=23°， ∴ME=(x +8)·tan 23°， ·····6分 ∴（x +8）·tan 23°=x ·tan 35°·····7分 解得 x ≈12.0 ∴BN≈12，······8分
∴MN=ME+EN≈12.0×0.7+1.8=10.2≈10.······9分
答：古树的高度MN 约为10m ，BN 的长约为12m.······10分 23. 解：（1）495，585，490，570；······ 4分
（2）根据题意得，）（），（0508.009.021>+=>=x x y x x y ······6分
（3）设501.0)508.0(9.021-=+-==-=x x x y y y ······7分 令0=y ，解得x =500.
∴当x =500时，王女士选择方案一和方案二的付款金额一样。

······8分 ∵0.1>0，∴y 随x 增大而增大。

∴当200<x <500时，y <0，王女士选择方案一更合算，······9分 ∴当x >500时，y >0，王女士选择方案二更合算。

······10分 24. 解：（1）
（i ）将△AOB 绕点O 逆时针旋转得到△A'OB'，过B'作B'E ⊥x 轴于点E. ∴ OB=0B'=3.······1分 ∵∠B'OE=60°
∴∠OB'E=30°，······2分 ∴OE=
21OB'=2
3
.......3分 ∵cos ∠OB'E=
'
'OB E
B ∴B'E=2
33233=⨯
∴)2
3323('，
B
（ii ）过点O 作OF ⊥AA'于F.
∵△AOB 绕点O 逆时针旋转得到△A'OB', ∴OF =
2
1
AO ， 在Rt △AOF 中，sin ∠OAF=2
1
=AO OF .......5分 ∴∠OAF=30° ·····6分 ∵OA=OA'，
∴∠OAF=∠OA'F=30° ·····7分 ∴∠AOA'=120°，即α=120°.······8分 （2） 1≤S≤11 ······10分 25. 本小题10分 解：（I ） （i ）∵（231-
，）在132
--=ax ax y 的图象上， ∴2
313-=--a a 解得4
1=
a ∴抛物线的解析式为14
3
412--=x x y ······2分 （ii ）∵14
3
412--=
x x y
11 当x =0时，1-=y ，
∴C （0，-1）·····3分
当0=y 时，014
3412=--x x 0432=--x x
解得1421-==x x ，
∴ B(-1，0)，A(4，0) ······4分
设直线AC 的解析式为)0(≠+=k b kx y
将A(4，0)，C(0，-1)代入b kx y +=
可得⎩
⎨⎧-==+104b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==1
41b k
∴直线AC 的解析式为14
1-=x y ······5分 过P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，交AC 于点F.
设P （)141()14341(2---
m m F m m m ，，，） ∴S △PAC =21PF·(OE+EA)=2
1PF·OA 2)2(2
122122+--=+-=m m m ······6分 ∴当△PAC 的面积最大时，点P 的坐标为（2，23-
）······7分 （2）a 的取值范围是23-<a 或34-=a 或4
3≥a ······10分。