奇偶数的性质与应用

奇偶数的性质与应用
一、基本概念和知识
1.奇数与偶数
整数可以分为奇数和偶数两大类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

偶数通常可以用2k来（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）来表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

2.奇数与偶数的运算性质
对于两个数：
⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数；
注：加减运算符号不改变结果的奇偶性
⑵奇⨯偶=偶数，奇⨯奇=奇数，偶⨯偶=偶数，偶数÷奇数=偶数，偶数÷偶数=奇数或偶数
对于多个数：
⑴多个数相加减时，结果由奇数个数决定：奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和
是偶数
⑵多个数相乘时，只要有偶数，结果必为偶数（见偶得偶）
【例1】1+3+5+…+2009的和是奇数？还是偶数？
【巩固】7+9+11+…+2017的和是奇数？还是偶数？
【例2】一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？【巩固】一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差300，这个数是多少？
【例3】已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。

求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。

【巩固】已知a、b、c是三个连续自然数，其中a是偶数。

根据图中的信息判断，小红和小明两人的说法中正确的是哪一位同学？
巩固图
【例4】你能不能将自然数1到9分别填入3⨯3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数？
【巩固】能否将1～16这16个自然数填入４⨯４的方格表中（每个小方格只填一个数），使得每一行中的四个数之和都是偶数？
【例5】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。

每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？
【巩固】新学期开始了，久别的同学们互相频频握手。

请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。

【例6】下表中有18个数，选出5个数，使它们的和为28，你能否做到？为什么？
例6图
【巩固】能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=38
竞赛篇：
【例1】在黑板上写（2，2，2）三个数，把其中的一个2抹掉后，改写成其余两数的和减1，得（2，2，3），再把两个2中的一个2抹掉后，写成其余两数的和减1，得（2，4，3），再把2抹掉后写其余两数的和减1，得（6，4，3），继续这一过程，是否
能得到（859，263，597）？
【例2】黑板上写着1，2，3，…，n共n个数，每次擦掉两个数，再写上这两个数的差。

如果最后黑板上剩下一个数0，那么在2004、2005中，n只能是_____________。

【例3】三个相邻偶数的乘积是一个六位数8****2，求这三个偶数。

【例4】3～9这七个数，两两相乘后所得的乘积的和，是奇数还是偶数？为什么？。