江苏省高邮市界首中学高三数学复习 25分钟小练习(12月

江苏省高邮市界首中学高三数学复习 25分钟小练习（12月21日）
1、已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2
＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 。

[e,4]
2、设集合A ，B ，则A ⊆B 是A ∩B ＝A 成立的 。

充要条件
3、已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12
，焦距为8.则该椭圆的方程是________．
解析：∵2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12
，故a ＝8. 又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248
＝1. 答案：y 264＋x 248
＝1 4、设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于 。

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5、双曲线x 2
a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________． 解析：由题意知a 2＋1a
＝ 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 2＝2，解得a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，即y ＝±3x .
答案：y ＝±3x 6、已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2
＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．
解：(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝6
1＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝33
，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2
＝2. ∴椭圆E 的方程为y 23＋x 2
2
＝1. (2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立直线l 0与椭圆E 的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －x 0＋y 0，y 23＋x 22
＝1，消去y 得 (3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2
－6＝0，
∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0) 2－6]＝0， 整理得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0.
设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1·k 2＝－y 2
0－32－x 20
， ∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 2
0－32－x 20＝－1. 故两条切线的斜率之积为常数－1.。